第3章 線性定常系統(tǒng)的線性變換

線性定常系統(tǒng)的線性變換章本章介紹常用的線性變換方法，以及非奇異線性變換的一些不變特性。2021/5/913.1狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換

在前面學(xué)習(xí)建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程時(shí)已經(jīng)看到，選取不同的狀態(tài)變量，可以得到不同形式的動(dòng)態(tài)方程。若兩組狀態(tài)變量之間用一個(gè)非奇異矩陣聯(lián)系著，則兩組動(dòng)態(tài)方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定關(guān)系。

設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為令式中，P為非奇異線性變換矩陣，變換后的動(dòng)態(tài)方程為式中并稱對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行P變換。線性變換的目的：揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。線性變換的影響：不改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)。2021/5/92幾種常用的線性變換關(guān)系

1化A陣為對(duì)角陣

⑴設(shè)A陣為任意方陣。且有n個(gè)互異實(shí)特征值λ1，λ2，…，λn，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣Λ。P陣由A陣的實(shí)數(shù)特征向量pi(i=1,2,…,n)組成特征向量滿足2021/5/93⑶設(shè)A陣具有m重實(shí)數(shù)特征值λ1，其余為(n-m)個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值。在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)時(shí)仍有m個(gè)獨(dú)立特征向量p1,p2,…,pm，仍然可使A陣化為對(duì)角陣Λ。⑵若A為友矩陣，且有n個(gè)互異實(shí)特征值λ1，λ2，…，λn，則下列的范德蒙特矩陣P可使A對(duì)角化：式中，pm+1,pm+2,…,pn為互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。2021/5/94

⑴設(shè)A陣具有m重實(shí)特征值

λ1，其余為n-m個(gè)互異實(shí)特征值，但在求解Api=λ1pi(i=1,2,…,m)時(shí)只有一個(gè)實(shí)特征向量p1，則只能使A化為約當(dāng)陣J。2化A陣為約當(dāng)型J中虛線表示存在一個(gè)約當(dāng)塊。式中p2,p3,…,pm為廣義實(shí)特征向量，滿足2021/5/95

⑵若A陣為友矩陣，具有m重實(shí)特征值

λ1，且只有一個(gè)實(shí)特征向量p1，則使A約當(dāng)化的P陣為J中虛線表示存在一個(gè)約當(dāng)塊。式中p2,p3,…,pm為廣義實(shí)特征向量，滿足pm+1,pm+2,…,pn是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。2021/5/96⑶設(shè)A陣具有五重實(shí)特征值

λ1，且只有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量p1,p2,其余為n-5個(gè)互異時(shí)特征值，A陣約當(dāng)化的可能形式如下，式中，J中虛線表示存在兩個(gè)約當(dāng)塊。2021/5/973化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型

已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型為與之相對(duì)應(yīng)的可控性矩陣S為S是一個(gè)右下三角形，主對(duì)角線元素均為1，故detS≠0，系統(tǒng)一定可控。2021/5/98

任何一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)A，b不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，一定可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。

已知可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為進(jìn)行P-1

變換，即令變換為要求

？如何確定變換矩陣P2021/5/99

推導(dǎo)變換矩陣P：P應(yīng)該滿足式（3-227），有展開(kāi)得

假設(shè)變換矩陣P為2021/5/910整理后得由此可得變換矩陣P又根據(jù)b陣變換要求，P應(yīng)該滿足式（3-227），有2021/5/911即 ①計(jì)算可控性矩陣S＝[bAb…An-1b]; ②計(jì)算可控性矩陣的逆陣S-1, 設(shè)一般形式為故上式表明，p1是可控矩陣的逆陣的最后一行。因此可得出變換矩陣P-1的求法： ③取出S-1的最后一行，構(gòu)成p1行向量 ④構(gòu)造P陣 ⑤P-1便是講非標(biāo)準(zhǔn)型可控系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣2021/5/9123.2對(duì)偶原理

對(duì)偶原理可使系統(tǒng)的研究更加方便。

設(shè)系統(tǒng)為S1(A,B,C)，則系統(tǒng)S2(AT,CT,BT)為系統(tǒng)S1的對(duì)偶系統(tǒng)。特征方程分別為：

系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。S1與S2互為對(duì)偶系統(tǒng)。特點(diǎn)：①S1的可控性矩陣與S2的可觀測(cè)性矩陣完全相同。②S1的可觀測(cè)性矩陣與S2的可控性矩陣完全相同。③可把可觀測(cè)的SISO系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將其對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。2021/5/913利用已知的化可控標(biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：⑴列出對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣V2）⑵求V2的逆陣V2-1，且記為行向量組⑶取V2-1的第n行νnT，并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣P2021/5/914

⑷求P-1，引入P-1變換⑸對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用對(duì)偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果為與原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型需要進(jìn)行PT變換，即令其中，νn為原系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置。2021/5/9153.3非奇異線性變換的不變性1變換后系統(tǒng)特征值不變變換后系統(tǒng)的特征值為令線性變換線性變換后的動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)變換后與變換前的特征值完全相同。

?

非奇異線性變換后，系統(tǒng)的固有特性是否會(huì)改變？系統(tǒng)特征值；？系統(tǒng)傳遞矩陣；？系統(tǒng)可控、可觀測(cè)性；

設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為2021/5/9162變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變3變換后系統(tǒng)可控性不變變換后系統(tǒng)可控性矩陣的秩為系統(tǒng)變換后，可控性矩陣的秩相同，系統(tǒng)的可控性不變。

變換后系統(tǒng)的傳遞矩陣為

變換前后系統(tǒng)的傳遞矩陣完全相同。2021/5/9174變換后系統(tǒng)可觀測(cè)性不變變換前后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣的秩相等，故系統(tǒng)的可觀測(cè)性不變。

變換后系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為V’，變換前系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣為V，則2021/5/9183.4線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解定義、意義、方法和過(guò)程定義：從可控性、可觀測(cè)性出發(fā)，狀態(tài)可分解成可控可觀測(cè)

、可控不可觀測(cè)

、不可控可觀測(cè)

、不可控不可觀測(cè)

四類，由

對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分為四類，把系統(tǒng)也隨應(yīng)分成四類系統(tǒng)子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。

意義：研究規(guī)范系統(tǒng)分解能更明顯地揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性、傳遞特性，并與穩(wěn)定性分析、反饋校正等密切相關(guān)。方法：選取一種特殊的線性變換，使原來(lái)的狀態(tài)向量x變換成

，相應(yīng)地使原動(dòng)態(tài)方程中的A、B、C矩陣變換成某種標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的形式。過(guò)程：可以先從整個(gè)系統(tǒng)的可控性分解開(kāi)始，將可控、不可控的狀態(tài)變量分離開(kāi)，繼而分別對(duì)可控。不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解，便可以分離出四類狀態(tài)變量及四類子系統(tǒng)。2021/5/9191系統(tǒng)按可控性分解設(shè)不可控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)可控性矩陣的秩為r（r<n），從可控性矩陣中選出r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量s1,s2,…,sr，另外再任意選取盡可能簡(jiǎn)單的（n－r）個(gè)列向量sr+1,sr+2,…,sn，使它們與{s1,s2,…,sr}線性無(wú)關(guān)，這樣就可以構(gòu)成（n×n）非奇異變換矩陣

對(duì)式（3－249）進(jìn)行非奇異線性變換，式中

為r維可控狀態(tài)子向量，

為（n-r）維不可控狀態(tài)子向量，且

式（3－249）便變成下列的規(guī)范表達(dá)式

2021/5/920展開(kāi)式（3－251），有將輸出量進(jìn)行分解，可得可控子系統(tǒng)、不可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程分別為：可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程

2021/5/921

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可控性規(guī)范分解具有下列特點(diǎn)：

⑴由于2021/5/922

設(shè)一個(gè)可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為但是，不可控子系統(tǒng)

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響依然存在不可忽視，如要求

僅含穩(wěn)定特征值，以保證整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且應(yīng)考慮可控子系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

及系統(tǒng)輸出響應(yīng)y（t）均與

有關(guān)。

⑶由于選取非奇異變換陣P-1的列向量s1,s2,…,sr，及sr+1,sr+2,…,sn，的非唯一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式相同，但諸系數(shù)陣不相同，故可控性規(guī)范分解不是惟一的。因而r維系統(tǒng)是可控的，并且與(A,B,C)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞函數(shù)的角度分析系統(tǒng)(A,B,C)時(shí)，可以等價(jià)地用分析子系統(tǒng)來(lái)代替，由于后者維數(shù)已經(jīng)降低，可能會(huì)使分析變得簡(jiǎn)單。

⑵輸入u只能通過(guò)可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無(wú)關(guān)，故u至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特征。2021/5/923

設(shè)另一個(gè)可控性規(guī)范分解系統(tǒng)為⑷由于2021/5/924故⑸線性定常系統(tǒng)完全可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異線性變換不能化成（3-251）的形式。對(duì)于維數(shù)較大系統(tǒng)的可控性判別，這是一種好方法。2021/5/925例3－32已知系統(tǒng)（A，b，c）如下，試按可控性進(jìn)行分解。解

計(jì)算可控性矩陣的秩

故不可控。從中選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)列，附加任意列向量

構(gòu)成非奇異變換矩陣

。并計(jì)算變換后的各矩陣

2021/5/926續(xù)可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

2021/5/9272系統(tǒng)按可觀測(cè)性分解觀測(cè)矩陣的秩為l（l<n），在V中任意選取l個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量t1,t2,…,tl，此外再選取n-l個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的行向量tl+1,…,tn，構(gòu)成非奇異線性變換陣設(shè)不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，其可觀測(cè)矩陣的秩為l（l<n）系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣2021/5/928對(duì)式（3-261）進(jìn)行非奇異線性變換式中，xo為l維可觀測(cè)狀態(tài)子向量，

為（n－l）維不可觀測(cè)狀態(tài)子向量

l列

(n-l)列

p列（3－265）

q行

l列

(n-l)列

可得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按可觀測(cè)性分解的規(guī)范表達(dá)式2021/5/929展開(kāi)式（3－265），有可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

2021/5/930例3-34試將例3－32所示系統(tǒng)按可觀測(cè)性進(jìn)行分解解

計(jì)算

可觀測(cè)性矩陣的秩

故不可觀測(cè)，從中選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的行，附加任意一行，構(gòu)成非奇異變換矩陣T并計(jì)算變換后各矩陣

2021/5/931可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

2021/5/9323系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（按可控性、可觀測(cè)性分解）先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解，即引入狀態(tài)變換

式中

基于系統(tǒng)可控性矩陣來(lái)構(gòu)造。繼而對(duì)可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解，即引入狀態(tài)變換其To1基于可控子系統(tǒng)得可觀測(cè)性矩陣來(lái)構(gòu)造。最后對(duì)不可控子系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)性分解，即引入狀態(tài)變換

設(shè)不可控、不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，其To2基于不可控子系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣來(lái)構(gòu)造。2021/5/933綜合上面三次狀態(tài)變換，有下列狀態(tài)變換關(guān)系當(dāng)系統(tǒng)（A、B、C）引入該

T-1

變換后，能將系統(tǒng)變換為下列規(guī)范構(gòu)造形式

2021/5/934展開(kāi)上式可得可控、可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

可控、不可觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

不可控、可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

不可控、不可觀測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

系統(tǒng)的特征值由

矩陣的特征值集合而成。系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣2021/5/935傳遞函數(shù)矩陣僅描述可控、可觀測(cè)子系統(tǒng)的特性。是對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一種不完全描述。只有當(dāng)系統(tǒng)可控且可觀測(cè)時(shí)，輸入-