新教材2023年高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第六章計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，稱(chēng)為基本計(jì)數(shù)原理．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要能夠結(jié)合具體實(shí)例，識(shí)別和理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用，并能夠運(yùn)用這些原理來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，會(huì)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理探索排列、組合、二項(xiàng)式定理等問(wèn)題，并能夠運(yùn)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，特別是概率中的某些問(wèn)題．6.2排列與組合6.2.1排列必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向?qū)W習(xí)目標(biāo)特別關(guān)注1．通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．能說(shuō)出分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義．3．能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)：歸納出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．難點(diǎn)：正確理解“完成一件事”的含義，根據(jù)問(wèn)題的特征，正確區(qū)分“分類(lèi)”和“分步”．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算.必備知識(shí)?探新知

基礎(chǔ)知識(shí)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有__________種不同方法．推廣到一般情形：完成一件的事有n類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，…，在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)1N＝m＋n思考1：(1)定義中每一類(lèi)中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事？(2)各種方案之間有何關(guān)系？每一類(lèi)方案中各種方法之間有何關(guān)系？提示：(1)能，每一類(lèi)中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事．(2)各種方案之間相互獨(dú)立，并且任何一類(lèi)方案中任何一種方法也相互獨(dú)立．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法．推廣到一般情形：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種不同的方法．m×n知識(shí)點(diǎn)2思考2：(1)定義中每一步中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事？(2)根據(jù)定義完成一件事的方法數(shù)怎樣計(jì)算？提示：(1)不能，每一步中的每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事．(2)從計(jì)數(shù)上看，各步的方法數(shù)的積就是完成這一件事的方法總數(shù)．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)3

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系都是用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)區(qū)別一針對(duì)的是“分類(lèi)完成問(wèn)題”針對(duì)的是“分步完成問(wèn)題”區(qū)別二各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法相互連續(xù)區(qū)別三任何一種方法都可以做完這件事只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用．使用時(shí)要做到目的明確，層次分明，先后有序，首先弄清楚是“分類(lèi)”還是“分步”，其次搞清楚“分類(lèi)”或“分步”的標(biāo)準(zhǔn)，做到合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步．思考3：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理每一類(lèi)中的方法和分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別？提示：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理每一類(lèi)中的方案可以完成一件事情，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法不能獨(dú)立完成一件事情．關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的有多少個(gè)？[分析]

根據(jù)情況安排個(gè)位、十位上的數(shù)字．先確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，再求出每一類(lèi)的個(gè)數(shù)，最后得結(jié)論．[解析]

方法一：分析個(gè)位數(shù)分類(lèi)如下．個(gè)位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個(gè)，故有8個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)；典例1個(gè)位是8，則十位可以是1，2，3，…，7中的一個(gè)，故有7個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)，個(gè)位是6的有5個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)，…，個(gè)位是2的只有1個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè))．方法二：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．方法三：將個(gè)位比十位數(shù)字大的兩位數(shù)一一寫(xiě)出．12，13，14，15，16，17，18，19，23，24，25，26，27，28，29，34，35，36，37，38，39，45，46，47，48，49，56，57，58，59，67，68，69，78，79，89.共有36個(gè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)．[規(guī)律方法]

應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：(1)明確題目中所指的“完成一件事”

指的是什么事，怎樣才算是完成這件事．(2)完成這件事的n類(lèi)辦法中的各種方法是互不相同的，無(wú)論哪類(lèi)辦法中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事．(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”必須滿(mǎn)足：①完成這件事情的任何一種方法必須屬于其中的一類(lèi)；②不同類(lèi)中的方法不能相同，即不重復(fù)，無(wú)遺漏．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)為調(diào)查今年的北京霧霾治理情況，現(xiàn)從高二(1)班的男生38人和女生18人中選取1名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，則選取代表的方法有_____種．(2)某校開(kāi)設(shè)物理、化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、歷史、地理6門(mén)選修課，甲同學(xué)需從中選修3門(mén)，其中化學(xué)、生物兩門(mén)中至少選修一門(mén)，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)____.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)5616[解析]

(1)完成這件事需要分兩類(lèi)完成：第一類(lèi)：選1名男生，有38種選法；第二類(lèi)：選1名女生，有18種選法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝38＋18＝56(種)不同的選法．(2)可分為3類(lèi)，第1類(lèi)，只選化學(xué)不選生物學(xué)，需再?gòu)奈锢怼⑺枷胝?、歷史、地理中選擇2門(mén)，有6種選法；第2類(lèi)，只選生物學(xué)不選化學(xué)，同樣也有6種選法；第3類(lèi)，化學(xué)和生物學(xué)都選，需再?gòu)钠渌?門(mén)中選擇1門(mén)，有4種選法，所以共有6＋6＋4＝16種選法．由0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)：(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[分析]

(1)數(shù)字各不相同，且百位上的數(shù)字不可為0；(2)數(shù)字可以重復(fù)，但百位上的數(shù)字不可為0.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理

典例2[解析]

(1)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第三步：排個(gè)位，除百位、十位上已用的，其余兩個(gè)數(shù)字都可以，有2種不同的方法．故可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共3×3×2＝18(個(gè))．(2)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3這三個(gè)數(shù)字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字都可以，有4種不同的方法；第三步：排個(gè)位，0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字都可以，有4種不同的方法．故可組成可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共3×4×4＝48(個(gè))．[規(guī)律方法]

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步．(2)計(jì)數(shù)：逐一求出每一步中的方法數(shù)．(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是 (

)A．56 B．65C．30 D．11(2)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；3位回文數(shù)有90個(gè)101，111，121，…，191，202，…，999.則5位回文數(shù)有______個(gè)．A900[解析]

(1)第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種不同的選法．(2)第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字和右邊第一個(gè)數(shù)字相同，有9種選法；第二步，選左邊第二個(gè)數(shù)字和右邊第二個(gè)數(shù)字相同，有10種選法；第三步，選左邊第三個(gè)數(shù)字就是右邊第三個(gè)數(shù)字，有10種選法，故5位回文數(shù)有9×10×10＝900，故答案為900.現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營(yíng)．(1)若從中選1人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)若每年級(jí)各選1名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來(lái)自不同的年級(jí)，則有多少種選法？[分析]

要分清是“分類(lèi)”還是“分步”．(1)是分類(lèi)；(2)是分步；(3)是先分類(lèi)后分步．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

典例3[解析]

(1)從高一選1人作總負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1人作總負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1人作總負(fù)責(zé)人有30種選法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可知共有50＋42＋30＝122(種)選法．(2)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有50×42×30＝63000(種)選法．(3)①高一和高二各選1人作為中心發(fā)言人，有50×42＝2100(種)選法；②高二和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有42×30＝1260(種)選法；③高一和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有50×30＝1500(種)選法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(種)選法．[規(guī)律方法]

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問(wèn)題時(shí)，首先，要分清是“分類(lèi)”還是“分步”，區(qū)分分類(lèi)還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次，要清楚“分類(lèi)”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類(lèi)”時(shí)要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類(lèi)”與“分步”同時(shí)進(jìn)行，即“先分類(lèi)后分步”或“先分步后分類(lèi)”．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線(xiàn)面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由2個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有4個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線(xiàn)面組”的個(gè)數(shù)是 (

)A．60 B．48C．36 D．24[解析]

長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線(xiàn)面組”有6×6＝36(個(gè))，另外含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線(xiàn)面組”有6×2＝12(個(gè))，所以共有36＋12＝48(個(gè))“平行線(xiàn)面組”．B如圖所示，要給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域分別涂上三種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方法？題型四用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題

典例4[解析]

A，B，C，D四個(gè)區(qū)域依次涂色，分4步．第1步，涂A區(qū)域，有3種選擇；第2步，涂B區(qū)域，有2種選擇；第3步，涂C區(qū)域，它與A，B區(qū)域顏色不同，有1種選擇；第4步，涂D區(qū)域，它與A，C區(qū)域顏色不同，有1種選擇．所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)．[規(guī)律方法]

涂色問(wèn)題的兩種解決方案：(1)選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．若圖形不是很規(guī)則，往往從某一區(qū)域開(kāi)始進(jìn)行涂色，選用分步乘法計(jì)數(shù)原理；如果圖形具有一定的對(duì)稱(chēng)性，那么先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)再進(jìn)行分步．(2)首先根據(jù)涂色時(shí)所用顏色數(shù)的多少，進(jìn)行分類(lèi)處理．然后在每一類(lèi)的涂色方案的計(jì)算上需用到分步乘法計(jì)數(shù)原理．最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理對(duì)每一類(lèi)的涂色方法數(shù)求和即得到最終涂色方法數(shù)．對(duì)于涂色(立方體)問(wèn)題將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問(wèn)題．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

將3種農(nóng)作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊試驗(yàn)田種植一種農(nóng)作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種農(nóng)作物，不同的種植方法共有_____種．42[解析]

分別用a，b，c代表3種農(nóng)作物，將試驗(yàn)田從左到右依次編號(hào)為①②③④⑤.先種①號(hào)田，有3種種植方法，不妨設(shè)種植a.再種②號(hào)田，可種植b或c，有2種種植方法，不妨設(shè)種植b.若③號(hào)田種植c，則④⑤號(hào)田分別有2種種植方法，則不同的種植方法共有2×2＝4(種)．若③號(hào)田種植a，則④號(hào)田可種植上b或c.(1)若④號(hào)田種植c，則⑤號(hào)田有2種種植方法；(2)若④號(hào)田種植b，則⑤號(hào)田只能種植c，有1種種植方法．綜上所述，不同的種植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(種)．易錯(cuò)警示分步標(biāo)準(zhǔn)不清致錯(cuò)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門(mén)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，且每門(mén)學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，則不同的冠軍獲得情況共有_____種．典例564[錯(cuò)解]

分四步完成這件事．第一步，第1名同學(xué)去奪3門(mén)學(xué)科的冠軍，有可能1個(gè)也沒(méi)獲得，也可能獲得1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，因此，共有4種不同情況．同理，第二、三、四步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門(mén)學(xué)科的冠軍，都各自有4種不同情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4×4＝256(種)．[辨析]

用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解對(duì)象可重復(fù)選取的問(wèn)題時(shí)，哪類(lèi)對(duì)象必須“用完”就以哪類(lèi)對(duì)象作為分步的依據(jù)．本題中要完成的“一件事”是“爭(zhēng)奪3門(mén)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，且每門(mén)學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生”，而錯(cuò)解中可能出現(xiàn)某一學(xué)科冠軍被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒(méi)有冠軍產(chǎn)生的情況．[正解]

由題知，研究的對(duì)象是“3門(mén)學(xué)科”，只有3門(mén)學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．第一步，產(chǎn)生第1個(gè)學(xué)科冠軍，它一定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得情況；第二步，產(chǎn)生第2個(gè)學(xué)科冠軍，因?yàn)閵Z得第1個(gè)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭(zhēng)奪第2個(gè)學(xué)科的冠軍，所以第2個(gè)學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭(zhēng)奪，有4種不同的獲得情況；第三步，同理，產(chǎn)生第3個(gè)學(xué)科冠軍也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝64(種)．課堂檢測(cè)?固雙基1．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，依次從集合M，N中各取出一個(gè)數(shù)分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則在平面直角坐標(biāo)系中位于第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是 (

)A．4 B．5C．6 D．7[解析]

由集合M中的元素作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，集合N中的元素作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，在第一象限的點(diǎn)P共有2個(gè)，在第二象限的點(diǎn)P共有2個(gè)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2＋2＝4.A2．將3張不同的演唱會(huì)門(mén)票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是

(

)A．2160 B．720C．240 D．