離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布

離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日重點(diǎn)難點(diǎn)教材回扣夯實(shí)雙基重點(diǎn)：理解掌握隨機(jī)變量的期望、方差的概念和正態(tài)分布的概念.難點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望與方差的意義、正態(tài)曲線的性質(zhì).第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日基礎(chǔ)梳理1．均值(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日則稱EX＝_______________________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_______________(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝___________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平．a(chǎn)EX＋b第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日npp第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日σX第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)D(aX＋b)＝___________.(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則DX＝___________(4)若X～B(n，p)，則DX＝_____________a2DXp(1－p)．np(1－p)．第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考探究1．隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸_____,與x軸________；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值_________；④曲線與x軸之間的面積為_(kāi)____；上方不相交x＝μ1第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定．_______，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越______；_______，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越_______σ越小集中σ越大分散．第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日課前熱身答案：B第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日答案：B第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3．口袋中有5只球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5，從中任意取3只球以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的期望EX的值是(

)A．4B．4.5C．4.75D．5答案：B第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________．答案：0.7第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日5．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3次，每次1件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的方法步驟．(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值的概率．考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求EX.(5)由方差的定義求DX.第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；(2)求p，q的值；(3)求數(shù)學(xué)期望Eξ.第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日【規(guī)律方法】離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差是三個(gè)緊密相連的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起進(jìn)行考查．其解題的關(guān)鍵是求出分布列，然后直接套用公式即可．在解題過(guò)程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算概率．第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日考點(diǎn)2均值與方差的實(shí)際應(yīng)用離散型隨機(jī)變量均值與方差的應(yīng)用問(wèn)題,一般應(yīng)先分析題意，明確題目欲求的是均值還是方差，在此基礎(chǔ)上將題中考查的數(shù)量指標(biāo)用隨機(jī)變量表示，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的均值與方差．第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1)，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整．記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，X取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元，隨機(jī)變量X1，X2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后所獲的利潤(rùn)．第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)求X1，X2的分布列和均值EX1，EX2；(2)當(dāng)EX1<EX2時(shí)，求p的取值范圍．【思路分析】

(1)求分布列，應(yīng)先確定X2的取值，再求X2的取值對(duì)應(yīng)的概率；(2)由EX1<EX2，找出關(guān)于p的不等式，即可求出p的范圍．第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日【解】

(1)X1的分布列為第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日X012P(1－p)22p(1－p)p2故X2的概率分布列為X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以EX2＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由EX1<EX2，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1，所以當(dāng)EX1<EX2時(shí)，p的取值范圍是0<p<0.3.第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日【失誤探究】在求解X2的分布列時(shí),往往因求不出X2的各個(gè)取值的概率而解不出本題，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：沒(méi)有搞清X取0,1,2的概率就是X2取1.3萬(wàn)元，1.25萬(wàn)元，0.2萬(wàn)元的概率．第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日考點(diǎn)3正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3設(shè)X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．【思路分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日【名師點(diǎn)評(píng)】在利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日互動(dòng)探究若其他條件不變，則P(X≥7)及P(5＜X＜6)應(yīng)如何求解？解：由σ＝1，μ＝5，P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5＋2×1)＝0.9544，第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日方法技巧1．釋疑離散型隨機(jī)變量的均值(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，它描述X取值的平均狀態(tài)．方法感悟第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)教材中給出的E(aX＋b)＝aEX＋b,說(shuō)明隨機(jī)變量X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值等于隨機(jī)變量X均值的線性函數(shù)．2．離散型隨機(jī)變量的方差(1)DX表示隨機(jī)變量X對(duì)EX的平均偏離程度，第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日失誤防范1．對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析，一般要先將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái)，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的概率分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．離散型隨機(jī)變量的期望與方差若存在則必唯一，期望E(ξ)的值可正也可負(fù)，而方差的值則一定是一個(gè)非負(fù)值．它們都由ξ的分布列唯一確定.3．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在記憶和使用此結(jié)論時(shí)，請(qǐng)注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4．在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ，σ求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解．第五十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日命題預(yù)測(cè)從近幾年的廣東高考試題來(lái)看，離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn),題型為填空題或解答題，屬中檔題．常與排列、組合、概率等知識(shí)綜合命題，既考查基本概念，又注重考查基本運(yùn)算能力和邏輯推理、理解能力．考向瞭望把脈高考第五十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日預(yù)測(cè)2013年廣東高考，離散型隨機(jī)變量的均值與方差仍然是高考的熱點(diǎn),同時(shí)應(yīng)特別注意均值與方差的實(shí)際應(yīng)用．第五十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例規(guī)范解答(本題滿分12分)(2010·高考浙江卷)如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落到A或B或C.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．第五十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng),若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng)．第五十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)