04 三角函數(shù) 講義（解析版）-2023屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

☆注：請用MicrosoftWord2016以上版本打開文件進行編輯，用WPS等其他軟件可能會出現(xiàn)亂碼等現(xiàn)象.高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)講義——兩年高考一年模擬第4講三角函數(shù)三角函數(shù)的考查重點是三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，考查中以圖象的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值作為熱點，并常與三角恒等變換交匯命題，難度為中檔偏下．1．（2022?甲卷）已知a=3132，b＝cos14，cA．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【解答】解：設(shè)f（x）＝cosx+12x2?1，（0＜x＜1），則f′（x設(shè)g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（14）＞f（0）＝0，可得cos14＞3132利用三角函數(shù)線可得x∈(0，π2）時，tanx＞∴tan14＞14，即sin14cos綜上：c＞b＞a，故選：A．2．（2021?乙卷）cos2π12?cos2A．12 B．33 C．22【解答】解：法一、cos2π12?cos25π12=1+cos法二、cos2π12?cos25π12＝cos2π12?sin故選：D．3．（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，則sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθA．?65 B．?25 C．【解答】解：由題意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=tanθtanθ+1?tanθ故選：C．4．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sinA．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因為sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sin所以2sin（α+β+π4）＝22cos（α+π即sin（α+β+π4）＝2cos（α+π所以sin（α+π4）cosβ+sinβcos（α+π4）＝2cos（α所以sin（α+π4）cosβ﹣sinβcos（所以sin（α+π所以α+π4?β=kπ，k所以α﹣β＝kπ?π所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由題意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故選：C．5．（2021?甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2?sinαA．1515 B．55 C．53【解答】解：由tan2α=cosα2?sinα，得即2sinαcosα1?2si∵α∈（0，π2），∴cosα則2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα=1則cosα=1?si∴tanα=sinα故選：A．6．（2021?甲卷）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（π2）＝?3【解答】解：由圖可知，f（x）的最小正周期T=43（13π12所以ω=2πT=2，因為f所以由五點作圖法可得2×π3+φ=π所以f（x）＝2cos（2x?π所以f（π2）＝2cos（2×π2故答案為：?37．（2021?乙卷）把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（x?π4）的圖像，則A．sin（x2?7π12） C．sin（2x?7π12） D．sin（2x【解答】解：∵把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（x?∴把函數(shù)y＝sin（x?π4）的圖像，向左平移得到y(tǒng)＝sin（x+π3?π再把圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可得f（x）＝sin（12x+故選：B．8．（2021?新高考Ⅰ）下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝7sin（x?πA．（0，π2） B．（π2，π） C．（π，3π2） D．（3π【解答】解：令?π2+2kπ≤x?π6則?π3+2kπ≤x≤2π3當(dāng)k＝0時，x∈[?π3，（0，π2）?[?π3故選：A．9．（2021?北京）函數(shù)f（x）＝cosx﹣cos2x是（）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2 C．奇函數(shù)，且最大值為98 D．偶函數(shù)，且最大值為【解答】解：因為f（x）＝cosx﹣cos2x＝cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+cosx+1，因為f（﹣x）＝﹣2cos2（﹣x）+cos（﹣x）+1＝﹣2cos2x+cosx+1＝f（x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，令t＝cosx，則t∈[﹣1，1]，故f（t）＝﹣2t2+t+1是開口向下的二次函數(shù)，所以當(dāng)t=?12×(?2)=14時，f（t）取得最大值f（14）＝﹣2×（1故函數(shù)的最大值為98綜上所述，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，有最大值98故選：D．10．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點（3π2A．1 B．32 C．52【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期為則T=2πω，由2π3＜T＜π，得2π∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點（3π2，2）中心對稱，∴b且sin（3π2ω+π4）＝0，則3π2ω+π∴ω=23(k?14)，k∈∴f（x）＝sin（52x+π4）+2，則f（π故選：A．11．（2022?甲卷）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）（ω＞0）的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于yA．16 B．14 C．13【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）（ω＞0）的圖像向左平移π2則C對應(yīng)函數(shù)為y＝sin（ωx+ωπ∵C的圖象關(guān)于y軸對稱，∴ωπ2+π3=kπ+即ω＝2k+13，k∈則令k＝0，可得ω的最小值是13故選：C．12．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則A．[53，136） B．[53，196） C．（136，83]【解答】解：當(dāng)ω＜0時，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點比零點多，所以ω＞0；函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）在區(qū)間（0，ωx+π3∈（π3，∴5π2＜ωπ+π求得136＜ω故選：C．13．（2022?乙卷）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）=32，x=π9為f（x）的零點，則【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T=2π若f（T）＝cos（ω×2πω+φ）＝cosφ=32，0＜φ＜所以f（x）＝cos（ωx+π因為x=π9為f（x）的零點，所以cos（故ωπ9+π6=kπ+π2，k∈Z，所以ω因為ω＞0，則ω的最小值為3．故答案為：3．（多選）14．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關(guān)于點（2π3A．f（x）在區(qū)間（0，5π12）單調(diào)遞減B．f（x）在區(qū)間（?π12，11πC．直線x=7π6是曲線y＝f（xD．直線y=32?x是曲線y＝f【解答】解：因為f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于點（2π3所以2×2π3+φ＝kπ，k所以φ＝kπ?4π因為0＜φ＜π，所以φ=2π故f（x）＝sin（2x+2π令π2＜2x+2π3＜故f（x）在（0，5π12）單調(diào)遞減，Ax∈（?π12，11π12），2x+2π3∈根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（?π12，11π12令2x+2π3=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2f（x）＝sin（2x+2π求導(dǎo)可得，f'（x）=2cos(2x+2π令f'（x）＝﹣1，即cos(2x+2π3)=?12，解得x＝kπ或x=故函數(shù)y＝f（x）在點（0，32）處的切線斜率為k=y'故切線方程為y?32=?(x?0)，即y=?x+故選：AD．15．（2023?青羊區(qū)模擬）已知sin(π4?α)=A．13 B．23 C．33【解答】解：sin(π則sin2α=cos(π故選：B．16．（2023?溫江區(qū)模擬）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)g（x）的圖象由f（x）圖象向左平移π6A．g(x)=2sin(2x+π6)C．g(x)=2sin(2x?π6) D．g（【解答】解：由f（x）的圖象可知，A＝2，且過點（0，﹣1），∴2sinφ＝﹣1，∴sinφ=?12，又∵∴φ=?π又f（x）的圖象過點（7π12∴2sin（7π12∴7π12ω?π6=kπ∴ω=27+127又∵T2＜7π∴127∴當(dāng)k＝1時，ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x?π又∵函數(shù)g（x）的圖象由f（x）圖象向左平移π6∴g（x）＝2sin[2（x+π6）?π6故選：A．17．（2023?新城區(qū)一模）將函數(shù)y=2sin(6x+π3)的圖像向左平移φ(0＜φ＜π2)個單位長度后得到f（x）的圖像．若A．5π36 B．π3 C．π4【解答】解：由題知，f(x)=2sin(6x+因為x∈(π，19π18因為0＜φ＜π2，所以又f（x）在(π，所以π2≤π3+6φ＜所以φ的取值范圍是[π所以φ的值不可能為π3故選：B．18．（2023?安徽模擬）已知函數(shù)f(x)=cos(x+A．點(?π8，0)是曲線y＝fB．點(π8，24)是曲線yC．直線x=5π8是曲線y＝f（xD．直線x=3π8是曲線y＝f（【解答】解：f（x）＝﹣sin（22cosx?22sinx）=?22sinxcosx+22sin2x=?24sin2x+22×1?cos2x2=?24sin2x?2當(dāng)x=?π8，則2x+π4=0，此時sin（2x+π4當(dāng)x=π8，則2x+π4=π2，此時sin（2x當(dāng)x=5π8，則2x+π4=3π2，此時sin（2x當(dāng)x=3π8，則2x+π4=π，此時sin（2x+π4故選：C．19．（2023?上饒一模）已知函數(shù)f(x)=cos(23x+φ)滿足f(?π6)=f(2π3A．3π2 B．2π C．5π2 【解答】解：∵f(?∴函數(shù)關(guān)于x=?即23×π4+φ=kπ得φ＝kπ?π則當(dāng)k＝0時，φ=?π6，即f（x）＝cos（23當(dāng)0≤x≤a時，0≤23x≤23a，?π若此時f（x）至少有兩個零點，則23a?π6≥即實數(shù)a的最小值為5π2故選：C．20．（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)．若對于任意實數(shù)x，都有A．2 B．52 C．5 【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)，由所以有ωπ6+π6=kπ(k∈Z)，解得ω＝6k由ω＞0，當(dāng)k＝1時，ω有最小值5．故選：C．21．（2023?南昌一模）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω＞0)，f（x1）＝0，f(x2)=3，且|x1A．12 B．23 C．1【解答】解：因為f(x)=sin(=3又因為f（x1）＝0，f(x2)=3，且|x1﹣x所以函數(shù)f（x）的最小正周期T滿足2k+14T=π，則所以，ω=2π故當(dāng)k＝0時，ω取最小值12故選：A．22．（2023?桃城區(qū)校級一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f（0）=233，周期T∈（π4，3π4），（π6，0）是A．?3 B．3 C．233【解答】解：∵f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f（0）＝2tanφ∴tanφ=33，∴φ=π6，f（x）＝2tan（∵周期T=πω∈（π4，3π4再根據(jù)（π6，0）是f（x）的對稱中心，可得ωπ6+π6=kπ2，∴ω＝2，f（x）＝2tan（2?x+π則f（π3）＝2tan5π6=?故選：D．23．（2023?武威模擬）將函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)的圖象向右平移π6個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω＞0)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若gA．(73，133] B．[【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)的圖象向右平移π6個單位長度，得到y(tǒng)＝sin（2x?π6）的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω＞0)由于0≤x≤π4，所以?π6≤由于g（x）在[0，π4解得73故選：B．24．（2023?新城區(qū)一模）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）為奇函數(shù)，則A．2π3 B．5π6 C．π6【解答】解：由題意得：A=2∵T4=7π12?π3=解得ω＝2，f（x）=2sin（2x+φ∵f（7π12）=?2，∴2×7π12+φ=3π2+2kπ（k∈Z），|φ|＜π2，∴φ=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+a）+π3]=2sin（2x∵g（x）為奇函數(shù)，∴2a+π3=kπ，k解得a=kπ2?π6又a＞0，則k＝2時，a=5π故選：B．25．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)(ω＜0)在A．[?43，?23] B．【解答】解：函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3所以π?π2≤當(dāng)x∈(π2，π)依題意知?π+2kπ≤ωπ+π3＜π2解得?43+2k≤ω≤?∴當(dāng)k＝0時成立，ω∈[?故選：A．26．（2023?安陽模擬）已知函數(shù)f(x)=cos2ωx?sin(2ωx+π6)(ω＞0)在[0，A．[712，1312) B．[【解答】解：f(x)=cos2ωx?sin(=1當(dāng)x∈[0，π]時，2ωx+π∵f（x）在[0，π]內(nèi)有且僅有2個零點，∴3π2≤2πω+π∴ω的取值范圍是[7故選：A．27．（2023?江西模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜π2)，滿足?x∈R，有f(x)≤f(π12)，f(A．ω＝1 B．f（x）圖像向右平移π6個單位后關(guān)于y軸對稱C．f(πD．f（x）在[?【解答】解：∵?x∈R，有f(x)≤f(π12)又f(π3)=0又∵f（x）在[π∴函數(shù)的周期為4×(π3?∴2πω=π?ω=2，即f（x）＝sin（2x+φ），故由f(π3)=0∵0＜φ＜π2，∴令m＝1，則φ=π∴f（x）圖像向右平移π6個單位后得到的函數(shù)為g(x)=f(∵g（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x≠g（x），∴g（x）不是偶函數(shù)，故B錯誤；f(π6)=sin(2×x∈[?∴由正弦函數(shù)性質(zhì)得f（x）在[?5π12故選：D．28．（2023?貴陽模擬）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)y＝①f（x）的圖象關(guān)于直線x=?3π②f（x）的圖象關(guān)于點(?③將函數(shù)y=2sin(2x?π6)的圖象向左平移π2④若方程f（x）＝m在[?π2，0]A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【解答】解：由圖象可知，A＝2，14T=π3?又函數(shù)過點(π所以2×π12+φ=2kπ+π2又|φ|＜π2，得所以函數(shù)f(x)=2sin(2x+當(dāng)x=?3π4時，f(?當(dāng)x=?π6時，f（x）＝0，即f（x）的圖象關(guān)于點(?將函數(shù)y=2sin(2x?π6)的圖象向左平移π2當(dāng)x∈[?π2令2x+π3∈[?2π3，?π令2x+π3∈[?π2，π所以f（x）在[?π2因為方程f（x）＝m在[?π2，0]上有兩個不相等的實數(shù)根，即y＝f（x）與y＝所以m∈(?2，?3]故選：B．29．（2023?河南模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx+acosx滿足：f(x)≤f(π6)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上單調(diào)，且f（x1）+f（x2）＝0，則當(dāng)|x1+x2|取得最小值時，cos（x1+A．?12 B．12 C．?【解答】解：因為f（x）＝sinx+acosx=1+a2(sinx?1因為f(x)≤f(π6)，所