1概述2邏輯門電路3邏輯代數(shù)的基本公式和規(guī)則課件

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概述2

邏輯門電路3

邏輯代數(shù)的基本公式和規(guī)則

數(shù)字電路基礎(chǔ)

數(shù)字電路的基本工作信號是以高低電平為特征的二進(jìn)制信號，分析和設(shè)計數(shù)字電路的主要工具是邏輯代數(shù)。

本章先介紹數(shù)字電路的基本概念、數(shù)制與碼制、基本邏輯運算及門電路，然后介紹邏輯代數(shù)的基本公式與定理、邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯函數(shù)的化簡。1.1

概述1.1.1

數(shù)字電路與脈沖信號1．?dāng)?shù)字電路在時間上和數(shù)值上均是離散（或不連續(xù)）的信號稱為數(shù)字信號

常用數(shù)字0和1來表示。這里的0和1不是十進(jìn)制數(shù)中的數(shù)字，而是邏輯0和邏輯1。

產(chǎn)生和處理這類數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路或邏輯電路。數(shù)字電路的任務(wù)是對數(shù)字信號進(jìn)行運算（算術(shù)運算和邏輯運算）、計數(shù)、存貯、傳遞和控制。2．脈沖信號

所謂脈沖，是指脈動、短促和不連續(xù)的意思。

在數(shù)字電子技術(shù)中，把作用時間很短的、突變的電壓或電流稱為脈沖。

數(shù)字信號實質(zhì)上是一種脈沖信號。常見的脈沖信號波形有矩形波、尖頂波等多種。tt一個實際的脈沖波形如圖1.1.1所示。脈沖幅度A脈沖上升沿tr

脈沖周期T脈沖下降沿tf

脈沖寬度tp

A0.9A0.5A0.1AtptrtfT實際的矩形波

脈沖前沿─脈沖最先來到的一邊，指脈沖的幅度由10%上升到90%所需的時間。

脈沖后沿─脈沖結(jié)束時的一邊，指脈沖的幅度由90%下降到10%所需要的時間。

脈沖寬度─脈沖前沿幅度的50%到后沿幅度的50%所需要的時間，也稱脈沖持續(xù)時間。

脈沖幅度A─脈沖信號變化的最大值。

其波形的物理意義參數(shù)敘述如下

脈沖周期T─周期性脈沖信號前后兩次出現(xiàn)的時間間隔。

脈沖信號又分為正脈沖和負(fù)脈沖，正脈沖的前沿是上升邊，后沿是下降邊，負(fù)脈沖正好相反。理想矩形脈沖如圖1.1.2所示。脈沖頻率─單位時間內(nèi)的脈沖數(shù)，與周期的關(guān)系為1.1.2

邏輯狀態(tài)的表示方法

現(xiàn)實生活當(dāng)中有很多對立的狀態(tài)，像開關(guān)的閉合和斷開，燈泡的亮和滅，事物的真和假，脈沖信號的有和無等。在數(shù)字電路當(dāng)中通常用邏輯“1”和“0”來表示這兩種狀態(tài)。例如，燈亮為“1”，燈滅為“0”；有脈沖為“1”，無脈沖為“0”。

脈沖信號通常用它的電位高低來表示：有脈沖時電位較高，稱它具有高電平；無脈沖時電位較低，稱它具有低電平。注意

因受各種因素的影響，高、低電平并不是單一的數(shù)值，而是指的一個范圍。

在數(shù)字系統(tǒng)中，脈沖信號的高、低電平都用“1”或“0”來表示，如果高電平用“1”，低電平用“0”表示，稱為正邏輯系統(tǒng)。如果高電平用“0”，低電平用“1”表示，稱為負(fù)邏輯系統(tǒng)。

1.2

邏輯門電路

邏輯關(guān)系指事物的因果關(guān)系，即“條件”與“結(jié)果”的關(guān)系。在數(shù)字電路中用輸入信號反映“條件”，用輸出信號表示“結(jié)果”，這種電路稱邏輯電路。

邏輯電路中最基本的邏輯關(guān)系有三種，即：與邏輯、或邏輯、非邏輯。相應(yīng)的邏輯門電路也有三種，即：與門電路、或門電路、非門電路。門電路可以用二極管、三極管、電阻等分立元件組成，也可以是集成電路。

1.2.1

基本邏輯運算及實現(xiàn)1．三種基本邏輯運算邏輯代數(shù)的基本運算有與、或、非三種。

圖1.2.1給出了三種指示燈控制電路，下面分別討論其對應(yīng)的邏輯運算關(guān)系。

如果約定：將開關(guān)閉合作為條件，把指示燈亮作為結(jié)果，那么圖1.2.1所示控制電路就代表了三種不同的因果關(guān)系。

圖（a）表明：只有所有條件同時滿足時，結(jié)果才會發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯與關(guān)系。

220V+-000101110100ABYBYA狀態(tài)表開關(guān)閉合：“1”斷開：“0”燈亮：“1”燈滅：“0”邏輯表達(dá)式：

Y=A?BBY220VA+-真值表000111110110ABY開關(guān)閉合：“1”斷開：“0”燈亮：“1”燈滅：“0”邏輯表達(dá)式：

Y=A+B圖（b）表明：只要條件之一能夠滿足，結(jié)果就會發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯或關(guān)系。

“非”邏輯關(guān)系是否定或相反的意思。

邏輯表達(dá)式：Y=A狀態(tài)表101AY0Y220VA+-R開關(guān)閉合：“1”斷開：“0”燈亮：“1”燈滅：“0”圖（c）表明：條件滿足時，結(jié)果不會發(fā)生；而條件不滿足時，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非關(guān)系。

如果以A、B表示條件，并用1表示條件滿足，0表示不滿足；以Y表示事件的結(jié)果，并用1表示事件發(fā)生，0表示不發(fā)生。則與、或、非的邏輯關(guān)系可用表1.2.1、表1.2.2、表1.2.3來描述。這種描述邏輯關(guān)系的表格稱之為真值表。

以“·”代表與運算（或稱邏輯相乘），以“+”代表或運算（或稱邏輯相加），以變量上的“—”代表非運算（或稱邏輯求反），則表1.2.4表示三種基本邏輯運算表達(dá)式及其運算規(guī)律。

基本邏輯運算基本邏輯運算基本邏輯運算與運算Y=A·B或?qū)懗蒠=AB0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1或運算Y=A+B0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1非運算

Y=

能實現(xiàn)與、或、非三種基本邏輯運算關(guān)系的單元電路分別叫做與門、或門、非門（也稱反相器），其對應(yīng)的邏輯符號如圖1.2.2所示。2．復(fù)合邏輯運算與、或、非是三種最基本的邏輯關(guān)系，任何其他的復(fù)雜邏輯關(guān)系都可由這三種基本邏輯關(guān)系組合而成。例如將與門和非門按圖1.2.3(a)連接，可得到圖1.2.3(b)的與非門（先與后非運算的電路）。（3）

真值表（2）邏輯符號（1）

邏輯表達(dá)式ABY000110111110與非與非邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系與非

有0出1

全1出0

或非有1出0全0為1與或非描述較復(fù)雜異或相同出0相異出1同或=A⊙B=

相同出1相異出0表1.2.5

幾種常見復(fù)合邏輯關(guān)系1.2.2TTL集成邏輯門

TTL電路是輸入端和輸出端都采用晶體管的邏輯電路，TTL是一個電路系列。

MOS邏輯門電路是金屬—氧化物—半導(dǎo)體場效應(yīng)管邏輯門的簡稱。MOS集成電路有三種形式，即由N溝道增強型MOS管構(gòu)成的NMOS電路、由P溝道增強型MOS管構(gòu)成的PMOS電路以及兼有N溝道和P溝道的互補MOS電路（簡稱為CMOS電路）。PMOS電路的原理與NMOS電路的原理完全相同，只是電源極性相反而已。1.2.3CMOS集成邏輯門

CMOS發(fā)展最迅速，應(yīng)用最廣泛。制造工藝簡單、體積小、集成度高，特別適用于大規(guī)模集成制造。CMOS電路的另一個特點是輸入阻抗高（可達(dá)1010Ω以上），即直流負(fù)載很小，幾乎不取用前級信號源電流，因此有很高的扇出能力。1.3

邏輯代數(shù)的基本公式和規(guī)則0-1律重疊律互補律交換律根據(jù)邏輯代數(shù)中與、或、非三種基本運算規(guī)則可推導(dǎo)出邏輯運算的一些基本公式，如表1.3.1所示。表1.3.1邏輯代數(shù)的基本公式反演律還原律結(jié)合律分配律常用公式110011111100反演律列狀態(tài)表證明：AB00011011111001000000同理可證明表1.3.1中常用公式應(yīng)用較多，現(xiàn)利用基本公式對部分常用公式證明如下。（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1證明證：1.3.2

基本規(guī)則

1、代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。

例如，已知等式，用BC代替等式中的B等式左邊：等式右邊：顯然等式仍然成立

（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：則應(yīng)用反演規(guī)則時應(yīng)注意，不在一個變量上的非號應(yīng)保持不變。例如：則

（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)‘，Y’稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。則如果兩個函數(shù)Y和Z相等，那么它們的對偶式也相等。不難證明，表1.3.1所列的基本公式中，左右兩邊的等式互為對偶式。例如：1.4

邏輯函數(shù)的化簡1.4.1

邏輯函數(shù)及其表示方法1.邏輯函數(shù)在邏輯代數(shù)中，邏輯變量的取值只有0、1兩種取值，所以輸出函數(shù)的值也只能是0或1，而不可能有其它取值。在邏輯電路中，如果輸入變量A、B、C、…的取值確定之后，輸出變量Y的值也被唯一地確定了，那么，就稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)的一般表達(dá)式可以寫作：2．邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法通常有真值表函數(shù)表達(dá)式邏輯圖卡諾圖例如，圖1.4.1(a)是一個用單刀雙擲開關(guān)來控制樓梯照明燈的電路，圖（b）為其示意圖。要求上樓時，先在樓下開燈，上樓后在樓上順手把燈關(guān)掉；下樓時可在樓上開燈，在下樓后再把燈關(guān)掉，請用多種方法表達(dá)其邏輯關(guān)系。為了表達(dá)圖1.4.1所示樓梯照明燈控制邏輯關(guān)系，先設(shè)開關(guān)A、B向上扳為1，向下扳為0；燈Y發(fā)光為1，不發(fā)光為0。（1）真值表表示法:

將輸入變量所有的取值和對應(yīng)的函數(shù)值列成表格。如表1.4.1所示。這個表格就稱為此邏輯問題的“真值表”。ABY001010100111注意在填寫真值表時應(yīng)注意：

①應(yīng)表示出所有可能的不同輸入組合，若輸入變量為n個，則完整的真值表應(yīng)有種不同的輸入組合。

②根據(jù)邏輯問題給出的條件，相應(yīng)地填入所有組合的邏輯結(jié)果。邏輯表達(dá)式是指將輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系用邏輯運算符來描述。由表中可知，在輸入變量A、B的四種不同的取值組合狀態(tài)中，只有當(dāng)A=0與B=0（表示開關(guān)A、B均扳下），或者A=1與B=1（開關(guān)A、B均扳上），Y才等于1（燈亮），其它兩種情況燈均不亮。顯然，對應(yīng)燈亮的兩種情況，每一組取值組合狀態(tài)中，變量之間是與的關(guān)系，而這兩組狀態(tài)組合之間是或的關(guān)系，由此可寫出真值表中Y=1的邏輯表達(dá)式為⊙（2）邏輯表達(dá)式表示法（3）邏輯圖表示法邏輯圖是指將輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系用邏輯圖形符號來描述。很顯然，上述邏輯問題屬于同或邏輯關(guān)系，因此可用圖1.4.2來表示。

(4）卡諾圖表示法:卡諾圖實際上是真值表的圖形化，因此也稱真值圖?？ㄖZ圖主要用來化簡邏輯函數(shù)。它具有直觀、明了、易于化簡等優(yōu)點?？ㄖZ圖表示法將在本節(jié)的后面進(jìn)行介紹。1.4.2

邏輯函數(shù)的公式化簡1．化簡的意義表達(dá)式越簡單邏輯圖就越簡單，對應(yīng)的實際電路也越簡單，并且經(jīng)濟(jì)、可靠。所以有必要對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。在實際應(yīng)用當(dāng)中，同一個邏輯函數(shù)可用不同形式的邏輯函數(shù)表達(dá)式描述它，其中與或表達(dá)式是最基本的表示形式。運用邏輯代數(shù)基本公式和定理，它很容易被轉(zhuǎn)換成其他形式的表達(dá)式。所以邏輯函數(shù)化簡，通常是指將邏輯函數(shù)式化簡成“最簡與或表達(dá)式”。凡與項最少，且每個與項中變量個數(shù)最少的與或表達(dá)式，可稱為最簡與或表達(dá)式。2．化簡方法（1）并項法:利用公式，將兩項合并為一項，并消去一個變量例1：例2：（2）吸收法：吸收例4：化簡利用公式消去多余的項例3：（3）消去法：利用公式例5：（4）消項法：利用公式例6：（5）配項法：利用公式給某個與項配項，試探進(jìn)一步化簡邏輯函數(shù)例1.4.1

化簡函數(shù)解：例1.4.2

化簡函數(shù)解：

=1

從以上舉例中可見，用公式化簡邏輯函數(shù)，沒有固定的步驟，比較靈活，但有一定的技巧。1.4.3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡1．邏輯函數(shù)的卡諾圖表示（1）邏輯函數(shù)的最小項及性質(zhì)在邏輯函數(shù)中，如果一個乘積項包含了所有的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子出現(xiàn)一次，那么這樣的乘積項就稱為這些變量的一個最小項。

在

n變量邏輯函數(shù)中，若

m是包含

n個因子的乘項積，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在

m

中出現(xiàn)一次，則稱m

為該組變量的最小項。二變量的全部最小項AB最小項編號00011011ABm0ABABABm1m2m3三變量的全部最小項ABC最小項編號000001010011100101110111m0ABCABCABCABCABCABCABCABCm1m2m3m4m5m6m7二變量全部最小項有m0~m3共4個三變量全部最小項有m0~m7共8個若有n個變量，則有2n個最小項關(guān)于最小項的編號。其方法是：設(shè)原變量為1，反變量為0，每個最小項可按順序組成一組二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，即最小項編號。例如，取值應(yīng)為011，對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)是3，則編號為3，記作，其余類推。三變量的全部最小項ABC最小項編號000001010011100101110111m0ABCABCABCABCABCABCABCABCm1m2m3m4m5m6m7表1.4.2列出了三變量的八個最小項及編號。表1.4.2m3

①卡諾圖的構(gòu)成:卡諾圖是以方塊圖的形式，將邏輯上相鄰的最小項排在位置相鄰的方塊中所構(gòu)成的圖形。所謂邏輯相鄰是指兩個相同變量的最小項，只有一個因子互為反變量，其它因子都相同。。

（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。（2）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)二變量（A、B）的卡諾圖如圖1.4.3(a)所示，它有22=4個最小項.三變量（A、B、C）的卡諾圖如圖1.4.3(b)所示，它有23=8個最小項.四變量（A、B、C、D）的卡諾圖如圖1.4.3(c)所示，它有24=16個最小項

注意：左右、上下；在卡諾圖中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小項都是邏輯相鄰的。右圖左側(cè)和上側(cè)的數(shù)字，表示對應(yīng)最小項變量的取值

②用卡諾圖表示邏輯函數(shù)首先把邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項之和的形式，然后在卡諾圖上將這些最小項對應(yīng)的位置上填1，其余填0（也可不填），就得到了表示這個邏輯函數(shù)的卡諾圖。實際上就是將函數(shù)值填入相應(yīng)的方塊中。例1.4.3

填寫三變量邏輯函數(shù)Y（A、B、C）=∑m(2,3,6,7)卡諾圖解：Y有4個最小項，，，，就在三變量卡諾圖的相應(yīng)位置上填1，其他位置填0，如圖1.4.4所示。2．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖中相鄰的方格中的兩個最小項只有一個變量不同，因此可以利用，將兩項并為一項，并消去一個互非的變量。其方法可以歸納如下：

①相鄰的2個最小項可以合并成一項，并且能夠消去一個變量；②相鄰的4個最小項可以合并成一項，并且能夠消去二個變量；③相鄰的8個最小項可以合并成一項，并且能夠消去三個變量；……相鄰的2n個最小項可以合并成一項，并且能夠消去n個變量。消去的是不同因子，保留的是相同因子。例1.4.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m(1,4,5,6,7,9,12,13,14,15)解：根據(jù)所給函數(shù)，畫出四變量卡諾圖，在對應(yīng)小方格內(nèi)填入1，其余小方格內(nèi)填0，如圖1.4.5所示。將函數(shù)值為1的方格按相鄰2個、4個、8個包圍在一起，這一過程稱為畫包圍圈。畫包圍圈時應(yīng)注意：

①包圍圈應(yīng)盡可能大，這樣能更多地消去因子。

②包圍圈應(yīng)盡可能少，以減少與項個數(shù)。

③同一方格在需要時可以被多次圈，因為A+A=A。④每個包圍圈要有新的成分，若一個包圍圈中所有的方格都被別的包圍圈圈過，則這個包圍圈是多余的。

⑤先圈大，后圈小，單獨方格單獨圈，不要遺漏一個方格。按照上述方法，該邏輯函數(shù)可畫的包圍圈如圖6.4.5所示。化簡后的邏輯函數(shù)為YABC01000111101111100111兩式不相同，但函數(shù)值一定相同。YABC01000111101111100111Y

=B+ABC+ACY

=C+A+BCAB將Y=AC+AC+BC+BC化簡