數(shù)字信號(hào)最佳接收

第十章數(shù)字信號(hào)最正確接收1以二進(jìn)制為例研究接收電壓的統(tǒng)計(jì)特性。假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0〞和“1〞，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，那么有 P(0)+P(1)=1 假設(shè)此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，那么根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值：，那么有k＝2fHTs。1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性2由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n－噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；

n2

－噪聲的方差，即噪聲平均功率； i＝1，2，…，k。設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個(gè)抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

3由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為當(dāng)k很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，那么上式變成4利用上式關(guān)系，并注意到 式中n0－噪聲單邊功率譜密度 那么前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為： 式中 n=(n1,n2,…,nk)－k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。需要注意，f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量t無關(guān)。n是一個(gè)k維矢量，它可以看作是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)。5在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k〔它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)〕給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些那么無錯(cuò)。6設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和: r(t)=s(t)+n(t) 那么在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0〞的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中r=s+n—k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽 樣值； s－k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。

7同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為順便指出，假設(shè)通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，…，si，…，sM之一，那么按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

仍需記住，以上三式中的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間t的函數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而r仍是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。8“最正確〞的準(zhǔn)那么：錯(cuò)誤概率最小產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。判決規(guī)那么 設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1〞的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0〞的概率為P(0)，那么總誤碼率Pe等于 式中 Pe1=P(0/1)－發(fā)送“1〞時(shí)，收到“0〞的條件概率； Pe0=P(1/0)－發(fā)送“0〞時(shí)，收到“1〞的條件概率； 上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。2數(shù)字信號(hào)的最正確接收9 按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以用一個(gè)k維矢量表示。接收設(shè)備需要對每個(gè)接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0〞，還是“1〞。 由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在以下圖中〔在圖中把r當(dāng)作1維矢量畫出?！常?可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規(guī)那么規(guī)定為： 假設(shè)接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，那么判為發(fā)送碼元是“0〞； 假設(shè)接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，那么判為發(fā)送碼元是“1〞。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)10 顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個(gè) 互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū) 域的邊界r0確定后，錯(cuò)誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1〞時(shí)，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0〞時(shí)，矢量r落在區(qū)域A1的條件概率 這兩個(gè)條件概率可以寫為： 這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)11 將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)r0，將上式對r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0， 求出最正確分界點(diǎn)r0的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)12 即 領(lǐng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1)=P(0)時(shí)，f0(r0)=f1(r0)，所以最正確分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的r值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0〞的判決準(zhǔn)那么，這時(shí)有： 假設(shè) 那么判為“0〞； 反之， 假設(shè) 那么判為“1〞。 在發(fā)送“0〞和發(fā)送“1〞的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡化為：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)

若f0(r)>f1(r)，則判為“0”若f0(r)<f1(r)，則判為“1”13 這個(gè)判決準(zhǔn)那么常稱為最大似然準(zhǔn)那么。按照這個(gè)準(zhǔn)那么判決就可以得到理論上最正確的誤碼率，即到達(dá)理論上的誤碼率最小值。以上對于二進(jìn)制最正確接收準(zhǔn)那么的分析，可以推廣到多進(jìn)制信號(hào)的場合。設(shè)在一個(gè)M進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 于是，假設(shè) 那么判為si(t)，其中，14確知信號(hào)：指其取值在任何時(shí)間都是確定的、可以預(yù)知的信號(hào)。判決準(zhǔn)那么當(dāng)發(fā)送碼元為“0〞，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為當(dāng)發(fā)送碼元為“1〞，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)那么式，經(jīng)過簡化，得到：3確知數(shù)字信號(hào)的最正確接收機(jī)15 假設(shè) 那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；假設(shè) 那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到假設(shè)

那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即 所以上式還可以進(jìn)一步簡化。16 假設(shè) 式中 那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。

最正確接收機(jī) 按照上式畫出的最正確接收機(jī)原理方框圖如下：17W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比較判決積分器積分器18r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts假設(shè)此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，那么上式簡化為最正確接收機(jī)的原理方框圖也可以簡化成19由上述討論不難推出M進(jìn)制通信系統(tǒng)的最正確接收機(jī)結(jié)構(gòu)上面的最正確接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。由最正確接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能到達(dá)的最小值。積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器20總誤碼率 在最正確接收機(jī)中，假設(shè)

那么判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時(shí)，假設(shè)上式成立，那么將發(fā)生錯(cuò)誤判決。所以假設(shè)將r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，那么上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1〞的條件下收到“0〞的概率，即發(fā)生錯(cuò)誤的條件概率P(0/1)。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如下4確知數(shù)字信號(hào)最正確接收的誤碼率21式中同理，可以求出發(fā)送s0(t)時(shí)，判決為收到s1(t)的條件錯(cuò)誤概率式中22因此，總誤碼率為先驗(yàn)概率對誤碼率的影響 領(lǐng)先驗(yàn)概率P(0)=0及P(1)=1時(shí)，a=-及b=，因此由上式計(jì)算出總誤碼率Pe=0。在物理意義上，這時(shí)由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1〞。因此，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。同理，假設(shè)P(0)=1及P(1)=0，總誤碼率也為零。23領(lǐng)先驗(yàn)概率相等時(shí)： P(0)=P(1)=1/2，a=b。這樣，上式可以化簡為 式中 上式說明，領(lǐng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差[s0(t)–s1(t)]的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差異越大，c值越小，誤碼率Pe也越小。領(lǐng)先驗(yàn)概率不等時(shí)： 由計(jì)算說明，先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。24先驗(yàn)概率相等時(shí)誤碼率的計(jì)算 在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個(gè)參量，即碼元的相關(guān)系數(shù)，其定義如下： 式中

E0、E1為信號(hào)碼元的能量。 當(dāng)s0(t)=s1(t)時(shí)，＝1，為最大值；當(dāng)s0(t)=-s1(t)時(shí)，＝－1，為最小值。所以的取值范圍在-1+1。25 當(dāng)兩碼元的能量相等時(shí)，令E0=E1=Eb，那么上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到

為了將上式變成實(shí)用的形式，作如下的代數(shù)變換： 令 那么有 26 于是上式變?yōu)?式中 利用下式中2和n0關(guān)系 代入上式，得到誤碼率最終表示式：27式中 —誤差函數(shù) —補(bǔ)誤差函數(shù) Eb—碼元能量； —碼元相關(guān)系數(shù)； n0—噪聲功率譜密度。 上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最正確〔最小可能〕值。在以下圖中畫出了它的曲線。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。28誤碼率曲線dB29最正確接收性能特點(diǎn)誤碼率僅和Eb/n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號(hào)波形及噪聲功率無直接關(guān)系。碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實(shí)際上相當(dāng)于信號(hào)噪聲功率比Ps/Pn。因?yàn)榧僭O(shè)系統(tǒng)帶寬B等于1/Ts， 那么有

按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號(hào)時(shí)，所需的最小帶寬為(1/2Ts)Hz。對于已調(diào)信號(hào)，假設(shè)采用的是2PSK或2ASK信號(hào)，那么其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts)Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號(hào)噪聲功率比看待。30相關(guān)系數(shù)

對于誤碼率的影響很大。當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即=1時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率Pe=1/2。因?yàn)檫@時(shí)兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即=-1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)的最小誤碼率等于

例如，2PSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于-1。當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù)

等于0時(shí)，誤碼率等于例如，2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。31假設(shè)兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號(hào)，那么 誤碼率為比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)的性能差3dB，而2FSK信號(hào)的性能又比2PSK信號(hào)的性能差3dB。32多進(jìn)制通信系統(tǒng)假設(shè)不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，那么其最正確誤碼率計(jì)算結(jié)果如下： 式中，M－進(jìn)制數(shù)； E－M進(jìn)制碼元能量； n0－單邊噪聲功率譜密度。 由于一個(gè)M進(jìn)制碼元中含有的比特?cái)?shù)k等于log2M，故每個(gè)比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 以下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。33誤碼率曲線

由此曲線看出，對于 給定的誤碼率，當(dāng)k

增大時(shí)，需要的信噪 比Eb/n0減小。當(dāng)k增 大到時(shí)，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時(shí)只要Eb/n0等于 0.693(-1.6dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n034假設(shè)：

2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。因此，可以將此信號(hào)表示為：

及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：5隨相數(shù)字信號(hào)的最正確接收35判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有 在討論確知信號(hào)的最正確接收時(shí)，對于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，按照下式條件作判決： 假設(shè)接收矢量r使f1(r)<f0(r)，那么判發(fā)送碼元是“0〞， 假設(shè)接收矢量r使f0(r)<f1(r)，那么判發(fā)送碼元是“1〞。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：36 假設(shè)接收矢量r使M12<M02，那么判為發(fā)送碼元是“0〞， 假設(shè)接收矢量r使M02<M12，那么判為發(fā)送碼元是“1〞。 上面就是最終判決條件，其中： 按照上面判決準(zhǔn)那么構(gòu)成的隨相信號(hào)最正確接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于以下圖中。37最正確接收機(jī)的結(jié)構(gòu)相關(guān)器平方cos0t相加相關(guān)器平方sin0t相關(guān)器平方cos1t相加相關(guān)器平方sin1t比較r(t)Y0X1Y1X038誤碼率： 隨相信號(hào)最正確接收機(jī)的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計(jì)算出來，結(jié)果如下：最后指出，上述最正確接收機(jī)及其誤碼率也就是2FSK確知信號(hào)的非相干接收機(jī)和誤碼率。因?yàn)殡S相信號(hào)的相位帶有由信道引入的隨機(jī)變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號(hào)。對于隨相信號(hào)而言，非相干接收已經(jīng)是最正確的接收方法了。39仍以2FSK信號(hào)為例簡要地討論其最正確接收問題。假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；信號(hào)是互不相關(guān)的等能量、等先驗(yàn)概率的2FSK信號(hào)。2FSK信號(hào)的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：6起伏數(shù)字信號(hào)的最正確接收40

式中，s2為信號(hào)的功率； 而且0和1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號(hào)si(t,i,Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為41接收矢量的概率密度:由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為：

42 經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，上兩式的計(jì)算結(jié)果如下：式中

n0－噪聲功率譜密度；

n2－噪聲功率。43誤碼率： 實(shí)質(zhì)上，和隨相信號(hào)最正確接收時(shí)一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號(hào)最正確接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)最正確接收機(jī)的一樣。但是，這時(shí)的最正確誤碼率那么不同于隨相信號(hào)的誤碼率。這時(shí)的誤碼率等于 式中， －接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量。44誤碼率曲線 由此圖看出，在有衰落時(shí)， 性能隨誤碼率下降而迅速 變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2

時(shí)，衰落使性能下降約 10dB；當(dāng)誤碼率等于10-3

時(shí)，下降約20dB。45相干2ASK信號(hào)非相干2ASK信號(hào)相干2FSK信號(hào)非相干2FSK信號(hào)相干2PSK信號(hào)差分相干2DPSK信號(hào)同步檢測2DPSK信號(hào)實(shí)際接收機(jī)的Pe最正確接收機(jī)的Pe7實(shí)際接收機(jī)和最正確接收機(jī)的性能比較46什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號(hào)濾波時(shí)，使抽樣時(shí)刻上輸出信號(hào)噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。假設(shè)條件：接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時(shí)間為Ts，信號(hào)和噪聲之和r(t)為 式中，s(t)－信號(hào)碼元，

n(t)－高斯白噪聲；8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法47并設(shè)信號(hào)碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f)=n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。輸出電壓假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩局部時(shí)，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)so(t)和輸出噪聲no(t)兩局部，即 式中48輸出噪聲功率由這時(shí)的輸出噪聲功率No等于輸出信噪比在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為49匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求r0的最大值假設(shè)其中k為任意常數(shù)，那么上式的等號(hào)成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令那么有式中50 而且當(dāng) 時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。 上式說明，H(f)就是我們要找的最正確接收濾波器傳輸特性。它等于信號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛〔除了常數(shù)因子外〕。故稱此濾波器為匹配濾波器。51匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：

由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間軸上〔向右〕平移了t0。52000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)圖解53實(shí)際的匹配濾波器 一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖參加前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有： 即要求滿足條件 或滿足條件 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0=Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為54 這時(shí)，假設(shè)匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，那么輸出信號(hào)碼元的波形為： 上式說明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個(gè)任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k＝1。55【例10.1】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形。 【解】上式所示的信號(hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如以下圖所示。 其頻譜為 由 令k=1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令k=1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為tTss(t)156

此沖激響應(yīng)示于以下圖。 外表上看來，h(t)的形狀和信號(hào)s(t)的形狀一樣。實(shí)際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t=Ts/2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對稱于t=Ts/2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號(hào)波形如下：

tTsh(t)1tTsso(t)57 由其傳輸函數(shù)

可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因?yàn)樯鲜街械?1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時(shí)間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。延遲Ts理想積分器＋－58【例10.2】設(shè)信號(hào)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。 【解】 上式給出的信號(hào)波形 是一段余弦振蕩， 如右圖所示： 其頻譜為Ts59 因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 上式中已令t0=Ts。 此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為：

為了便于畫出波形簡圖，令 式中，n=正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為 h(t)的曲線示于以下圖：60 這時(shí)的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現(xiàn)在s(t)和h(t)在區(qū)間(0,Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算： 顯然，當(dāng)t<0和t>2Ts時(shí)，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。(b)沖激響應(yīng)Ts61 當(dāng)0t<Ts時(shí)，上式等于 當(dāng)Tst2Ts時(shí)，上式等于 假設(shè)因f0很大而使(1/4f0)可以忽略，那么最后得到62按上式畫出的曲線示于以下圖中。(a)信號(hào)波形(b)沖激響應(yīng)(c)輸出波形TsTsTs2Ts63匹配濾波器接收電路的構(gòu)成對于二進(jìn)制確知信號(hào)，使用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖示于以下圖中。圖中有兩個(gè)匹配濾波器，分別匹配于兩種信號(hào)碼元。在抽樣時(shí)刻對抽樣值進(jìn)行比較判決。哪個(gè)匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就判決那個(gè)為輸出。假設(shè)此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，那么此方框圖能給出最小的總誤碼率。匹配濾波器1匹配濾波器2抽樣比較判決抽樣t=Tst=Ts輸入輸出64匹配濾波器可以用不同的硬件電路實(shí)現(xiàn)，也可以用軟件實(shí)現(xiàn)。目前，由于軟件無線電技術(shù)的開展，它日益趨向于用軟件技術(shù)實(shí)現(xiàn)。在上面的討論中對于信號(hào)波形從未涉及，也就是說最大輸出信噪比和信號(hào)波形無關(guān)，只決定于信號(hào)能量E與噪聲功率譜密度n0之比，所以這種匹配濾波法對于任何一種數(shù)字信號(hào)波形都適用，不管是基帶數(shù)字信號(hào)還是已調(diào)數(shù)字信號(hào)。例10.1中給出的是基帶數(shù)字信號(hào)的例子；而例10.2中給出的信號(hào)那么是已調(diào)數(shù)字信號(hào)的例子。65匹配濾波器的性能 用上述匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最正確接收時(shí)理論上能到達(dá)的最高輸出信噪比。證明如下： 匹配濾波器輸出電壓的波形y(t)可以寫成 在抽樣時(shí)刻Ts，輸出電壓等于 可以看出，上式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入r(t)與s(t)作相關(guān)運(yùn)算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號(hào)。它表示只有輸入電壓r(t)=s(t)+n(t)時(shí)，在時(shí)刻t=Ts才有最大的輸出信噪比。式中的k是任意常數(shù)，通常令k=1。66 用上述相關(guān)運(yùn)算代替上圖中的匹配濾波器得到如以下圖所示的相關(guān)接收法方框圖。

匹配濾波法和相關(guān)接收法完全等效，都是最正確接收方法。積分積分s1(t)s0(t)抽樣比較判決抽樣t=Tst=Ts輸入輸出67【例10.3】設(shè)有一個(gè)信號(hào)碼元如例10.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過匹配濾波器和相關(guān)接收器時(shí)的輸出波形。 【解】此信號(hào)碼元通過相關(guān)接收器后，輸出信號(hào)波形等于 上式中已經(jīng)假定f0很大，從而結(jié)果可以近似等于t/2，即與t成直線關(guān)系。這兩種結(jié)果示于以下圖中。由此圖可見，只有當(dāng)t=Ts時(shí)，兩者的抽樣值才相等。相關(guān)器輸出匹配濾波器輸出68匹配濾波器的實(shí)際應(yīng)用 匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)該和信號(hào)波形s(t)嚴(yán)格匹配，包括對相位也有要求。對于確知信號(hào)的接收，這是可以做到的。對于隨相信號(hào)而言，就不可能使信號(hào)的隨機(jī)相位和h(t)的相位匹配。但是，匹配濾波器還是可以用于接收隨相信號(hào)的。下面就對此作進(jìn)一步的分析。 設(shè)匹配濾波器的特性仍如例10.2所給出： 并設(shè)此匹配濾波器的輸入是r(t)，那么此濾波器的輸出y(t)由卷積公式求出為：69 式中 由上式看出，當(dāng)t=Ts時(shí)，y(t)的包絡(luò)和10.5節(jié)隨相信號(hào)最正確接收判決條件式中的M0和M1形式相同。所以，按照10.5節(jié)隨相信號(hào)最正確接收時(shí)的判決準(zhǔn)那么比較M0和M1，就相當(dāng)于比較上式的包絡(luò)。70 因此，10.5節(jié)中的隨相信號(hào)最正確接收機(jī)結(jié)構(gòu)圖可以改成如以下圖所示的結(jié)構(gòu)： 在此圖中，有兩個(gè)匹配濾波器，其特性分別對二進(jìn)制的兩種碼元匹配。匹配濾波器的輸出經(jīng)過包絡(luò)檢波，然后作比較判決。 由于起伏信號(hào)最正確接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)的相同，所以上圖同樣適用于對起伏信號(hào)作最正確接收。匹配濾波器f0包絡(luò)檢波器比較判決匹配濾波器f1包絡(luò)檢波器t=TsM0M1r(t)y0(t)y1(t)71何謂最正確基帶傳輸系統(tǒng)？ 設(shè)基帶數(shù)字信號(hào)傳輸系統(tǒng)由發(fā)送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數(shù)分別為GT(f)、C(f)和GR(f)。 在第6章中將這3個(gè)濾波器集中用一個(gè)基帶總傳輸函數(shù)H(f)表示： H(f)=GT(f)C(f)GR(f)抽樣判決9最正確基帶傳輸系統(tǒng)72 在第6章中，為了消除碼間串?dāng)_，要求H(f)必須滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)那么。當(dāng)時(shí)忽略了噪聲的影響，只考慮碼間串?dāng)_。 現(xiàn)在，我們將分析在H(f)滿足消除碼間串?dāng)_的條件之后，如何設(shè)計(jì)GT(f)、C(f)和GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 將消除了碼間串?dāng)_并且噪聲最小的基帶傳輸系統(tǒng)稱為最正確基帶傳輸系統(tǒng)。設(shè)計(jì)最正確基帶傳輸系統(tǒng)的方法 由于信道的傳輸特性C(f)往往不易得知，并且還可能是時(shí)變的。所以，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，有兩種分析方法： 1〕假設(shè)信道具有理想特性，即假設(shè)C(f)=1。 2〕考慮到信道的非理想特性。73理想信道的最正確傳輸系統(tǒng)最正確傳輸系統(tǒng)的條件 假設(shè)信道傳輸函數(shù)C(f)=1。于是，基帶系統(tǒng)的傳輸特性變?yōu)?H(f)=GT(f)GR(f) 上式中GT(f)雖然表示發(fā)送濾波器的特性，但是假設(shè)傳輸系統(tǒng)的輸入為沖激脈沖，那么GT(f)還兼有決定發(fā)送信號(hào)波形的功能，即它就是信號(hào)碼元的頻譜。 現(xiàn)在，將分析在H(f)按照消除碼間串?dāng)_的條件確定之后，如何設(shè)計(jì)GT(f)和GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 由對匹配濾波器頻率特性的要求可知，接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)GR(f)應(yīng)當(dāng)是信號(hào)頻譜S(f)的復(fù)共軛?，F(xiàn)在，信號(hào)的頻譜就是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù)GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)為： 上式中已經(jīng)假定k=1。74 由H(f)=GT(f)GR(f)，有 將上式代入所要求的接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) 得到 即 上式左端是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以上式右端也必須是實(shí)數(shù)。因此，上式可以寫為 所以得到接收匹配濾波器應(yīng)滿足的條件為75

由于上式條件沒有限定對接收濾波器的相位要求，所以可以選用 這樣，由H(f)=GT(f)GR(f)，得到發(fā)送濾波器的傳輸特性為 上兩式就是最正確基帶傳輸系統(tǒng)對于收發(fā)濾波器傳輸函數(shù)的要求。76最正確基帶傳輸系統(tǒng)的誤碼率性能 設(shè)基帶信號(hào)碼元為M進(jìn)制的多電平信號(hào)。一個(gè)碼元可以取以下M種電平之一： 其中d為相鄰電平間隔的一半，如以下圖所示。圖中的M＝8。 在接收端，判決電路的判決 門限值那么應(yīng)當(dāng)設(shè)定在：d3d7d-5d-3d-d0t-7d5d77 按照這樣的規(guī)定，在接收端抽樣判決時(shí)刻，假設(shè)噪聲值不超過d，那么不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤判決。但是，當(dāng)噪聲值大于最高信號(hào)電平值或小于最低電平值時(shí)，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤判決；也就是說，對于最外側(cè)的兩個(gè)電平，只在一個(gè)方向有出錯(cuò)的可能。這種情況的出現(xiàn)占所有可能的1/M。所以，錯(cuò)誤概率為 式中，是噪聲的抽樣值，而P(||>d)是噪聲抽樣值大于d的概率。 現(xiàn)在來計(jì)算上式中的P(||>d)。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，那么有78

上式中的積分