離散傅里葉變換(DFT)

3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當(dāng)前第1頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)一.引言3.1離散傅里葉變換的定義

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換、連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換，他們都是信號(hào)處理領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開(kāi)辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行。DFT存在快速算法，使信號(hào)的實(shí)時(shí)處理得以實(shí)現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號(hào)處理中也起著核心作用。當(dāng)前第2頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)二.四種信號(hào)傅里葉表示(1)周期為T(mén)的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)FS時(shí)域周期頻域離散。頻譜特點(diǎn):離散非周期譜(2)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)FT時(shí)域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜當(dāng)前第3頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(3)離散非周期信號(hào)DTFT時(shí)域離散頻域周期。頻譜特點(diǎn)：周期為2的連續(xù)譜(4)周期為N的離散周期信號(hào)時(shí)域離散周期頻域周期離散。頻譜特點(diǎn):周期為N的離散譜DFS當(dāng)前第4頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種傅立葉變換:時(shí)域頻域1.連續(xù)非周期連續(xù)非周期()FT2.連續(xù)周期

離散非周期

()FS3.離散非周期連續(xù)周期（）DTFT4.離散周期離散周期DFS

？切實(shí)理解四種FT之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系當(dāng)前第5頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)三.離散付里葉級(jí)數(shù)(DFS)

為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT)。周期序列

因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M(mǎn)足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示。(1)DFS定義正變換：反變換：一般記：當(dāng)前第6頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(2)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)由可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：？將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N上求和得根據(jù)正交定理令k=m當(dāng)前第7頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)令依同樣方法可推出：

所以，時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是一個(gè)周期序列周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)表明：可將周期為N的序列分解成N個(gè)離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為，幅度為，其中表示其頻譜分布規(guī)律當(dāng)前第8頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(3)周期序列的傅里葉變換表示

因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M(mǎn)足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，通過(guò)引入奇異函數(shù)δ其DTFT可以用公式表示。當(dāng)前第9頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四.離散付里葉變換

周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義，因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng)序列,這就得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)。(1)時(shí)域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓(2)頻域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定義式（時(shí)域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長(zhǎng)序列時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì)。（前面已證：時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是同周期序列）具體而言，即：當(dāng)前第10頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列

對(duì)于周期序列，定義其第一個(gè)周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。x(n)與的關(guān)系可描述為：數(shù)學(xué)表示：表示先對(duì)n進(jìn)行模N運(yùn)算，然后對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算7當(dāng)前第11頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)......n0N-1定義從n=0到(N-1)的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。N-1nx(n)0當(dāng)前第12頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(2)從DFS到離散傅里葉變換

如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且，則可寫(xiě)出的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為：

從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。

因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。DFT當(dāng)前第13頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(3)離散傅里葉變換的矩陣方程當(dāng)前第14頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。設(shè)變換區(qū)間N=8，則解：DFT定義式為：設(shè)變換區(qū)間N=16，則當(dāng)前第15頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)比較上面二式可得關(guān)系式:(4)DFT和Z變換的關(guān)系序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣當(dāng)前第16頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)圖3.1.1X(k)與X(z),X(ejω)的關(guān)系當(dāng)前第17頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一.基本概念1.序列的圓周移位序列x(n)，長(zhǎng)度為N，則x(n)的圓周移位定義為：周期延拓取主值序列左移m位

圓周移位的實(shí)質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。循環(huán)移位過(guò)程：circshift(a,[0,-1])當(dāng)前第18頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)圖3.2.1循環(huán)移位過(guò)程示意圖當(dāng)前第19頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)2.序列的圓周卷積設(shè)和是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列(若不等，對(duì)序列補(bǔ)零使其為N點(diǎn)，)，定義圓周卷積：圓周卷積過(guò)程：周期延拓移位反轉(zhuǎn)相乘相加取主值序列當(dāng)前第20頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)循環(huán)矩陣圓周卷積的矩陣表示：循環(huán)右移當(dāng)前第21頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)圓周卷積與線(xiàn)性卷積比較：

有限長(zhǎng)序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1則線(xiàn)性卷積為：N(N≥max(N1,N2))點(diǎn)圓周卷積為：交換求和次序當(dāng)前第22頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

序列的N點(diǎn)圓周卷積是序列線(xiàn)性卷積(以N為周期)周期延拓序列的主值序列。故，當(dāng)N≥[N1+N2-1]時(shí)，線(xiàn)性卷積與圓周卷積相同。圓周卷積線(xiàn)性卷積是針對(duì)DFT引出的一種表示方法信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)，輸出等于輸入與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積兩序列長(zhǎng)度必須等，不等時(shí)按要求補(bǔ)零兩序列長(zhǎng)度可相等，也可不等卷積結(jié)果長(zhǎng)度與兩信號(hào)長(zhǎng)度相等，皆為N卷積結(jié)果長(zhǎng)度N=N1+N2-1當(dāng)前第23頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)圖3.4.2線(xiàn)性卷積與圓周卷積當(dāng)前第24頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)當(dāng)前第25頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列分別定義為：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2-n可得到：圖3.2.3共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)序列示意圖當(dāng)前第26頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量之和，即：將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛得：(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：當(dāng)前第27頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)二.線(xiàn)性性質(zhì)

設(shè)x1(n)，x2(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。它們的N點(diǎn)DFT分別為：

若，則y(n)的N點(diǎn)DFT為：三.時(shí)域圓周移位定理證明：當(dāng)前第28頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)令n+m=n′周期為N四.頻域圓周移位定理當(dāng)前第29頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)設(shè)和是兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列，五.時(shí)域圓周卷積定理證明：交換求和次序令n-m=n′當(dāng)前第30頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)周期為N六.頻域循環(huán)卷積定理當(dāng)前第31頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)七.復(fù)共軛序列的DFT若x(n)是實(shí)序列,則X(k)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然時(shí)域x(n)取共軛,對(duì)應(yīng)于頻域X(k)取有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)頻域X(k)取共軛,對(duì)應(yīng)于時(shí)域x(n)取有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)若X(k)是實(shí)序列,則x(n)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然兩種情況為對(duì)偶關(guān)系當(dāng)前第32頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)八.DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性則：

如果x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實(shí)部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量；而x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j當(dāng)前第33頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)設(shè)x(n)為實(shí)序列，X(k)=DFT[x(n)]。則有:(2)若x(n)=x(N-n)，則

X(k)=X(N-k)(3)若x(n)=-x(N-n)，則

X(k)=-X(N-k)

對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT時(shí)，利用以上性質(zhì)可減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。九、Parseval定理證明：交換求和次序(1)

X(k)=X*(N-k)當(dāng)前第34頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)則：

表明：一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的當(dāng)前第35頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當(dāng)前第36頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.3頻率域采樣一.引言時(shí)域：滿(mǎn)足“時(shí)域采樣定理”的采樣頻域：？(1)能否由頻域離散采樣X(jué)(k)恢復(fù)序列x(n)？(2)能否由頻域抽樣X(jué)(k)恢復(fù)原頻率函數(shù)或X(z)？(3)若能恢復(fù)其條件是什么？與時(shí)域采樣相類(lèi)比，我們提出以下幾個(gè)問(wèn)題？(4)如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式?

若要回答這些問(wèn)題，首先讓我們回想下時(shí)域樣定理確定采樣頻率的方法？當(dāng)前第37頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(1)計(jì)算時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜(2)分析時(shí)域采樣信號(hào)頻譜與原信號(hào)頻譜關(guān)系（以采樣頻率周期延拓）(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號(hào)頻譜這間關(guān)系，得到時(shí)域采樣定理

時(shí)域采樣從頻域分析，頻域采樣是不是可以從時(shí)域分析呢時(shí)域采樣對(duì)應(yīng)頻域周期延拓，頻域采樣是不是對(duì)應(yīng)時(shí)域周期延拓呢？？二.頻域采樣后能不失真恢復(fù)原序列的條件？設(shè)的長(zhǎng)度為（沒(méi)有限制）頻域采樣欲恢復(fù)原信號(hào)，即頻域采樣序列的離散付立葉逆變換:當(dāng)前第38頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)由該式可知：是原序列的周期延拓，然后取主值結(jié)論：若序列長(zhǎng)度為M，頻域采樣點(diǎn)數(shù)（或DFT的長(zhǎng)度）為N，且M<N，則頻域采樣后可不失真地恢復(fù)原序列；但若M>N，會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊頻域采樣后不能不失真地恢復(fù)原序列當(dāng)前第39頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用頻域采樣X(jué)(k)表示X(z)設(shè)序列長(zhǎng)度為N，由傅里葉變換對(duì)得三.內(nèi)插公式為X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)當(dāng)前第40頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)當(dāng)前第41頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.4DFT的應(yīng)用舉例一.引言DFT的應(yīng)用使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域進(jìn)行，由于DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語(yǔ)言信號(hào)處理、圖像處理、功率譜估計(jì)、仿真、系統(tǒng)分析、雷達(dá)理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運(yùn)算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)FT的近似為基礎(chǔ)。當(dāng)前第42頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)二、用DFT計(jì)算線(xiàn)性卷積(1)DFT計(jì)算循環(huán)卷積可用上式計(jì)算循環(huán)卷積。從另一方面看：所以，可按下面的計(jì)算框圖從頻域計(jì)算循環(huán)卷積圖3.4.1用DFT計(jì)算循環(huán)卷積當(dāng)前第43頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

很多情況下需要計(jì)算兩個(gè)序列的線(xiàn)性卷積，為了提高運(yùn)算速度，希望用DFT(FFT)計(jì)算。而DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積，什么時(shí)候循環(huán)卷積與線(xiàn)性卷積相等呢？

循環(huán)卷積與線(xiàn)性卷積相等條件：L≥

M+N-1。所以，如果取L=

M+N-1，則可用DFT（FFT）計(jì)算線(xiàn)性卷積。計(jì)算框圖如下：圖3.4.3用DFT計(jì)算線(xiàn)性卷積框圖(2)DFT計(jì)算線(xiàn)性卷積當(dāng)前第44頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(2)長(zhǎng)序列的分段卷積

沒(méi)有全部進(jìn)入，如何實(shí)現(xiàn)卷積，全部進(jìn)入再卷積，又如何保證實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)？

數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)勢(shì)是“實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)”，即信號(hào)進(jìn)來(lái)后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：？

較短（FIR：長(zhǎng)度在20～50之間），可能很長(zhǎng)，也不適宜直接卷積。另外：解決方法：分段卷積當(dāng)前第45頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為N，x(n)為無(wú)限長(zhǎng)。將x(n)均勻分段，每段長(zhǎng)度取M，則:重疊相加法是兩個(gè)長(zhǎng)度接近且分別為和的序列的線(xiàn)性卷積，可很有效地求其L點(diǎn)的DFT.分段卷積重疊分段卷積相加當(dāng)前第46頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖當(dāng)前第47頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)三、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析1.用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析●若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無(wú)限寬。若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)?！癜床蓸佣ɡ聿蓸訒r(shí)，以上兩種情況的采樣序列均應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)，不滿(mǎn)足DFT條件。●

所以，對(duì)頻譜很寬的信號(hào)一般用預(yù)濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對(duì)持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)只好截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT?！?/p>

所以，用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析必然是近似的，近似程序與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度有關(guān)?！?/p>

實(shí)際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號(hào)是允許的。當(dāng)前第48頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

假設(shè)xa(t)是經(jīng)過(guò)預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶限信號(hào)。以下分析連續(xù)信號(hào)頻譜特性的DFT近似。設(shè)xa(t)持續(xù)時(shí)間為T(mén)p，最高頻率為fc。其傅立葉變換為：共采樣N點(diǎn)，則Tp=NT。并對(duì)表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT,dt=T)得：對(duì)X(jf)在區(qū)間[0,fs]上等間隔采樣N點(diǎn),采樣間隔為F。當(dāng)前第49頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)令則f=kF帶入式：得：同理，由可推出連續(xù)信號(hào)的頻譜特性可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行DFT再乘以T來(lái)近似。柵欄效應(yīng)：DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)。只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性。當(dāng)前第50頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)當(dāng)前第51頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

由以上分析可以看出利用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，最主要的兩個(gè)問(wèn)題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。(1)譜分析范圍指信號(hào)的最高頻率fc，受采樣定理限制。fc<

fs/2(2)頻率分辨率（物理分辨率，計(jì)算分辨率）指將信號(hào)中兩個(gè)靠的很近的譜峰區(qū)分開(kāi)的能力，用頻率采樣間隔F描述。F=fs/N（矩形窗情況）(3)譜分析參數(shù)確定N不變，要提高頻率分辨率，必須降低fs，會(huì)導(dǎo)致譜分析范圍減小。同時(shí)T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不變，要提高頻率分辨率，必須增加N。因NT=Tp，T=1/fs，故Tp必須增加。因此，若要增加頻率分辨率必須增加信號(hào)記錄時(shí)間Tp更深入的理解可參閱胡廣書(shū)編著教材《數(shù)字信號(hào)處理理論、算法和實(shí)踐》第二版相應(yīng)章節(jié)。當(dāng)前第52頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)頻率分辨率：通過(guò)頻域窗觀察到的頻率寬度；也可定義為將信號(hào)中兩個(gè)靠的很近的譜峰區(qū)分開(kāi)的能力時(shí)間分辨率：通過(guò)時(shí)域窗觀察到的時(shí)間寬度；希望：窗函數(shù)的“寬度”越小越好窗口在時(shí)域無(wú)窮大，在頻域無(wú)窮小時(shí)域加窗后，窗口由時(shí)域窗長(zhǎng)決定。在頻域，窗口由主瓣寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距離小于主瓣寬度的兩個(gè)頻率無(wú)法區(qū)分開(kāi)。當(dāng)前第53頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例：試確定將三個(gè)譜峰分開(kāi)所需要的數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。在本例中，最小的即要想分辨出這三個(gè)譜峰，數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度至少要大于500，從DFT的角度看，若令N=512，則：當(dāng)前第54頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)下圖，N分別等于256和512，可見(jiàn)，N=256時(shí)無(wú)法分辨三個(gè)譜峰。當(dāng)前第55頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例3.4.1對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時(shí)間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)N和最小的記錄時(shí)間是多少?解：譜分辨率增加一倍，F(xiàn)=5Hz當(dāng)前第56頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)2.用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析

序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的DTFT在[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用DFT來(lái)計(jì)算。DFT是由周期序列DFS取主值區(qū)間得到的一種變換。因此，DFT可用于周期序列的譜結(jié)構(gòu)分析。DFT進(jìn)行譜分析的步驟：DFT和線(xiàn)性卷積是信號(hào)處理中兩個(gè)最重要的基本運(yùn)算，有快速算法，且二者是“相通”的。當(dāng)前第57頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)周期延拓周期延拓采樣t=nT卷積截短采樣取一個(gè)周期周期延拓取一個(gè)周期FTDTFTDFTDFSDTFTDFT實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)譜分析的過(guò)程3.用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題(1)混疊現(xiàn)象(2)柵欄效應(yīng)(3)截?cái)嘈?yīng)周期延拓當(dāng)前第58頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(1)混疊現(xiàn)象●實(shí)際應(yīng)用中，通常取fs=(3~5)fh種。對(duì)fs確定情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率fs

/2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象?！袢绻蓸宇l率fs小于連續(xù)信號(hào)最高頻率fh，會(huì)在ω=π處發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對(duì)于模擬頻率，即在fs

/2附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象?！裼肈FT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，首先要按采樣定理對(duì)其采樣。當(dāng)前第59頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(2)柵欄效應(yīng)N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間頻譜函數(shù)值是不知道的。用DFT計(jì)算頻譜,就如通過(guò)一個(gè)柵欄觀看信號(hào)的頻譜情況，僅得到柵欄縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉（擋住）大的頻譜分量?？梢圆捎迷谠蛄形膊垦a(bǔ)零的方法改變DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，使原來(lái)漏掉的頻譜分量被檢測(cè)出來(lái)。補(bǔ)零的方法能使柵欄效應(yīng)得到改善（計(jì)算分辨率提高），但不能改變頻率分辨率（物理分辨率），即原來(lái)無(wú)法分開(kāi)的兩個(gè)頻率，并不能通過(guò)補(bǔ)零而分開(kāi)。當(dāng)前第60頁(yè)\共有68頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)(3)截?cái)嘈?yīng)●序列可能是無(wú)限長(zhǎng)的，用DFT對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)必須截短成有限長(zhǎng)序列?！窠?cái)嗪笮蛄械念l譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對(duì)譜分析的影響主要有：①泄漏，原來(lái)譜分量為零的地方出現(xiàn)了譜分量②譜間干擾，由于窗旁瓣的存在，引起不同頻率分量間的干擾。