高等代數(shù)下期終考試題及答案C卷

1/252高等代數(shù)(下)期末考試試卷(C卷)2一.選擇題(每空2分，共12分)(A){(a,0,....,0,a)|a,aR,aa}1n1n1n(B){(a,a,...,a)|aZ,i1,...,n}12ninaaR12nii(D){(a,a,...,a)|na0,aR}12nii(B)()=(2x-x+x,xx,-x)123233(C)()=(x,x2,x3)123(D)()=(x1,x,0)21213dimV2dimVV1,那么dimVV為212(A)2(B)3(C)4(D)522s價(jià)(A)(B)(C)R(EA)n(i1,2,...s)(其中n為的重?cái)?shù));iiii的特征子空間V的維數(shù)dim(V)的重?cái)?shù)(i1,2,...,s);iiiii(D)A的最小多項(xiàng)式均是數(shù)域P上互素的一次因式的乘積;二.填空題(每空2分，共18分)2ni2.設(shè)(,T是P2的兩個(gè)線性變換，定義如下 (1(1(2|5．若A=|02302.任一實(shí)對(duì)稱矩陣A都與對(duì)角陣^既相似又合同()3.設(shè)(是數(shù)域P上線性空間V的線性變換,W是一維(-子空間,那么W中任何一個(gè)非零向量都是(屬于特征值入的特征向量.()4．在歐幾里得空間V中,保持任兩個(gè)非零向量的夾角不變的線性變換(必為)33分)1．設(shè),和,是線性空間R2的兩組基,(是R2的線性變換，已知2/253/25|| (2_12)|| (2_12)6)|(,)(1212,2212),(,1)2(1212,到基,的過渡矩陣X；12122.設(shè)a,a,a是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為123(1_1_12_1(1)令Y=a+a，求Y；(2)若b=a+a+ka與Y正交，求k的值.(10分)123121323(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性．(16分)2.2．證明：若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則Rn中分別屬于A的不同特征值入,山的特征向量a,b必正交補(bǔ).幻燈片1高等代數(shù)(下)期末考試C卷解答1、(D)下列集合哪一個(gè)是R的子空間n(A){(a,0,....,0,a)|a,aR,aa}1n1n1n(B){(a,a,...,a)|aZ,i=1,...,n}12ni12nii(D){(a,a,...,a)|na=0,aR}12nii4/255/25幻燈片2123哪一個(gè)映射是R3的線性變換。AaaR(B)()=(2x-x+x,x+x,-x)123233(C)()=(x,x2,x3)123(D)()=(x+1,x,0)2CVV是線性空間V的兩個(gè)子空間，且1212則dimVV為(A)2(B)3(C)4(D)56/25幻燈片3A1,2,3,32B1,1,23,232C1,1,3,232D1,1,2,232幻燈片4s則下列哪一說法與A可對(duì)角化不等價(jià)： (A)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；siii(D)A的最小多項(xiàng)式均是數(shù)域P上互素的一次因式的乘積6、(D)在實(shí)數(shù)域R中，由全體4階反對(duì)稱矩陣所構(gòu)成的線性空間W的維數(shù)為(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；7/258/25幻燈片51nixxaxxW1n1nii是Pn+1的一個(gè)子空間，則a=0,dimW=n幻燈片62、設(shè),是P2的兩個(gè)線性變換，定義如下：則(x,y)(0,2xy)xyxy10119/250)00|則A的特征多項(xiàng)式是A的最小多項(xiàng)式是n12n階復(fù)數(shù)方陣A的最小多項(xiàng)式第n個(gè)不變因子d(入)(P)n351A10/25x)x)||(0(13)(1)(4)(1)x=000)(2相似，則00相似，則y00-1)11/25幻燈片93實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，所以312/25幻燈片101、對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘，V{BBB,BRnn}0nn2、任一實(shí)對(duì)稱矩陣A都與一對(duì)角陣既相似又合同(√)子空間，那么W中任何一個(gè)非零向量都是的屬于特征值的特征向量(√)kW,013/2514/25幻燈片1144、在歐幾里得空間V中，保持任兩個(gè)非零向量的夾角不變的線性變換必為正交變換(×)保持任意兩個(gè)非零向量的夾角不變的線性變換未必是正交變換。如：令a=2a,Va=V(a,)(2a,2)(a,)顯然A是線性變換，且a=2a2=a但(a,)=(2a,2)=4(a,)所以A不是正交變換。但有——實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V的線性變換A是正交變換一Va=V,有a=a15/25幻燈片12)四、計(jì)算題(7+10+16=33分)線性變換，已知：(1(,1)(1(,1)3)22,2122(1)求裝在基c,122(2)求由基c(2)求由基c,c到基n,n的過渡矩陣X；12(3)求裝在基n,n121212解：(1)(,)(2,2)(,)121212122116/25幻燈片13線性變換，已知：(,)12(12,21(,1)2(1213)2(1)求在基e,e下的矩陣A；(2)求由基e,e到基n,n的過渡矩陣X；12 (3)求在基n,n下的矩陣B。解：解：(2)(,)(,23)(,)1212121212由基e,e到基n,n的過渡矩陣X2 (3)求在基n,n下的矩陣12321BX1AX1121132、設(shè)a,a,a是3維歐氏空間V的一組基，這組基的123(|1-12)| (1)令y=a+a，求yyk3(1)之解法二：(y，y)＝(1112212217/25|| (|| (2-1=-|2、設(shè)a,a,a是3維歐氏空間V的一組基，這組基的123(|1-12)| (1)令y=a+a，求y3解：(2)(by)=(1(1-1-1218/25幻燈片16四、計(jì)算題(7+10+16=33分)123123121323(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。19/25幻燈片173、設(shè)二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x22xx2xx2xx123123121323(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。120/25幻燈片18123123121323(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。解：(2)......233把a(bǔ)單位化，把a(bǔ),a正交規(guī)范化，得2313223621/25幻燈片193、設(shè)二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x22xx2xx2xx