2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共線的定義判斷作答.【詳解】若，則，即，當(dāng)，即時(shí)，滿足，而無意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．如圖，是水平放置的△OAB用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），則△OAB的面積為（

）A． B． C．24 D．48【答案】D【分析】根據(jù)題中直觀圖及斜二測(cè)畫法，還原出水平放置的△OAB，求解面積即可.【詳解】根據(jù)題中直觀圖及斜二測(cè)畫法，還原出水平放置的△OAB，其面積為.故選：D.3．將正弦函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，最后得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按題意平移、伸縮變換求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.∴.故選：B.4．已知，為關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解得的虛根，代入求解即可.【詳解】由，，∴方程的兩個(gè)虛根為，或，，不妨取，，則，，∴.故選：A.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知條件，再求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，兩邊同時(shí)平方，得，∴，∴，解得或，又∵，∴，.故選：B.6．如圖，在正三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，N為棱上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，若記正三棱柱的體積為V，則四棱錐的體積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，取AC的中點(diǎn)D，可得BD⊥平面，分別計(jì)算四棱錐的體積與正三棱柱的體積，即可得解.【詳解】正三棱柱中，設(shè)，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，則BD⊥AC，BD＝，，正三棱柱的體積，平面ABC，BD平面ABC，則BD，又BD⊥AC，，平面，則BD⊥平面，，則四棱錐的體積．故選：B．7．在ABC中，Q是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在ABC中，取BC的中點(diǎn)D，AB的中點(diǎn)E，連接CE，DQ．由可得，即可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】在ABC中，取BC的中點(diǎn)D，AB的中點(diǎn)E，連接CE，DQ．故，由，得，因點(diǎn)到直線垂線段最短，可知.A選項(xiàng)，因，則，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由題目條件，無法判斷大小，故B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，因，E為AB中點(diǎn)，則Q為EB中點(diǎn)，結(jié)合D為BC中點(diǎn)，可知，，又E為AB中點(diǎn)，則，又由題目條件不能判斷AB,AC關(guān)系，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D8．如圖，O是銳角三角形ABC的外心，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若，則m=（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先由條件等式兩邊乘以，再結(jié)合數(shù)量積公式，以及正弦定理，邊角互化，化簡(jiǎn)等式，即可求的值.【詳解】對(duì)于式子，兩邊同乘，可得，即，由正弦定理化簡(jiǎn)可得，由，兩邊同時(shí)除以得，∴，故選：C．二、多選題9．在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)，若是的一個(gè)根，則=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AD【分析】分解因式，求解的值，分別代入計(jì)算.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以?即或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：AD10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則△ABC為等腰三角形C．若，，，則符合條件的三角形有2個(gè)D．若△ABC的面積，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A：利用正弦定理直接判斷；對(duì)于B：由題意結(jié)合兩角和差的正弦公式可得或，即可判斷；對(duì)于C：由即可判斷；對(duì)于D：由條件及余弦定理，三角形面積公式可得，求出即可判斷．【詳解】對(duì)于A：在中，由正弦定理得：，（為的外接圓半徑），因?yàn)?，即，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，展開整理得，又，所以或，故為直角三角形或等腰三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，，所以，所以，所以符合條件的三角形有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D：三角形面積且可得，因?yàn)?，所以，故，所以，故D正確．故選：ACD．11．一對(duì)不共線的向量，的夾角為θ，定義為一個(gè)向量，其模長(zhǎng)，其方向同時(shí)與向量，垂直（如圖1所示）．在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，，則D．平行六面體的體積【答案】ABD【分析】根據(jù)的定義以及數(shù)量積的幾何意義逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，，而，故，正確；對(duì)于B，，當(dāng)，有意義則，正確；對(duì)于C，，，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，的模長(zhǎng)即為平行六面體底面OABC的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模長(zhǎng)（即為高）乘以底面的面積，即為體積，正確；故選：ABD．12．已知平面向量，，滿足，且，下列結(jié)論可能正確的是（

）A．向量，的夾角為 B．向量，共線C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)，，，如圖，不妨設(shè)，圓C方程是，動(dòng)點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心2為半徑的圓O上，動(dòng)點(diǎn)B在以C為圓心，1為半徑的圓上，且滿足．當(dāng)時(shí)，可判斷A；當(dāng)A的坐標(biāo)為時(shí)，可判斷B；由，得，又由圖易知，即，可判斷C；設(shè)，則，由及，可得，可判斷D．【詳解】由題意，，設(shè)，，，如圖，不妨設(shè)，圓C方程是．動(dòng)點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心2為半徑的圓O上，動(dòng)點(diǎn)B在以C為圓心，1為半徑的圓上，且滿足，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，△OAB為直角三角形，此時(shí)，即向量，的夾角為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)A的坐標(biāo)為時(shí)，向量，共線，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)B在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)O，A，B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，又由圖易知，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，由得，又，則，即．∴，故D正確．故選：ABD.三、填空題13．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為______（用代數(shù)形式表示）．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及幾何意義，應(yīng)用除法法則計(jì)算即可.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.14．如圖，在三棱錐中，，，過點(diǎn)A作截面，分別交側(cè)棱PB，PC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△AEF周長(zhǎng)的最小值為______．【答案】【分析】沿著側(cè)棱把三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則即為周長(zhǎng)的最小值，在中，由余弦定理能求出的值．【詳解】如圖，沿著側(cè)棱把三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示：則即為的周長(zhǎng)的最小值，在中，，，由余弦定理得：．故答案為：.15．在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，，則的外接圓面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由正弦定理知：，即，，，即.故.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，外接圓面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．德國機(jī)械學(xué)家萊洛設(shè)計(jì)的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．如圖，分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則為單位圓上一點(diǎn)，利用任意角的三角函數(shù)定義，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知，弧是以為圓心，為半徑的圓的一部分，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過與直線垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知，，，由任意角的三角函數(shù)的定義，設(shè)，，則，，，∴，∴令，，則，當(dāng)時(shí)，，，，∴存在，使，即，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.四、解答題17．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，i為虛數(shù)單位，且______．從條件①；②為關(guān)于x的方程的一個(gè)根，且點(diǎn)位于第一象限；③，其中．選擇一個(gè)填在橫線上，并完成下列問題．（注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）(1)求；(2)若點(diǎn)Z為曲線（為的共軛復(fù)數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，求Z與之間距離的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）條件①，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的定義求解即可；條件②，由實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法及模的定義求解即可；條件③，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的定義求解即可；（2）解法1：設(shè)，可得，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)求解即可；解法2：由題意可得，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，設(shè)，則，可求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）條件①：，所以．條件②：由得，，，所以，又點(diǎn)位于第一象限，所以，所以．條件③：因?yàn)?，所以，所以．?）解法1：設(shè)，，由（1）可得，，，由可得，，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，故與之間的距離為，所以Z與之間的最小距離為，最大距離為，故Z與之間距離的取值范圍是．解法2：由（1）可得，，曲線，即，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以圓心，半徑為1的圓，設(shè)，，則，，其中，所以，故Z與之間距離的取值范圍是．18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)在上的值域；(2)求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由圖得，并求解出周期為，從而得，由點(diǎn)在的圖象上，可得，從而求解得，即可得；由求得，即可求得函數(shù)的值域；（2）作出函數(shù)與的圖象，可得兩個(gè)函數(shù)在有4個(gè)交點(diǎn)，從而得有四個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用三角函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算得實(shí)數(shù)根之和.【詳解】（1）由圖可知，，∴，∴，又點(diǎn)在的圖象上，∴，∴，，即，，∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，所以，所以．故函數(shù)在上的值域?yàn)椋海?）如圖，作出函數(shù)與的圖象，由圖得在上的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，則方程在上有4個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)這4個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且，由，，得，，所以可知關(guān)于直線對(duì)稱，∴，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴．19．如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)用和表示；(2)設(shè)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）從三等分點(diǎn)條件出發(fā)，利用“插點(diǎn)”的辦法，在向量中加入即可；（2）易得，根據(jù)題干條件將等式右邊寫成有關(guān)表達(dá)式，根據(jù)平面向量基本定理得出關(guān)于的等量關(guān)系即可求解.【詳解】（1）依題意，，∴，∴（2）由已知，因是線段上動(dòng)點(diǎn)，則令，，又，不共線，根據(jù)平面向量基本定理，則有，，在上遞增，所以，，，，故的取值范圍是．20．桌狀山是一種山頂水平如書桌，四面絕壁臨空的地質(zhì)奇觀．位于我國四川的瓦屋山是世界第二大的桌狀山，其與峨眉山并稱蜀中二絕．蘇軾曾有詩云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠掃雨余天”．某地有一座類似瓦屋山的桌狀山可以簡(jiǎn)化看作如圖1所示的圓臺(tái)，圖中AB為圓臺(tái)上底面的一條東西方向上的直徑，某人從M點(diǎn)出發(fā)沿一條東西方向上的筆直公路自東向西以的速度前進(jìn)，6分鐘后到達(dá)N點(diǎn)．在M點(diǎn)時(shí)測(cè)得A點(diǎn)位于北偏西方向上，B點(diǎn)位于北偏西方向上；在N點(diǎn)時(shí)測(cè)得A點(diǎn)位于北偏東方向上，B點(diǎn)位于北偏東方向上，且在N點(diǎn)時(shí)觀測(cè)A的仰角的正切值為．設(shè)A點(diǎn)在地表水平面上的正投影為，B點(diǎn)在地表水平面上的正投影為，，，M，N在地表水平面上的分布如圖2所示．(1)該山的高度為多少千米？(2)已知該山的下底面圓的半徑為1.8km，當(dāng)該山被冰雪完全覆蓋時(shí)，冰雪的覆蓋面積為多少平方千米？【答案】(1)0.4千米；(2)3.9π平方千米【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合圖形求解可得高度；（2）由正弦定理求得底面半徑，再根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積和底面積公式求得表面積即可.【詳解】（1）由題意可知，∴，在△A'MN中，由正弦定理，，又∵N點(diǎn)觀測(cè)A時(shí)仰角的正切值為，，所以，該山的高度為0.4千米．（2）設(shè)的外接圓為圓O，∵，根據(jù)圓的性質(zhì)，，，M，N四點(diǎn)共圓在中，由正弦定理，圓O直徑為，在中，由正弦定理，延長(zhǎng)與圓臺(tái)交于C點(diǎn)，由題意下底面圓半徑為1.8km，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)BC可在直角中由勾股定理得為0.5．圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的上底面面積，所以，側(cè)面積與上底面面積相加知：該山被冰雪覆蓋的面積為平方千米．21．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以．?）由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為．22．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，且，．(1)若，求；(2)若點(diǎn)G是△ABC的重心，設(shè)△ADE的周長(zhǎng)為，△ABC的周長(zhǎng)為．（i）求的值；（ii）設(shè)，記，求的值域．【答案】(1)；(2)（i）3；（ii）．【分析】（1）連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，由B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線可求得，則有，又，可求，，即可得出結(jié)果.（2）（i）由題意得，，又D，G，E三點(diǎn)共線，所以，即可得解