連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)分析課件

第六章

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》2－實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)－確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)－連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程－在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》3教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》4（1）線性彈性體，即虎克定律假設(shè)條件（2）材料均勻連續(xù)；各向同性（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》5一維波動(dòng)方程動(dòng)力學(xué)方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)主振型的正交性桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》6（1）弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力T0

拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng)建立坐標(biāo)系弦上距原點(diǎn)x處的橫截面在t時(shí)刻的橫向位移

單位長度弦上分布的作用力

單位長度弦的質(zhì)量

微段受力情況達(dá)朗貝爾原理：

弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程令：并考慮到：彈性橫波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程微振達(dá)朗貝爾慣性力弦的定義:很細(xì)長振動(dòng)中認(rèn)為張力不變2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》7（2）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)細(xì)長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩Jp材料密度切變模量G：單位長度桿上分布的外力偶矩

桿參數(shù)：為桿上距離原點(diǎn)x

處的截面在時(shí)刻t

的角位移截面處的扭矩為Mt微段dx

受力：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾慣性力偶2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》8微段dx

受力達(dá)朗貝爾原理：材料力學(xué)：圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度GJp為常數(shù)剪切彈性波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》9（3）桿的縱向振動(dòng)

討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)桿長l假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面截面積A材料密度彈性模量E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形單位長度桿上分布的縱向作用力

桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》10桿上距原點(diǎn)x

處截面在時(shí)刻t的縱向位移微段分析微段應(yīng)變：橫截面上內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾慣性力2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》11桿上距原點(diǎn)x

處截面在時(shí)刻t的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理：桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程等直桿EA為常數(shù)彈性縱波沿桿的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》12小結(jié)：（1）桿的縱向振動(dòng)

（2）弦的橫向振動(dòng)雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/一維波動(dòng)方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》136.2桿的縱向固有振動(dòng)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象方程：縱向自由振動(dòng)方程：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)：T(t)表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)桿上距原點(diǎn)x處的截面的縱向振動(dòng)振幅

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》14記：通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為模態(tài)）由桿的邊界條件確定

與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個(gè)（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)（桿的邊界條件確定固有頻率）2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》15第

i

階主振動(dòng)：一一對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》16幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零

代入模態(tài)函數(shù)頻率方程無窮多個(gè)固有頻率：由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》17（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零

邊界條件：零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)頻率方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》18（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零

邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)或：頻率方程2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》19主振型的正交性只對(duì)具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或勻截面的即質(zhì)量密度及截面積A

等都可以是x的函數(shù)

桿的動(dòng)力方程：自由振動(dòng)：主振動(dòng)：代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》20乘并沿桿長對(duì)x

積分：桿的簡單邊界：固定端x=0

或l自由端x=0

或l

設(shè)：代入：利用分部積分：桿的任一端上總有或者成立

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》21乘并沿桿長對(duì)x

積分：乘并沿桿長對(duì)x

積分：同理相減：時(shí)桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》22關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于剛度的正交性當(dāng)時(shí)

第i

階模態(tài)主質(zhì)量第i

階模態(tài)主剛度第i

階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i

階主剛度：合寫為：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》236.3桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)采用振型疊加法進(jìn)行求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件：假定，已經(jīng)得出令：正則坐標(biāo)代入方程：兩邊乘并沿桿長對(duì)x

積分：利用正交性條件：第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》24求得后模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長對(duì)x

積分，由正交性條件，知有：

可得連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》25如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力可表達(dá)成分布力形式：正則坐標(biāo)的廣義力：前述外部激勵(lì)為分布力連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》26例：等直桿自由端作用有：為常數(shù)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》27解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)廣義力：第i

個(gè)正則方程：正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)：當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》286.5梁的橫向固有振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程考慮細(xì)長梁的橫向彎曲振動(dòng)梁各截面的中心慣性軸在同一平面xoy內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）p(x,t):單位長度梁上分布的外力m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩梁參數(shù)：I截面對(duì)中性軸的慣性積單位體積梁的質(zhì)量A梁橫截面積E彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》29動(dòng)力學(xué)方程p(x,t):單位長度梁上分布的外力m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):

距原點(diǎn)x

處的截面在t

時(shí)刻的橫向位移截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力微段所受的外力矩連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》30力平衡方程：即：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》31變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》32固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng)自由振動(dòng)方程：根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：代入自由振動(dòng)方程：對(duì)于等截面梁：通解：和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》33和由系統(tǒng)的初始條件確定

等截面梁的自由振動(dòng)方程：梁的主振動(dòng)：通解：代入，得：第i階主振動(dòng)：

無窮多個(gè)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》34常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》35例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》36簡化后，得：頻率方程當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》37鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》38例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》39頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》40例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》41頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng)

時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》42第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》43說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細(xì)長梁（梁的長度大于梁高度5倍以上）若梁為非細(xì)長梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》446.6梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：代入，得：設(shè)：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)1主振型的正交性2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》45(2)式兩邊乘(1)式兩邊乘并沿梁長對(duì)x

積分：利用分部積分：在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零(3)代入（3）式，有：并沿梁長積分可得：同理，相減得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)(2)(1)2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》46如果時(shí)，則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性

由（4）、（5）式，得：主振型關(guān)于剛度的正交性

如果i=j第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：2023年6月6日《振動(dòng)力學(xué)》47兩邊乘2、梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程：令：代入：并沿梁長對(duì)x

積分：由正交性條件，得：第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力由分部積分：