慣性力及其運用

慣性力及其運用喻子宸摘要：我們都知道牛頓運動定律只適用于慣性參考系，但在如動力學(xué)的物理問題中，往往選擇的是非慣性參考系。因此為了使牛頓運動定律在形式上“仍然”可以在非慣性參考系中成立，我們引入了慣性力的概念。慣性力與以往所學(xué)的力有很大的差別，有的物理問題運用慣性力解決是非常的簡單。另外慣性力之科里奧利力對我們生活環(huán)境的影響極為明顯，本文會舉例說明。慣性力的運用不僅只局限于理論，在某些科學(xué)領(lǐng)域上，也有其自己顯著的地位，如航天技術(shù)和一些化工方面。關(guān)鍵詞：慣性力非慣性參考系 牛頓定律轉(zhuǎn)動參考系航天技術(shù)―、慣性力及其性質(zhì)牛頓定律不成立的參考系稱為非慣性參考系。地球是一個慣性參考系，因此相對于地面有加速度的參考系都稱為非慣性參考系。為了在非慣性參考系中使牛頓運動定律在形式上“仍然”成立，必須引進慣性力的概念。那就先認識幾種慣性力，看看它們與平時的力有何不同。直線加速運動參考系下的慣性力相對于某一慣性參考系作加速直線運動的參考系為非慣性參考系。設(shè)其加速度為a，則非慣性系統(tǒng)中任何物體都受到一個慣性力的作用，表示為F=—ma即在直線加速運動參考系中，物體所受慣性力F與非慣性參考系的加速度a的方向相反，且等于物體質(zhì)量m與非慣性系加速度a的乘積。從上面慣性力的定義可知，慣性力有一個重要的特征是，它永遠與物體質(zhì)量成正比。這一點與重力是一樣的。因此，重力會不會就是慣性力的一種呢？而萬有引力或許就是我們沒有選取正確參考系而引起的。以一個完全封閉的電梯為例。如果此電梯靜止于地球表面，電梯內(nèi)一個觀察者看到一物體以加速度g自上而下運動，他認為此物體在地球重力作用下自由下落。電梯內(nèi)另一觀察者認為根本沒有地球，是電梯以加速度-g在運動。因此電梯內(nèi)的觀察者無法斷定究竟是電梯在作加速運動還是地球重力場在起作用。如果電梯在重力場中自由下落，電梯內(nèi)自由漂浮的物體，好像處于無重力場的太空一樣。愛因斯坦指出，電梯下落的落體加速度恰好抵消了該處的重力場，電梯內(nèi)的觀察者也無法斷定電梯是處于靜止還是在重力場中自由下落。還應(yīng)當指出慣性力沒有施力者，也沒有反作用力，它只不過反映了參考系統(tǒng)不是慣性參考系這一事實。勻角速轉(zhuǎn)動參考系中的一種慣性力一一，慣性離心力相對于慣性參考系作勻角速轉(zhuǎn)動的參考系是非慣性參考系。靜止于勻角速轉(zhuǎn)動的參考系中的物體，在轉(zhuǎn)動參考系中的觀察者看來，要加上一種慣性力才能應(yīng)用牛頓運動定律來解釋物體在轉(zhuǎn)動參考系中的靜止狀態(tài)。這種慣性力就叫慣性力離心力，表示為F=mrw2f式中二為轉(zhuǎn)軸到物體的垂直距離，匸為匸上的單位矢量，其指向為背離轉(zhuǎn)軸向外，「為參考系的轉(zhuǎn)動角速度。我們應(yīng)該注意慣性離心力與向心力反作用力離心力的區(qū)別，后者是一種有施力物體的真實的力，而慣性離心力完全由所選取參考系為非慣性所導(dǎo)致。當物體所處的位矢匸并不垂直于轉(zhuǎn)軸時，慣性離心力可表示為F=—msx（wxr]如圖示，慣性離心力F向仍離軸向外。慣性離心力的特點：（1）慣性離心力與轉(zhuǎn)動參考系的轉(zhuǎn)動角速度有關(guān)，與角速度是否隨時間變化無關(guān)，即不管轉(zhuǎn)動系的轉(zhuǎn)動是均勻的還是非均勻的，離心力都存在；（2）離心力與物體所在位置有關(guān)，與物體在轉(zhuǎn)動系中運動與否無關(guān)。如果物體在轉(zhuǎn)動系中運動，還會產(chǎn)生一種慣性力，叫做科里奧利力。勻角速轉(zhuǎn)動參考系中的另一種慣性力一一科里奧利力當物體相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)有速度的時候，要使牛頓定律“仍然”適用，除了需要我們所說的慣性離心力外，還必須附加以另外一種慣性力：科里奧利力。這里我們具體來討論一下科里奧利力的來源。假如一個物體在勻速轉(zhuǎn)動的平臺上作勻速圓周運動，平臺的轉(zhuǎn)動角速度為■，圓周半徑為[，再設(shè)物體相對轉(zhuǎn)動平臺的速度為一一，相對靜止參考系的速度為v,則根據(jù)絕對速度等于相對速度加上牽連速度的關(guān)系，有V=鏟+然而，質(zhì)量為m的物體受到的真實力指向圓心，大小為V2 v1-2 ”F-=m—=m F2mvFw+mccizrrr在轉(zhuǎn)動參考系中上式可以改寫為?vr2F-—2mvFcci—mwr=m—r左式第一項為真實力，第三項為慣性離心力，那么第二項就稱為科里奧利力。我們可以用嚴格的方法給出科里奧利力的矢量表達式為

Fe=—2mwxv*其中「為物體相對于轉(zhuǎn)動參考系的速度。由其表達式可知，科里奧利力只在相對速度不為零時，確切的說只有在相對速度在垂直于轉(zhuǎn)軸分量不為零時才存在，并且與轉(zhuǎn)動系的轉(zhuǎn)動是否均勻無關(guān)。二慣性力在解題上的應(yīng)用根據(jù)以上給出的三類慣性力，我們就可以在物理問題中的非慣性參考系下“運用“牛頓運動定律，從而來解決問題。下面列舉幾個具體問題進行討論。1.直線加速參考系下的慣性力的應(yīng)用例1火車在平直軌道上以加速度a向前行駛，在車中用細線懸掛一小球，懸線與豎直方向夾角為e,且靜止，如圖示。求e角？圖1-2圖1-2TslolG=maTslolG=maD解法一：如果選取地面為參考系，那么就直接可以運用牛頓定律，因為地面是一個慣性參考系。那么對小球進行受力分析，如圖根據(jù)牛頓第二運動定律，有?cos0=mgmg 圖1-3解法二：若選取火車為參考系，此時火車為非慣性參考系，那么我們就可以使用慣性力F,如圖示通過此圖我們也可解得與以慣性參考系即地面為參考系時一樣的結(jié)果。通過上述例題，我們知道了選取不同的參考系，對于答案結(jié)果都是一樣的。這就說明了運用慣性力解題是完全可行的。例2如圖示，質(zhì)量為m的物體以水平初速度二滑上原來靜止在水平光滑軌道上的木板,木板質(zhì)量為M,物體和木板之間的動摩擦因數(shù)為u,木板足夠長，求（1） 物體滑上木板到相對木板靜止所用的時間？（2） 物體相對木板滑行的距離？圖1-5這是一道高中常見的物理問題,這里我們分別用高中解題方法和運用慣性力解題方法進行求解。解法一：（1）求時間，分別對m和M進行受力分析（此處不具體畫出），有m刖=H解得t='T\買二一工（2）求相對距離，將物體m和木板M看成一整體，這一系統(tǒng)在水平方向不受外力，那么它在水平方向的動量就守恒，則有mvD二（m+M）v式中v為物體和木板相對靜止時的共同速度。再根據(jù)動能定律有通過上兩式即可解得物體在木塊上的相對距離為L=■'匚二工二-：二解法二：（1）以物體m為研究對象，選取木板為非慣性參考系，對物體m進行受力分析如圖，其中慣性力■=--?二，則在非慣性系中我們“運用”牛頓第二定律有mg可求得:a=—^u(m+M)/M再根據(jù)公式…二■■:---，其中v等于0.則得出:t=Mvn/gu(m+M)(2)求在木板上的距離LL=—7at2=MvVZgiLfin+M)2在非慣性參考系中運用慣性力解決問題在某些問題中還是比較方便的。就如例(2)中，選擇了非慣性參考系后，我們就不用考慮相對性問題，這在理解上還是比較容易的。2.科里奧利力的影響地面上許多現(xiàn)象都顯示出科里奧利力的影響。河流、鐵路、信風都受科里奧利力的作用。下面我們來確定一下地球表面物體在水平面內(nèi)運動時受科里奧利力的作用將偏向何方？因為地球是一個轉(zhuǎn)動參照系，時刻繞轉(zhuǎn)軸作以角速度」幾乎不變的轉(zhuǎn)動，所以，河道里流動的水，鐵軌上開動的火車，以及一切在地平面上運動的物體都會受科里奧利力的作用。圖1-6地球轉(zhuǎn)動角速度方向自南極指向北極沿轉(zhuǎn)軸方向，在令物體在水平面內(nèi)相對地球的運動速度為v,根據(jù)科里奧利力的矢量表達式可得F=—xv=—2m(w-n-I-u>j_)xv式中訕—為角速度在物體所在處的鉛垂方向分量，山為水平方向分量。-上二⑴-；亍方向必為鉛垂方向，不會改變物體運動方向。小'為科里奧利力的水平分量。由于它與v垂直，因此可以改變物體運動的方向，但不能改變速度大小。如上圖所示，在北半球，山_方向向上，對于任意水平面內(nèi)的速度v,-〉工」_r方向指向運動方向的右方；在南半球，山_方向向上，科里奧利力的水平分力指向運動方向的左

方。因此，前者將偏向右方，后者將偏向左方。三、慣性力的實際運用利用直線加速參考系中的慣性力，我們可以測量運動物體的加速度。比如在航天航空器上的運用。原理如下：物體加速運動時，加速度測量儀上的質(zhì)量為m的滑塊受到向后的慣性力而拉長彈簧，從而根據(jù)彈簧的伸長量和已知的彈簧勁度系數(shù)求得加速度的大小其中x為彈簧伸長量