專題06有理數(shù)的計(jì)算

專題06有理數(shù)的計(jì)算閱讀與思考在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算．?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速度．有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1．利用運(yùn)算律．2．以符代數(shù)．3．裂項(xiàng)相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例題與求解【例1】已知m,n互為相反數(shù)，a,b互為負(fù)倒數(shù)，X的絕對(duì)值等于3,則X3-（1+m+n+ab）X2+（m+n）X2001+（ab）2002的值等于.（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)的特征計(jì)算．【例2】 已知整數(shù)a,b,c,d滿足abcd=25,且a>b>C>d,那么∣a+b?+C+d∣等于（）A．0B．10C．2D．12（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是把25表示成4個(gè)不同的整數(shù)的積的形式．【例3】 計(jì)算：1（1）1+?+—1—+???+1+21+2+3 1+2+3+???+100（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）7+72+73+74+???+71998；（江蘇省泰州市奧校競(jìng)賽試題）(3)1 5 1 19 1 41 1 71 1—2—+3—4—+5——6 +7—8+9—.2 6 12 20 30 42 56 72 90解題思路：對(duì)于（1）,若先計(jì)算每個(gè)分母值，則掩蓋問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對(duì)于（2）,由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是7,考慮用字母表示和式；（3）中裂項(xiàng)相消，簡(jiǎn)化計(jì)算.【例4】W都是正整數(shù)，并且A=(1-1)(1+?(1-∣)(1+∣)???(1-?1+-^),2 2 3mmmB=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)???(1-1)(1+1)?2 2 3 3nnmm+1 Gn+1(1)證明：A= ,B=——；2m 2n(2)若A-B=?,求m和n的值.26解題思路：（1）對(duì)題中已知式子進(jìn)行變形.（2）

體分析求解.“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）

把（1）中證明得到的式子代入，再具1111 1【例5】 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求三+丁+丁+丁+…+丁的值（結(jié)果用n表示），2222324 2n設(shè)計(jì)了如圖①，所示的幾何圖形.1111 1（1）請(qǐng)你用這個(gè)幾何圖形求三+—+—+—+???+—的值.2222324 2n1111 1（2）請(qǐng)你用圖②，在設(shè)計(jì)一個(gè)能求％+丁+k+丁+…+丁的值的幾何圖形.2222324 2n（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵._S+S+…+S _【例6】記，令T=T一3 ，稱T為a,a,…a這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知n 幾 n1 2na,a,…a的“理想數(shù)”為2004.求8,a,a,…a的"理想數(shù)”.1 2 500 1 2 500（安徽省中考試題）解題思路：根據(jù)題意可以理解為S為各項(xiàng)和，T為各項(xiàng)和的和乘以-.n n n能力訓(xùn)練A級(jí).若X,y互為相反數(shù)，m,n互為倒數(shù).∣a∣=1,a2—(X+y)2011+(—mn)2012的值為.（湖北省武漢市調(diào)考試題）,——1×(—1)3—2C.若M-(-1)2+-??r=2,則M=.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）、III 1.計(jì)算：(1) + + H + =3X55×77×9 1997×1999(2)(-0.251義(-8)—1-?).IIII.將1997減去它的三，再減去余下的三，再減去余下的二，再減去余下的￡,…，依次2 3 4 51類推，直至最后減去余下的—，最后的答案是 .（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）.右圖是一個(gè)由六個(gè)正方體組合而成的幾何體，每個(gè)小正方體的六個(gè)面上都分別寫著一1,2,3,-4,5,6六個(gè)數(shù)字，那么圖中所有看不見的面上的數(shù)字和是 .（湖北省仙桃市中考試題）bc-ac6.如果有理數(shù)a,b,C滿足關(guān)系式a<b<0<c,那么代數(shù)式^一的值（）

ab2c3A.必為正數(shù)B.必為負(fù)數(shù)C.可正可負(fù)D.可能為O（江蘇省競(jìng)賽試題）y-Z7.已知有理數(shù)羽％Z兩兩不相等，則——,——Z-X,Z-x——中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）X-yA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)或2個(gè)（重慶市競(jìng)賽試題）1898a2+99b2.若a與（-b）互為相反數(shù)，則 =（）1997abA.0B.1C.-1D.1997(重慶市競(jìng)賽試題).如果(a+b)2001=-1,(a-b)2002=1,貝°a2003+b2003的值是( )A.2B.1C.0D.-1“希望杯”邀請(qǐng)賽試題).若a,b,C,d是互為不相等的整數(shù)，且abcd=9,則a+b+C+d等于()A.0B.111.把15，3.7,4C.8D.無(wú)法確定16-,2.9,4.6分別填在圖中五個(gè)。內(nèi)，再在每個(gè)口中填上和它相連的三個(gè)。中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個(gè)口中的平均數(shù)填在△中.找出一種填法，使△中的數(shù)盡可能小，并求這個(gè)數(shù).“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）1.計(jì)算:B級(jí)1 1 3 1 3 5 1 3 97 +(—I)+(—I1—)+???+(1+???+

2 4 4 6 6 6 98 98 98“五羊杯”競(jìng)賽試題）2.計(jì)算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=1×2X4+2X4X8+…+n?2n?4n.計(jì)算：（--- ）2= .：1×3X9+2X6×18+???+n?3n?9n .據(jù)美國(guó)詹姆斯?馬丁的測(cè)算，在近十年，人類的知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一翻，到2020年甚至要達(dá)每73翻番空前速度，因此，基礎(chǔ)教育任務(wù)已不是“教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.已知2000年底，人類知識(shí)總量a，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻.（1）2009年底人類知識(shí)總量是： ；（2）2019年底人類知識(shí)總量是： ；（3）2020年按365天計(jì)算，2020年底類知識(shí)總量會(huì)是 .（北京市順義區(qū)中考試題）.你能比較20012002和20022001的大小嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先寫出它的一般形式，即比較nn+1與（n+1）n的大?。╪是自然數(shù)），然后我們從分析n=1,n=2,n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論（1）通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩數(shù)的大?。海ㄔ跈M線上填寫“>”“=”“<”）①12__21,②23__32；③34__43；④45__54；⑤56__65 （2）從第（1）題的結(jié)果中，經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出nn+1與（n+1）〃的大小關(guān)系是 ；（3）根據(jù)以上歸納.猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小20012002 20022001：.（福建省龍巖市中考試題）.有2009個(gè)數(shù)排成一列，其中任意相鄰的三個(gè)數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和.若第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是－1，則這個(gè)2009個(gè)數(shù)的和是（）A.－2 B.－1C.0D.2（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南省試題）tt=1，那么ttt123ttt123的值為（）A.－1B.1C.±1D.不確定t7.如果4+一+Tt1t2t3（河北省競(jìng)賽試題）8.三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)制數(shù)表示為2X32+0X31+1=2X9+0+1=19；二進(jìn)制數(shù)1011可用十進(jìn)制法表示為1X23+0X22+1X21+1=8+0+2+1=11.前者按3的冪降冪排列,后者按2的冪降冪排列，現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)a=221,二進(jìn)位制數(shù)b=10111,則a與b的大小關(guān)系為（）．A.a>bB.a=bC.a<bD.不能確定（重慶市競(jìng)賽試題）9.如果有理數(shù)a,b,c,d滿足a+b>C+d，則（ ）A.Ia-1∣+∣