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專題06有理數(shù)的計(jì)算閱讀與思考在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后,數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍,我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算,有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同:首先,有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào);其次,代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”,所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算,也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算.?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合,這不但要求我們能正確地算出結(jié)果,而且要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將推理與計(jì)算相結(jié)合,靈活選用算法和技巧,提高計(jì)算的速度.有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有:1.利用運(yùn)算律.2.以符代數(shù).3.裂項(xiàng)相消.4.分解相約.5.巧用公式等.例題與求解【例1】已知m,n互為相反數(shù),a,b互為負(fù)倒數(shù),X的絕對(duì)值等于3,則X3-(1+m+n+ab)X2+(m+n)X2001+(ab)2002的值等于.(湖北省黃岡市競(jìng)賽試題)解題思路:利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)的特征計(jì)算.【例2】 已知整數(shù)a,b,c,d滿足abcd=25,且a>b>C>d,那么∣a+b?+C+d∣等于()A.0B.10C.2D.12(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思路:解題的關(guān)鍵是把25表示成4個(gè)不同的整數(shù)的積的形式.【例3】 計(jì)算:1(1)1+?+—1—+???+1+21+2+3 1+2+3+???+100(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)7+72+73+74+???+71998;(江蘇省泰州市奧校競(jìng)賽試題)(3)1 5 1 19 1 41 1 71 1—2—+3—4—+5——6 +7—8+9—.2 6 12 20 30 42 56 72 90解題思路:對(duì)于(1),若先計(jì)算每個(gè)分母值,則掩蓋問(wèn)題的實(shí)質(zhì),不妨先從考察一般情形入手;對(duì)于(2),由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是7,考慮用字母表示和式;(3)中裂項(xiàng)相消,簡(jiǎn)化計(jì)算.【例4】W都是正整數(shù),并且A=(1-1)(1+?(1-∣)(1+∣)???(1-?1+-^),2 2 3mmmB=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)???(1-1)(1+1)?2 2 3 3nnmm+1 Gn+1(1)證明:A= ,B=——;2m 2n(2)若A-B=?,求m和n的值.26解題思路:(1)對(duì)題中已知式子進(jìn)行變形.(2)
體分析求解.“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題)
把(1)中證明得到的式子代入,再具1111 1【例5】 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,小明為了求三+丁+丁+丁+…+丁的值(結(jié)果用n表示),2222324 2n設(shè)計(jì)了如圖①,所示的幾何圖形.1111 1(1)請(qǐng)你用這個(gè)幾何圖形求三+—+—+—+???+—的值.2222324 2n1111 1(2)請(qǐng)你用圖②,在設(shè)計(jì)一個(gè)能求%+丁+k+丁+…+丁的值的幾何圖形.2222324 2n(遼寧省大連市中考試題)解題思路:求原式的值有不同的解題方法,二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵._S+S+…+S _【例6】記,令T=T一3 ,稱T為a,a,…a這列數(shù)的“理想數(shù)”,已知n 幾 n1 2na,a,…a的“理想數(shù)”為2004.求8,a,a,…a的"理想數(shù)”.1 2 500 1 2 500(安徽省中考試題)解題思路:根據(jù)題意可以理解為S為各項(xiàng)和,T為各項(xiàng)和的和乘以-.n n n能力訓(xùn)練A級(jí).若X,y互為相反數(shù),m,n互為倒數(shù).∣a∣=1,a2—(X+y)2011+(—mn)2012的值為.(湖北省武漢市調(diào)考試題),——1×(—1)3—2C.若M-(-1)2+-??r=2,則M=.(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)、III 1.計(jì)算:(1) + + H + =3X55×77×9 1997×1999(2)(-0.251義(-8)—1-?).IIII.將1997減去它的三,再減去余下的三,再減去余下的二,再減去余下的£,…,依次2 3 4 51類推,直至最后減去余下的—,最后的答案是 .(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題).右圖是一個(gè)由六個(gè)正方體組合而成的幾何體,每個(gè)小正方體的六個(gè)面上都分別寫著一1,2,3,-4,5,6六個(gè)數(shù)字,那么圖中所有看不見的面上的數(shù)字和是 .(湖北省仙桃市中考試題)bc-ac6.如果有理數(shù)a,b,C滿足關(guān)系式a<b<0<c,那么代數(shù)式^一的值()
ab2c3A.必為正數(shù)B.必為負(fù)數(shù)C.可正可負(fù)D.可能為O(江蘇省競(jìng)賽試題)y-Z7.已知有理數(shù)羽%Z兩兩不相等,則——,——Z-X,Z-x——中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是( )X-yA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)或2個(gè)(重慶市競(jìng)賽試題)1898a2+99b2.若a與(-b)互為相反數(shù),則 =()1997abA.0B.1C.-1D.1997(重慶市競(jìng)賽試題).如果(a+b)2001=-1,(a-b)2002=1,貝°a2003+b2003的值是( )A.2B.1C.0D.-1“希望杯”邀請(qǐng)賽試題).若a,b,C,d是互為不相等的整數(shù),且abcd=9,則a+b+C+d等于()A.0B.111.把15,3.7,4C.8D.無(wú)法確定16-,2.9,4.6分別填在圖中五個(gè)。內(nèi),再在每個(gè)口中填上和它相連的三個(gè)。中的數(shù)的平均數(shù),再把三個(gè)口中的平均數(shù)填在△中.找出一種填法,使△中的數(shù)盡可能小,并求這個(gè)數(shù).“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題)1.計(jì)算:B級(jí)1 1 3 1 3 5 1 3 97 +(—I)+(—I1—)+???+(1+???+
2 4 4 6 6 6 98 98 98“五羊杯”競(jìng)賽試題)2.計(jì)算:2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=1×2X4+2X4X8+…+n?2n?4n.計(jì)算:(--- )2= .:1×3X9+2X6×18+???+n?3n?9n .據(jù)美國(guó)詹姆斯?馬丁的測(cè)算,在近十年,人類的知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一翻,到2020年甚至要達(dá)每73翻番空前速度,因此,基礎(chǔ)教育任務(wù)已不是“教會(huì)一切人一切知識(shí),而是讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.已知2000年底,人類知識(shí)總量a,假入從2000年底2009年底每3年翻一翻;從2009年底到2019年底每1年翻一番;2020年是每73天翻一翻.(1)2009年底人類知識(shí)總量是: ;(2)2019年底人類知識(shí)總量是: ;(3)2020年按365天計(jì)算,2020年底類知識(shí)總量會(huì)是 .(北京市順義區(qū)中考試題).你能比較20012002和20022001的大小嗎?為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們首先寫出它的一般形式,即比較nn+1與(n+1)n的大?。╪是自然數(shù)),然后我們從分析n=1,n=2,n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論(1)通過(guò)計(jì)算,比較下列各組中兩數(shù)的大?。海ㄔ跈M線上填寫“>”“=”“<”)①12__21,②23__32;③34__43;④45__54;⑤56__65 (2)從第(1)題的結(jié)果中,經(jīng)過(guò)歸納,可以猜想出nn+1與(n+1)〃的大小關(guān)系是 ;(3)根據(jù)以上歸納.猜想得到的一般結(jié)論,試比較下列兩數(shù)的大小20012002 20022001:.(福建省龍巖市中考試題).有2009個(gè)數(shù)排成一列,其中任意相鄰的三個(gè)數(shù)中,中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和.若第一個(gè)數(shù)是1,第二個(gè)數(shù)是-1,則這個(gè)2009個(gè)數(shù)的和是()A.-2 B.-1C.0D.2(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南省試題)tt=1,那么ttt123ttt123的值為()A.-1B.1C.±1D.不確定t7.如果4+一+Tt1t2t3(河北省競(jìng)賽試題)8.三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)制數(shù)表示為2X32+0X31+1=2X9+0+1=19;二進(jìn)制數(shù)1011可用十進(jìn)制法表示為1X23+0X22+1X21+1=8+0+2+1=11.前者按3的冪降冪排列,后者按2的冪降冪排列,現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)a=221,二進(jìn)位制數(shù)b=10111,則a與b的大小關(guān)系為().A.a>bB.a=bC.a<bD.不能確定(重慶市競(jìng)賽試題)9.如果有理數(shù)a,b,c,d滿足a+b>C+d,則( )A.Ia-1∣+∣
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