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4ThecontinuoustimeFouriertransform4.1RepresentationofAperiodicsignals:TheContinuoustimeFourierTransform4.1.1DevelopmentoftheFouriertransformrepresentationofanAperiodicSignal4.

TheContinuoustimeFourierTransform4ThecontinuoustimeFouriertransform(1)Example(FromFourierseriestoFouriertransform)4ThecontinuoustimeFouriertransform(2)FouriertransformrepresentationofAperiodic

signalForperiodicsignal

:

Foraperiodicsignalx(t):

4ThecontinuoustimeFouriertransformT4ThecontinuoustimeFouriertransformWhenT,So4ThecontinuoustimeFouriertransformFouriertransform:RelationbetweenFourierseriesandFouriertransform:or4ThecontinuoustimeFouriertransform4ThecontinuoustimeFouriertransform4.1.2ConvergenceofFouriertransformDirichletconditions:(1)x(t)isabsolutelyintegrable.(2)x(t)haveafinitenumberofmaximaandminimawithinanyfiniteinterval.(3)x(t)haveafinitenumberofdiscontinuitywithinanyfiniteinterval.Furthermore,eachofthesediscontinuitiesmustbefinite.4ThecontinuoustimeFouriertransform4.1.3ExamplesofContinuoustimeFourierTransformExample4.14.24.34.44.5Example(1)Example(2)4ThecontinuoustimeFouriertransform4.2TheFourierTransformforPeriodicSignalPeriodicsignal:thusExample4.64.74.84ThecontinuoustimeFouriertransform4.3PropertiesoftheContinuoustimeFourierTransformthenIf4.3.1Linearity4ThecontinuoustimeFouriertransformExample4.9thenIf4.3.2TimeShifting4ThecontinuoustimeFouriertransform4.3.3ConjugationandConjugateSymmetrythen(1)Ifthen(2)If4ThecontinuoustimeFouriertransformthen(3)IfExample4.104ThecontinuoustimeFouriertransform4.3.4DifferentiationandIntegrationthen(1)Ifthen(2)IfExample4.124ThecontinuoustimeFouriertransform4.3.5TimeandFrequencyScalingthenIfEspecially,whereaisreal4ThecontinuoustimeFouriertransform4.3.6DualitythenIfExample4.134ThecontinuoustimeFouriertransform4ThecontinuoustimeFouriertransform(1)DifferentiationinFrequency(2)FrequencyShifting4ThecontinuoustimeFouriertransform4.3.7Parseval’sRelationthenIfExample4.144ThecontinuoustimeFouriertransform4.4TheConvolutionPropertyh(t)H(j)x(t)y(t)=x(t)*h(t)X(j)Y(j)=X(j)H(j)ConsideraLTIsystem:4ThecontinuoustimeFouriertransformExample4.154.164.174.194.204.4.1Examples4ThecontinuoustimeFouriertransform4.5TheMultiplicationPropertyThemultiplication(modulation)property:Example4.214.224.23s(t)p(t)r(t)4ThecontinuoustimeFouriertransform4ThecontinuoustimeFouriertransform4.5.1Frequency-SelectiveFilteringwithVariableCenterFrequencyABandpassFilter:4ThecontinuoustimeFouriertransform4ThecontinuoustimeFouriertransform4.6TablesofFourierPropertiesandofBasicFourierTransformPairsTable4.1Table4.24ThecontinuoustimeFouriertransform4.7SystemCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquationConstant-coefficientdifferentialequation:Fouriertransform:Def

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