課件-023邏輯函數(shù)表達(dá)式形式及變換

2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式及變換1邏輯函數(shù)的建立

將真值表中使每個(gè)輸出變量值為1時(shí)對應(yīng)的一組輸入變量組合以邏輯乘（與運(yùn)算）形式表示（其中在輸入變量組合中，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0），再將所有使輸出變量值為1的邏輯乘項(xiàng)進(jìn)行邏輯加（或運(yùn)算），即得到輸出變量的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

例1.兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)A、B，分別安裝在樓上和樓下。上樓之前在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之下樓之前在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試建立其邏輯函數(shù)式。2例2有X、Y、Z三個(gè)輸入變量，當(dāng)其中兩個(gè)或兩個(gè)以上取值為1時(shí)，輸出F為1；其余輸入情況輸出均為0。試寫出描述此問題的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

解：三個(gè)輸入變量有23=8種不同組合，根據(jù)已知條件可得真值表如下：由真值表可知，使F=1的輸入變量組合有4個(gè)，所以F的與—或表達(dá)式為：

32.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式四種表示方法邏輯代數(shù)式

(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個(gè)輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。4將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。n個(gè)變量可以有2n個(gè)輸入狀態(tài)。(1)真值表列真值表的方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。5(2)邏輯函數(shù)式一、邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。6邏輯函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式

兩種基本形式：指“與-或”表達(dá)式和“或-與”表達(dá)式。

一、“與-或”表達(dá)式

“與-或”表達(dá)式：是指由若干“與項(xiàng)”進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。每個(gè)“與項(xiàng)”可以是單個(gè)變量的原變量或反變量，也可以由多個(gè)原變量或者反變量相“與”組成。例如，均為“與項(xiàng)”，將這3個(gè)“與項(xiàng)”相“或”便可構(gòu)成一個(gè)3變量函數(shù)的“與－或”表達(dá)式。即

“與項(xiàng)”有時(shí)又被稱為“積項(xiàng)”，相應(yīng)地“與-或”表達(dá)式又稱為“積之和”表達(dá)式。7二、“或-與”表達(dá)式

“或-與”表達(dá)式：是指由若干“或項(xiàng)”進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。

每個(gè)“或項(xiàng)”可以是單個(gè)變量的原變量或者反變量，也可以由多個(gè)原變量或者反變量相“或”組成。

例如，、、、D均為“或項(xiàng)”，將這4個(gè)“或項(xiàng)”相“與”便可構(gòu)成一個(gè)4變量函數(shù)的“或-與”表達(dá)式。即

“或項(xiàng)”有時(shí)又被稱為“和項(xiàng)”，相應(yīng)地“或—與”表達(dá)式又稱為“和之積”表達(dá)式。8

該邏輯函數(shù)是“與—或”式？不是！是“或—與”式？也不是！但不論什么形式都可以變換成兩種基本形式。

邏輯函數(shù)表達(dá)式可以被表示成任意的混合形式。例如，

9通常采用“與或”或“或與”的形式。

一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。例：102.3.2邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)的兩種基本形式都不是唯一的。例如為了在邏輯問題的研究中使邏輯功能能和唯一的邏輯表達(dá)式對應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式是建立在最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念的基礎(chǔ)之上的。11一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

(1)定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“與項(xiàng)”包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“與項(xiàng)”被稱為最小項(xiàng)。有時(shí)又將最小項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)“與項(xiàng)”。

1．最小項(xiàng)(2)最小項(xiàng)的數(shù)目：n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最小項(xiàng)。

例如，3個(gè)變量A、B、C可以構(gòu)成、、…、

ABC共8個(gè)最小項(xiàng)。12最小項(xiàng)（以三變量的邏輯函數(shù)為例）具有以下特點(diǎn)的乘積項(xiàng)：1、每項(xiàng)只有三個(gè)因子；2、每個(gè)變量都是它的因子；3、每一變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。變量賦值為1時(shí)用該變量表示；變量賦值為0時(shí)用該變量的反來表示。輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)，n個(gè)變量共有2n個(gè)最小項(xiàng)13（3）簡寫：用mi表示最小項(xiàng)。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆钚№?xiàng)中的原變量用1表示，反變量用0表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。

例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最小項(xiàng)可用m5表示。因?yàn)閙5

(5)10101AC14三個(gè)變量的所有最小項(xiàng)的真值表m0—m7為對最小項(xiàng)的編號15在由n個(gè)變量構(gòu)成的任意“與項(xiàng)”中，最小項(xiàng)是使其值為1的變量取值組合數(shù)最少的一種“與項(xiàng)”，這也就是最小項(xiàng)名字的由來。

（4）性質(zhì):

最小項(xiàng)具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1:任意一個(gè)最小項(xiàng)，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個(gè)最小項(xiàng)的值為1。并且，最小項(xiàng)不同，使其值為1的變量取值不同。16

性質(zhì)3：

n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)相“或”為1。

通常借用數(shù)學(xué)中的累加符號“Σ”，將其記為

性質(zhì)2：

相同變量構(gòu)成的兩個(gè)不同最小項(xiàng)相“與”為0。

因?yàn)槿魏我环N變量取值都不可能使兩個(gè)不同最小項(xiàng)同時(shí)為1，故相“與”為0。

即mi·mj=0

性質(zhì)4：

n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。

相鄰最小項(xiàng)：是指除一個(gè)變量互為相反外，其余部分均相同的最小項(xiàng)。例如，三變量最小項(xiàng)ABC和相鄰。17邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰。18邏輯相鄰邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子19最小項(xiàng)：與項(xiàng)中包含了全部的輸入邏輯變量，每個(gè)輸入邏輯變量在與項(xiàng)中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。又稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)。20最小項(xiàng)已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項(xiàng)的變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。21根據(jù)最小項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最小項(xiàng)寫出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應(yīng)的輸出狀態(tài)。22

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表示式：利用邏輯代數(shù)的基本公式，可以把任一個(gè)邏輯函數(shù)化成一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。

例1：23例2：24(2)數(shù)目：n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。例如，3個(gè)變量A、B、C可構(gòu)成、、、

共8個(gè)最大項(xiàng)。(1)

定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量函數(shù)的“或項(xiàng)”包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“或項(xiàng)”被稱為最大項(xiàng)。有時(shí)又將最大項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)“或項(xiàng)”。2．最大項(xiàng)25最大項(xiàng)具有以下特點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)和之積項(xiàng)：1、每項(xiàng)都包含了函數(shù)的全部變量；2、每一變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。變量賦值為0時(shí)用該變量表示；變量賦值為1時(shí)用該變量的反來表示。輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個(gè)最大項(xiàng)，n個(gè)變量共有2n個(gè)最大項(xiàng)26（3）簡寫：用Mi表示最大項(xiàng)。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：將最大項(xiàng)中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最大項(xiàng)可用M5表示。因?yàn)镸5

(5)1010127三個(gè)變量的所有最大項(xiàng)的真值表M0—M7為對最大項(xiàng)的編號28（4）性質(zhì)：最大項(xiàng)具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1任意一個(gè)最大項(xiàng)，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個(gè)最大項(xiàng)的值為0。并且，最大項(xiàng)不同，使其值為0的變量取值不同。在n個(gè)變量構(gòu)成的任意“或項(xiàng)”中，最大項(xiàng)是使其值為1的變量取值組合數(shù)最多的一種“或項(xiàng)”，因而將其稱為最大項(xiàng)。

29

性質(zhì)2相同變量構(gòu)成的兩個(gè)不同最大項(xiàng)相“或”為1。因?yàn)槿魏我环N變量取值都不可能使兩個(gè)不同最大項(xiàng)同時(shí)為0，故相“或”為1。

即Mi+Mj=1

性質(zhì)3

n個(gè)變量的全部最大項(xiàng)相“與”為0。通常借用數(shù)學(xué)中的累乘符號“Π”將其記為

性質(zhì)4

n個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰最大項(xiàng)。相鄰最大項(xiàng)是指除一個(gè)變量互為相反外，其余變量均相同的最大項(xiàng)。30最大項(xiàng)：或項(xiàng)中包含了全部的輸入邏輯變量，每個(gè)輸入邏輯變量在或項(xiàng)中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。這種包含所有輸入邏輯變量的或項(xiàng)稱為最大項(xiàng)（或標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)）。

31根據(jù)最大項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最大項(xiàng)寫出邏輯函數(shù)式。32通過比較可以發(fā)現(xiàn)相同編號的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系，即：所以：

mi+Mi=1mi·Mi=0列出函數(shù)F的真值表及其最小項(xiàng)和最大項(xiàng)代號如下表。

333．最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系

（1）mi和Mi互補(bǔ)，即；例如：則則（2）以m個(gè)最小項(xiàng)之和表示的一個(gè)n變量的邏輯函數(shù)F，其反函數(shù)可用m個(gè)最大項(xiàng)之積表示，這m個(gè)最大項(xiàng)的下角標(biāo)與m個(gè)最小項(xiàng)的下角標(biāo)恰好完全一樣；例如34F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7）=∏M（0，2，4，5）

35

推廣到一般情況，同一邏輯函數(shù)從一種標(biāo)準(zhǔn)形式變換為另一種標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，只需將∑m和∏M符號互換，并在其后的括弧中填入原標(biāo)準(zhǔn)形式缺少的數(shù)字即可。如：F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14）=∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）36綜合舉例例1.如果邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12），G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12），求F+G=？解：F和G是具有相同變量個(gè)數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，F(xiàn)（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12）意味著ABCD取值0001、0100、1001、1100時(shí)F的值為1，否則F的值為0。G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12）意味著ABCD取值0001、0100、1001、1100時(shí)G的值為0，否則G的值為1。由此可見，F(xiàn)和G互為反函數(shù)。所以F+G=137所以：=∑m（0，3，5，7）=∏M（1，2，4，6）

因?yàn)椋航猓河蒄（A，B，C）=∏M（0，2，4，7）可直接求出其反函數(shù)但不能導(dǎo)出F’（A，B，C）=∑m（0，2，4，7）。例2.已知邏輯函數(shù)F（A，B，C）=∏M（0，2，4，7），求其對偶函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式。38二、邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式有標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式兩種類型。

1．標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

由若干最小項(xiàng)相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式，也叫做最小項(xiàng)表達(dá)式。該函數(shù)表達(dá)式又可簡寫為F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=例如，如下所示為一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

392．標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式

由若干最大項(xiàng)相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式，也叫做最大項(xiàng)表達(dá)式。例如，、、為3變量構(gòu)成的3個(gè)最大項(xiàng)，對這3個(gè)最大項(xiàng)進(jìn)行“與”運(yùn)算，即可得到一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式該表達(dá)式又可簡寫為402.3.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換

將一個(gè)任意邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方法，一種是代數(shù)轉(zhuǎn)換法，另一種是真值表轉(zhuǎn)換法。一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法

1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式一般步驟如下：

第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成一般“與-或”表達(dá)式。

第二步：反復(fù)使用將表達(dá)式中所有非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。

所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表達(dá)式從一種形式變換為另一種形式。

41

第二步：把“與-或”式中非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。具體地說，若某“與項(xiàng)”缺少函數(shù)變量Y，則用()和這一項(xiàng)相與，并把它拆開成兩項(xiàng)。即例如，將邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。解

第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成“與-或”表達(dá)式。即42所得標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式的簡寫形式為當(dāng)給出函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)是“與-或”表達(dá)式時(shí)，可直接進(jìn)行第二步。2.求一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式

一般步驟：第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“或-與”表達(dá)式。

第二步：反復(fù)利用定理把表達(dá)式中所有非最大項(xiàng)的“或項(xiàng)”擴(kuò)展成最大項(xiàng)。43解

第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成“或-與”表達(dá)式。即例如，將邏輯函數(shù)表達(dá)式變換成標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式。=144

第二步：將所得“或-與”表達(dá)中的非最大項(xiàng)擴(kuò)展成最大項(xiàng)。即當(dāng)給出函數(shù)已經(jīng)是“或-與”表達(dá)式時(shí)，可直接進(jìn)行第二步。該標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式的簡寫形式為45二、真值表轉(zhuǎn)換法

具體：真值表上使函數(shù)值為1的變量取值組合對應(yīng)的最小項(xiàng)相“或”,即可構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式。

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式與真值表具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

因此，可以通過函數(shù)的真值表寫出最小項(xiàng)表達(dá)式。1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式46

解:首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據(jù)真值表可直接寫出F的最小項(xiàng)表達(dá)式1011

0110ABCF1101

11100000

0101

10010010函數(shù)的真值表例如，將函數(shù)表達(dá)式變換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。47

具體：真值表上使函數(shù)值為0的變量取值組合對應(yīng)的最大項(xiàng)相“與”即可構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式。2.求一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式

邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式與真值表之間同樣具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

48解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根據(jù)真值表直接寫出F的最大項(xiàng)表達(dá)式

函數(shù)的真值表1010

0111

ABCF

1100

1110

0000

0100

1001

0011

例如，將函數(shù)表達(dá)式表示成最大項(xiàng)表達(dá)式的形式。

49由于函數(shù)的真值表與函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而任何個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，可見，任何一個(gè)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式也是唯一的。邏輯函數(shù)表達(dá)式的唯一性給我們分析和研究邏輯問題帶來了很大的方便。50一、卡諾圖的構(gòu)成

卡諾圖是一種平面方格圖，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，故又稱為最小項(xiàng)方格圖。

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

(1)n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格構(gòu)成,每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)；

(2)幾何圖形上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)?？ㄖZ圖中最小項(xiàng)的排列方案不是唯一的，但任何一種排列方案都必須具備以上特點(diǎn)。（3）卡諾圖51

2變量、3變量、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示。m3

m1

m2m0

AB0110(a)0m5m4m7m6m3

m1

m2