2023年等差數(shù)列的前n項(xiàng)和講課講稿

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦等差數(shù)列的前n項(xiàng)和講課講稿2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1．理解并把握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過程，體味等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系．(重點(diǎn))

2．嫻熟把握等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的隨意三個(gè)求出其余的兩個(gè)．(重點(diǎn))

[基礎(chǔ)·初探]

教材收拾等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

2.Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋??

?

??a1－d2n.

d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且無常數(shù)項(xiàng)．

推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)公差為零的數(shù)列不能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．()(2)數(shù)列{n2}可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求其前n項(xiàng)和Sn.()(3)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn，則{an}是等差數(shù)列．()【解析】(1)任何等差數(shù)列都能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．(2)數(shù)列{n2}不是等差數(shù)列，故不能用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．

(3)當(dāng)公差不為0時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)．【答案】(1)×(2)×(3)√

[小組合作型]

(1)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝3

2，

d＝－1

2，Sn＝－15，求n和an；

(2)已知等差數(shù)列{an}中，S5＝24，求a2＋a4；

(3)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；

(4)已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.

【出色點(diǎn)撥】運(yùn)用方程的思想，按照已知條件建立方程或方程組求解，另外解題時(shí)要注重整體代換．

【嘗試解答】(1)Sn＝n·32＋n(n－1)2·

?????

－12＝－15，收拾得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝32＋(12－1)×?????

－12＝－4.

(2)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S5＝5a1＋5×(5－1)

2d＝24，

即5a1＋10d＝24，所以a1＋2d＝24

5，所以a2＋a4＝2(a1＋2d)＝2×245＝48

5.

(3)由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n(n－1)

2d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，

所以???

1＋(n－1)d＝－512，①

n＋1

2n(n－1)d＝－1022，②

把(n－1)d＝－513代入②得

n＋12n·(－513)＝－1022，解得n＝4，

所以d＝－171.

(4)由已知可得???

(a1＋d)＋(a1＋4d)＝19，

5a1＋5×4

2d＝40，

解得a1＝2，d＝3，

所以a10＝a1＋9d＝2＋9×3＝29.

等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧：

(1)利用基本量求值．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，普通是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時(shí)注重整體代換的思想．

(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝n(a1＋an)2

結(jié)合使用．

[再練一題]1．等差數(shù)列中：

(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝5，求S20；(3)d＝1

3，n＝37，Sn＝629，求a1及an.

【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，∴Sn＝n(a1＋an)2＝128×(105＋994)2＝70336.

(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝5，

∴S20＝20a1＋20×(20－1)

2×5＝20×10＋10×19×5＝1150.

(3)將d＝1

3，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an)

2

，得?????

an＝a1＋12，37·(a1＋an)2＝629，

解得?????

a1＝11，

an＝23.

為響應(yīng)教導(dǎo)部下發(fā)的《關(guān)于在中

學(xué)校實(shí)施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2022年起用10年的時(shí)光，在全市中學(xué)校建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校內(nèi)網(wǎng)．據(jù)測(cè)算，2022年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元．為了保證工程的順當(dāng)實(shí)施，方案每年投入的資金都比上一年增強(qiáng)50萬元．那么從2022年起的將來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

【出色點(diǎn)撥】將該實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求解，因?yàn)槊磕晖度胭Y金都比上一年增強(qiáng)50萬元，故可考慮利用等差數(shù)列求解．

【嘗試解答】按照題意，從2022年～2022年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增強(qiáng)50萬元，

所以，每年投入的資金依次組成等差數(shù)列{an}，其中，a1＝500，d＝50.那么，到2022年(n＝10)，投入的資金總額為S10＝10×500＋10×(10－1)

2

×50＝7250(萬元)，

即從2022年～2022年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元．

有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對(duì)實(shí)際問題的討論建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實(shí)際的答案，可分以下幾步考慮：

(1)問題中所涉及的數(shù)列{an}有何特征；(2)是求數(shù)列{an}的通項(xiàng)還是求前n項(xiàng)和；(3)列出等式(或方程)求解．[再練一題]

2.如圖1-2-2，一個(gè)堆放鉛筆的V型架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支．最上面一層放120支，這個(gè)V型架上共放著多少支鉛筆？

圖1-2-2

【解】由題意可知這個(gè)V型架自下而上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為數(shù)列{an}，其中a1＝1，a120＝120.按照等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S120＝120×(1＋120)

＝7260.

2

即V型架上共放著7260支鉛筆．

[探索共研型]

探索1nnSm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列嗎？假如是，它們的公差是多少？

【提醒】由Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋am＋md＝Sm＋m2d，

同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－Sm＋m2d，

所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.

探索2設(shè)Sn、Tn分離為兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，那么an

bn與

S2n－1

T2n－1

有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證實(shí)之．

【提醒】an

bn

＝

S2n－1

T2n－1

.

【證實(shí)】an

bn

＝2an

2bn

＝

a1＋a2n－1

b1＋b2n－1

＝(2n－1)(a1＋a2n－1)

2

(2n－1)(b1＋b2n－1)

2

＝

S2n－1

T2n－1

.

(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為

30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m；

(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分離為Sn和Tn，已知Sn

Tn＝7n＋2

n＋3

，求

a5

b5

的值．

【出色點(diǎn)撥】(1)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列求解．(2)利用前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為和的比值求解．

【嘗試解答】(1)在等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，

S3m－100成等差數(shù)列，

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝2a52b5＝9(a1＋a9)9(b1＋b9)＝S9T9＝6512

.

巧妙應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)“片段和”性質(zhì)．

若{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構(gòu)成公差為n2d的等差數(shù)列．

(2)項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì)．Sn＝n(a1＋an)2＝n(am＋an－m＋1)2.

(3)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)．{an}為等差數(shù)列，公差為d.

①若共有2n項(xiàng)，則S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；

S偶S奇＝an＋1

an

.②若共有2n＋1項(xiàng)，則S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶S奇＝n

n＋1.

(4)等差數(shù)列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)．(5)等差數(shù)列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，則Sm＋n＝0.

[再練一題]

3．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n(n＞1)項(xiàng)和分離是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求a9

b9

的值．

【解】a9b9＝2a92b9＝a1＋a17

b1＋b17

＝

a1＋a17

2×17b1＋b17

2×17＝S17T17

＝2×17＋13×17－2

＝3549＝57.

探索1將等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝na1＋2d變形為Sn關(guān)于n的函數(shù)后，該函數(shù)是怎樣的函數(shù)？為什么？

【提醒】因?yàn)镾n＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋??

???a1－d2n，

所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.

探索2類比二次函數(shù)的最值狀況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？最小值？【提醒】由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出，當(dāng)d＞0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d＜0時(shí)，有最大值，且n取值最臨近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取得最值．

在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，前

5項(xiàng)的和S5＝－15.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的最小值，并指出何時(shí)取最小值．

【出色點(diǎn)撥】(1)直接按照等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程，求得a1和d，進(jìn)而得解；

(2)可先求出前n項(xiàng)和公式，再利用二次函數(shù)求最值的辦法求解，也可以利用通項(xiàng)公式，按照等差數(shù)列的單調(diào)性求解．

【嘗試解答】

(1)由題意得???

a1＋9d＝18，

5a1＋5×4

2×d＝－15，

得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.

(2)Sn＝n(a1＋an)2＝12(3n2

－21n)＝

32?????n－722－1478，∴當(dāng)n＝3或4時(shí)，

前n項(xiàng)的和取得最小值S3＝S4＝－18.

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的三種解法：

(1)利用an：當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；當(dāng)a1＜0，d＞0，前n項(xiàng)和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．

(2)利用Sn：由Sn＝d

2n

2＋

?

?

?

?

?

a1－

d

2n(d≠0)，利用二次函數(shù)配辦法求得最值時(shí)n

的值．

(3)利用二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱性．

[再練一題]

4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值.

【解】利用前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)，由S17＝S9得

25×17＋17

2(17－1)d＝25×9＋

9

2(9－1)d，解得d＝－2，

∴Sn＝25n＋n

2(n－1)(－2)＝－(n－13)

2＋169，

∴由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.

1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2

【解析】S8＝8(a1＋a8)

2＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，

又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.【答案】A

2．記等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d等于()A．2B．3C．6D．7

【解析】由題意得?????

2a1＋d＝4，4a1＋6d＝20，解得??

?

a1＝1

2，

d＝3.

【答案】B

3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，前三項(xiàng)和為15，則前6項(xiàng)和為()A．57B．－40C．－57D．40【解析】由題意知a1＋a2＋a3＝15，∴3a2＝15，a2＝5，∴d＝a2－a1＝3，∴an＝3n－1，∴S6＝6(2＋17)

2＝57.

【答案】A

4．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，d＝2，則S20＝________.【解析】S20＝20·a1＋20×192×d＝20×2＋20×19

2×2＝420.

【答案】420

5．等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)若Sn＝242，求n.

【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程組?????

a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，

解得?????

a1＝12，

d＝2，

所以an＝2n＋10.

(2)由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，Sn＝242，得12n＋n(n－1)

2×2＝242，

解得n＝11或n＝－22(舍去)，所以n＝11.

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(五)

(建議用時(shí)：45分鐘)

[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]

一、挑選題

1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．11

【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5(a1＋a5)

2

＝5a3＝5，故選A.

法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，

∴S5＝5a1＋5×4

2d＝5(a1＋2d)＝5，故選A.【答案】A

2．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝()

A.

172B.19

2

C．10

D．12【解析】∵公差為1，

∴S8＝8a1＋8×(8－1)2×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1

2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝19

2.故選B.【答案】B

3．在等差數(shù)列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，則n的值為()A．14B．15C．16D．17【解析】S9＝9(a1＋a9)

2＝9a5＝18，所以a5＝2，

Sn＝n(a1＋an)2＝n(a5＋an－4)2＝240，

∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B

4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3S6

＝13，則S6

S12

等于()

A.310

B.13

C.18

D.19

【解析】由題意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列．

∵S3S6＝1

3.不妨設(shè)S3＝1，S6＝3，則S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，

∴S6S12＝310.【答案】A

5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n等于()

A．6

B．7

C．8

D．9【解析】設(shè)公差為d，由a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，∴Sn＝－11n＋n(n－1)

2×2＝n2－12n，∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn取得最小值．【答案】A二、填空題

6．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.

【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×(6－1)

2d＝6.

【答案】6

7．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，則a9的值是________.

【解析】法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋5×42d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a22＝－3，

化簡(jiǎn)得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.

法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知5(a1＋a5)

2＝5a3＝10，所以

a3＝2.

所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a22＝－3，化簡(jiǎn)得a2

2＋2a2＋1

＝0，所以a2＝－1.

公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.【答案】20

8．等差數(shù)列{an}的前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.

【解析】設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1得9×1＋9×8

2×d＝4×1＋4×32×d，所以d＝－16，又ak