高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分

高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分第一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二§6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性第二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二注：

設P0(x0

y0)是xOy平面上的一個點

是某一正數(shù)點P0的鄰域記為U(P0

)它是如下點集鄰域

如果不需要強調鄰域的半徑則用U(P0)表示點P0的某個鄰域點P0的某個去心鄰域記作下頁第三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二下頁

任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必有以下三種關系中的一種

點與點集之間的關系

內點如果存在點P的某一鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的內點

外點如果存在點P的某個鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的外點

邊界點如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點也有不屬于E的點則稱P點為E的邊點邊界點內點外點

E的邊界點的全體稱為E的邊界記作E

第四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二開集

如果點集E的點都是內點,則稱E為開集.下頁閉集如果點集的余集Ec為開集則稱E為閉集

舉例

點集E{(x

y)|1<x2y2<2}是開集也是開區(qū)域點集E{(x

y)|1x2y22}是閉集也是閉區(qū)域點集E{(x

y)|1x2y22}既非開集也非閉集

區(qū)域(或開區(qū)域)

連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區(qū)域第五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二有界集

對于平面點集E

如果存在某一正數(shù)r

使得EU(O

r)

其中O是坐標原點則稱E為有界點集

無界集

一個集合如果不是有界集就稱這集合為無界集

點集{(x

y)|xy0}是無界閉區(qū)域

點集{(x

y)|xy0}是無界開區(qū)域

舉例

點集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區(qū)域

下頁第六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二注：二、二元函數(shù)概念下頁舉例二元函數(shù)的定義

設D是R2的一個非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數(shù)通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數(shù)值與自變量x、y的一對值(x

y)相對應的因變量z的值稱為f在點(x

y)處的函數(shù)值記作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函數(shù)也可以用其它符號如zz(x

y)

zg(x

y)等

第七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二多元函數(shù)的定義域

函數(shù)zln(xy)的定義域為

{(x

y)|xy>0}

函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域為

{(x

y)|x2y21}

舉例

下頁第八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形點集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}稱為二元函數(shù)zf(x,y)的圖形.

二元函數(shù)的圖形是一張曲面.

z=ax+by+c表示一張平面.舉例

方程x2+y2+z2a2確定兩個二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2a2}.首頁第九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限.三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義

設二元函數(shù)f(P)f(xy)也記作下頁第十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二下頁

例

設22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(?yxfyx.),(lim)0,0(),(?yxfyx=0第十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二必須注意

(1)二重極限存在,

是指P以任何方式趨于P0時,

函數(shù)都無限接近于A

.

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時,

函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

提示討論下頁第十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.下頁第十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二性質1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元連續(xù)函數(shù)的性質性質2(介值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值

結束第十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二§6.3偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導數(shù)上頁下頁鈴結束返回首頁第十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、偏導數(shù)的定義及其計算法

類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數(shù).偏導數(shù)的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某一鄰域內有定義若極限存在則稱此極限為函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)處對x的偏導數(shù)

記作>>>第十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號

如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在,那么f(x,y)對x的偏導數(shù)是x、y的函數(shù),這個函數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)對x的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù)),記作偏導函數(shù)第十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號偏導函數(shù)偏導函數(shù)的符號>>>第十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二偏導數(shù)的求法求函數(shù)對一個自變量的偏導數(shù)時,只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導法求導即可.偏導函數(shù)第十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例

求zx23xyy2在點(1,2)處的偏導數(shù).

解

偏導函數(shù)第二十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

解

例

例

求zx2sin2y的偏導數(shù).

解

第二十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二證原結論成立．第二十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二有關偏導數(shù)的幾點說明：１.２.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；解第二十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二3.偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，

對于多元函數(shù)來說,即使各偏導數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).第二十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二但函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù).在點(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：當點P(x

y)沿直線ykx趨于點(00)時有因此函數(shù)f(x

y)在(00)的極限不存在當然也不連續(xù)

第二十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二偏導數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線z=f(x,

y0)在點(x0,

y0)處的切線Tx對x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(x0,

y0)處的切線Ty對y軸的斜率.第二十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二偏導數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截線z=f(x,

y0)在點(x0,

y0)處的切線Tx對x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(x0,

y0)處的切線Ty對y軸的斜率.第二十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二設某產品的需求量偏導數(shù)的經濟意義其中為該產品的價格，為消費者收入。稱需求對價格的偏彈性需求對收入的偏彈性第二十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二偏導數(shù)的經濟意義科布-道格拉斯生產函數(shù)其中是由用品的成本）。偏導數(shù)分別稱為人力的邊際生產力和資本的邊際生產力。個人力單位和個資本單位生產出的產品數(shù)量（資本是機器、場地、生產工具和其它第二十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二二、高階偏導數(shù)二階偏導數(shù)

如果函數(shù)zf(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導數(shù),則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導數(shù).

函數(shù)zf(x,y)的二階偏導數(shù)有四個:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導數(shù).

類似地可定義三階、四階以及n階偏導數(shù).第三十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

解

此例中兩個混合偏導數(shù)是相等的.

例

設z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第三十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數(shù)必相等

定理

解

例

設z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第三十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

證

例

第三十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

證

例提示

第三十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

證

例第三十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、全微分的定義二、全微分在近似計算中的應用§6.4全微分上頁下頁鈴結束返回首頁應用

一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差第三十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得一、全微分（perfectdifferential)第三十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二全增量(perfectincrement)的概念第三十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關,則稱函數(shù)zf(x,

y)在點(x,

y)可微分,

而AxBy稱為函數(shù)zf(x,

y)在點(x,

y)的全微分,

記作dz,

即

dzAxBy.

如果函數(shù)在區(qū)域D內各點處都可微分,

那么稱這函數(shù)在D內可微分.

下頁

如果函數(shù)zf(x,

y)在點(x,

y)的全增量

zf(xx,

yy)f(x,

y)可表示為第三十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二可微分與連續(xù)偏導數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

這是因為,

如果z=f(x,

y)在點(x,

y)可微,則

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),因此函數(shù)z=f(x,

y)在點(x,

y)處連續(xù).下頁于是從而第四十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二可微分的必要條件>>>應注意的問題>>>下頁可微分與連續(xù)偏導數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)zf(x

y)在點(x

y)可微分則函數(shù)在該點的偏導

偏導數(shù)存在是可微分的必要條件但不是充分條件

第四十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二可微分的充分條件

以上結論可推廣到三元及三元以上函數(shù).

下頁可微分的必要條件可微分與連續(xù)偏導數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)zf(x

y)在點(x

y)可微分則函數(shù)在該點的偏導則函數(shù)在該點可微分.

第四十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二疊加原理

按著習慣,x、y分別記作dx、dy,

并分別稱為自變量的微分,這樣函數(shù)z=f(x,

y)的全微分可寫作

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù),

例如uf(x,

y,

z)的全微分為下頁第四十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例1

計算函數(shù)zx2yy2的全微分.

解

所以

例2

計算函數(shù)zexy在點(2,1)處的全微分.

解

所以dz2xydx(x22y)dy.dze2dx2e2dy.

下頁因為因為第四十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二解第四十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

解

首頁

例3

因為所以第四十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二設解:

類似可得機動目錄上頁下頁返回結束第四十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二二、全微分在近似計算中的應用下頁

當函數(shù)zf(x,

y)在點(x0,

y0)處可微，那么函數(shù)L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)fy(x,

y)(y-y0),

就稱為函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處的線性化.近似式

f(x,

y)L(x,y)稱為函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處的標準線性近似.

例求函數(shù)在點(3,2)處的線性化.第四十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

當函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù),并且|x|,|y|都較小時,有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.

我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算.第四十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例4

有一圓柱體,

受壓后發(fā)生形變,

它的半徑由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu減少到99cm.

求此圓柱體體積變化的近似值.

解

設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V,

則有V

r2h.

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200cm3.

2201000.05202(1)VdV2rhrr2h200(cm3),VrrVhh下頁f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,

已知r20,

h100,

r0.05,

h1,根據(jù)近似公式,

有第五十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例5

計算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以x

yyx

y1xx

ylnx

y,

f(xx,

yy)

f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y1.08.1221210.0412ln10.02

解

設函數(shù)f(x,

y)xy.

顯然,

要計算的值就是函數(shù)在

x1.04,

y2.02時的函數(shù)值f(1.04,2.02).

結束f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,因為

取x1,

y2,

x0.04,

y0.02.第五十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二練習題第五十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二第五十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二練習題答案第五十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二第五節(jié)、復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一元復合函數(shù)求導法則微分法則第五十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則定理.

若函數(shù)處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數(shù)且有鏈式法則1.復合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)情形第五十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二例如,上述定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.以上公式中的導數(shù)稱為全導數(shù).第五十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二定理22.復合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)情形第五十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二鏈式法則如圖示第五十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

第六十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

設zf(u

v)

u(x

y)

v(x

y)

則

例.

解:

exy[ysin(xy)cos(xy)]

eusinv1eucosvyeusinvexy[xsin(xy)cos(xy)]1eucosvx

設zf(u

v)u(t)v(t)則第六十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

3.復合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)情形第六十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二特殊地即其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似第六十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二解:第六十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二例.解:第六十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二為簡便起見,引入記號例.設

f

具有二階連續(xù)偏導數(shù),求解:

令則第六十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二全微分形式不變性的實質：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性二、多元復合函數(shù)的全微分第六十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二第六十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二例1.例.利用全微分形式不變性解例1.解:所以第六十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導公式第七十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例.

驗證方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x0的值.

解:

設F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.隱函數(shù)存在定理:則

設函數(shù)F(x

y)在點P(x0

y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù)

F(x0

y0)0

Fy(x0

y0)0

則方程F(x

y)0在點(x0

y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)yf(x)

它滿足條件y0f(x0).

由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x).第七十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

解:

設F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x).提示:

由方程F(x,y)0確定的隱函數(shù)yf(x)的導數(shù)為

例.

驗證方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x0的值.第七十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

解:

設F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x).

例.

驗證方程x2y210在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x0時y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x0的值.第七十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二隱函數(shù)存在定理>>>

設函數(shù)F(x

y

z)在點P(x0

y0

z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)且F(x0

y0

z0)0

Fz(x0

y0

z0)0

則方程F(x

y

z)0在點(x0

y0

z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)zf(x

y)

它滿足條件z0f(x0

y0)

并有第七十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二解:令則第七十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二內容小結1.復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,3.隱函數(shù)微分法.第七十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二練習題第七十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法§6.6多元函數(shù)的極值及其求法上頁下頁鈴結束返回首頁第七十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁極值的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值

使函數(shù)取得極值的點稱為極值點

第七十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

例

函數(shù)z3x24y2在點(0,0)處有極小值.提示:

當(x,

y)=(0,0)時,z=0,而當(x,

y)(0,0)時,z0.

因此z=0是函數(shù)的極小值.下頁第八十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

提示:

例

當(x,

y)=(0,0)時,z=0,而當(x,

y)(0,0)時,z0.因此z=0是函數(shù)的極大值.下頁第八十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二提示:

因為在點(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(0,0)的任一鄰域內,總有使函數(shù)值為正的點,也有使函數(shù)值為負的點.

例

函數(shù)zxy在點(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.下頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

第八十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二下頁定理1(取得極值的必要條件)

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)具有偏導數(shù)且在點(x0

y0)處有極值則有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

類似地可推得如果三元函數(shù)uf(x

y

z)在點(x0

y0

z0)具有偏導數(shù)則它在點(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為fx(x0

y0

z0)0

fy(x0

y0

z0)0

fz(x0

y0

z0)0

>>>第八十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

凡是能使fx(x

y)0

fy(x

y)0同時成立的點(x0

y0)稱為函數(shù)zf(x

y)的駐點

駐點

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)具有偏導數(shù)且在點(x0

y0)處有極值則有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

下頁討論

駐點與極值點的關系怎樣？提示具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點

函數(shù)的駐點不一定是極值點>>>定理1(取得極值的必要條件)例如,有駐點(0,0),

但在該點不取極值.第八十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二下頁定理2(取得極值的充分條件)

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)又fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

令fxx(x0

y0)A

fxy(x0

y0)B

fyy(x0

y0)C

則f(x

y)在(x0

y0)處是否取得極值的條件如下

(1)ACB2>0時具有極值且當A<0時有極大值當A>0時有極小值

(2)ACB2<0時沒有極值

(3)ACB20時可能有極值也可能沒有極值

第八十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二極值的求法第一步解方程組fx(xy)0

fy(xy)0求得一切實數(shù)解即可得一切駐點.

第二步對于每一個駐點(x0

y0)求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符號

判定f(x0

y0)是否是極值、是極大值還是極小值

函數(shù)f(x

y)在駐點處如果fxxfyy-fxy2>0則函數(shù)在駐點處取得極值

如果fxxfyy-fxy2>0則函數(shù)在駐點處不取得極值在極值點處當fxx<0時有極大值當fxx>0時有極小值下頁第八十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二例求函數(shù)解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)第八十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;第八十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二例

討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為第八十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二應注意的問題不是駐點也可能是極值點.

因此,在考慮函數(shù)的極值問題時,除了考慮函數(shù)的駐點外,如果有偏導數(shù)不存在的點,那么對這些點也應當考慮.下頁但(00)不是函數(shù)的駐點

第九十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.討論:

比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示:

不能,最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得,而極值是在區(qū)域的內部求得的.下頁第九十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內部,也可能在D的邊界上.最大值和最小值的求法

將函數(shù)f(x,y)在D內的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得,而函數(shù)在D內只有一個駐點,那么該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).下頁最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第九十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二下頁

例某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取多少時才能使用料最省

解

根據(jù)題意可知水箱所用材料面積的最小值一定存在并在開區(qū)域D{(x

y)|x>0

y>0}內取得又因為函數(shù)在D內只有一個駐點(22)

所以此駐點一定是A的最小值點

設水箱的長為xm

寬為ym

則所用材料的面積為水箱所用的材料最省

第九十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

上述問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值問題,這是一個條件極值問題.

例如,求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題.

設長方體的三棱的長為x,y,z,則體積Vxyz.

又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xyyzxz)a2.下頁第九十四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二求條件極值的方法(1)將條件極值化為無條件極值

例如,求Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值.

有時可以把條件極值問題化為無條件極值問題.這就把求條件極值問題轉化成了求無條件極值問題.下頁二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第九十五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二(2)用拉格朗日乘數(shù)法

在多數(shù)情況下較難把條件極值轉化為無條件極值,需要用一種求條件極值的專用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.下頁求條件極值的方法(1)將條件極值化為無條件極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第九十六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二拉格朗日乘數(shù)法

要找函數(shù)zf(x,y)在附加條件j(x,y)0下的可能極值點,可以先作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))F(x,y)f(x,y)lj(x,y),其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子).

然后解方程組

上述方程組的解(x,y)就是所要求的可能的極值點,

對于所求得的可能的極值點還需判斷是否是極值點,在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質來判定.下頁第九十七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

例

求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.

設長方體的三個棱長x,y,z,則問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函數(shù)解方程組F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),結束

因為由問題本身可知最大值一定存在所以最大值就在這個可能的值點處取得此時

解

第九十八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二小結1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第九十九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.第一百頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二解按題意，即求函數(shù)在條件第一百零一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二第一百零二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二解由第一百零三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二第一百零四頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、二重積分的概念二、二重積分的性質§6.7二重積分的概念與性質第一百零五頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積

設一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D

它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面它的頂是曲面zf(x

y)

這里f(x

y)0且在D上連續(xù)這種立體叫做曲頂柱體

第一百零六頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二提示

相應地把曲頂柱體分成了n個小曲頂柱體.提示其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積ViVif(i

i)i

用小平頂柱體的體積之和近似代替整個曲頂柱體體積

將分割加細取極限求得曲頂柱體體積的精確值si(xi,hi)一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積用曲線網把D分成小區(qū)域

1

2

n

第一百零七頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二二重積分的定義

設f(x

y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)

將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域1

2

n

其中i表示第i個小閉區(qū)域也表示它的面積

在每個小閉區(qū)域i上任取一點(i

i)

作和

設為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當

0時這和式的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x

y)在閉區(qū)域D上的二重積分記為第一百零八頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二———積分號

二重積分的定義積分中各部分的名稱f(x

y)——被積函數(shù)

f(x

y)d—被積表達式

d———面積元素

x

y———積分變量

D————積分區(qū)域

——積分和

第一百零九頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義:當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．第一百一十頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素(arealelement)為第一百一十一頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數(shù)則性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則第一百一十二頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二注

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數(shù)則

如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和

性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則第一百一十三頁，共一百四十三頁，編輯于2023年，星期二

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數(shù)則性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則