安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題分析

近幾年安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題分類(lèi)探析合肥45中金效奇數(shù)學(xué)壓軸題是指在一套數(shù)學(xué)試卷中涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，題型新穎，解法沒(méi)有固定模式，難度較大，對(duì)同學(xué)們的解題技能、技巧有較高的要求且分值較高排在試卷最后面的題。

一般試卷中的壓軸題常以綜合題的形式出現(xiàn)，常常循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)成幾道小題目.要順利解答壓軸題，除了基礎(chǔ)知識(shí)要扎實(shí)之外，審題也很關(guān)鍵.搞清題目的類(lèi)型，理清題目中的知識(shí)點(diǎn)，分清條件和結(jié)論，注意關(guān)鍵語(yǔ)句找出關(guān)鍵條件，特別要挖掘隱含條件，并盡量根據(jù)題意列出相關(guān)的數(shù)式或畫(huà)出示意圖形，然后分析條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而找到正確合理的解題途徑.將復(fù)雜問(wèn)題分解或轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單或者熟悉的問(wèn)題則是解此類(lèi)題目的一條重要原則。近幾年來(lái)，隨著中考改革的進(jìn)行，許多應(yīng)用型的中考?jí)狠S題在不斷的涌現(xiàn)，壓軸題的類(lèi)型也在不斷的變化，本文力求從中考知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想的角度對(duì)近幾年來(lái)安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行分類(lèi)，找出其中的共性，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，為2010年及以后的中考探明方向。1、二次函數(shù)題仍是“熱點(diǎn)”二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)也是歷年來(lái)中考的熱點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接最緊密的地方。但是近年來(lái)由于對(duì)二次函數(shù)題類(lèi)型與深度的挖掘，二次函數(shù)題的“新”與“深”受到了限制，不過(guò)安徽省中考題還有非常美好的一面。例1、（2004年）某企業(yè)投資100萬(wàn)元引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，若不計(jì)維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬(wàn)元．該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y(萬(wàn)元)，且y=ax2+bx，若第1年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為2萬(wàn)元，第2年的為4萬(wàn)元．(1)求y的解析式；(2)投產(chǎn)后，這個(gè)企業(yè)在第幾年就能收回投資?解：(1)由題意，x=1時(shí)，y=2；x=2時(shí)，y=6．分別代入y=ax2+bx，解得：a=1、b=1．y=x2+x(2)，設(shè)g=33x-100-x2-x，則g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156由于當(dāng)1≤x≤l6時(shí)，g隨x的增大而增大．且當(dāng)x=1，2，3時(shí)，g的值均小于O，當(dāng)x=4時(shí)，g=-122+156>0，可知投產(chǎn)后該企業(yè)在第4年就能收回投資。此題作為壓軸題，關(guān)鍵考查學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的審題能力，當(dāng)年,這個(gè)題的錯(cuò)誤率相當(dāng)高，因?yàn)榇蠹覍?duì)“費(fèi)用累計(jì)”這個(gè)概念不清楚，把x=2時(shí)，y=4代入，從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例2、（2007年）按右下圖所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求：（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大。（1）、若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p＝時(shí)，這種變換滿足上述兩個(gè)要求；（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x－h(huán))2＋k(a>0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式。解：（1）略，（2）本題是開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值m，n能落在60～100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。如取h=20,y=,∵a＞0，∴當(dāng)20≤x≤100時(shí)，y隨著x的增大令x=20,y=60，得k=60①令x=100,y=100，得a×802＋k=100②由①②解得，∴。04年和07年二次函數(shù)的考題中可看出，從復(fù)雜的應(yīng)用到自變量的取值范圍的逆向考查，方向發(fā)生了很大的變化。應(yīng)用題的類(lèi)型在全國(guó)各省市中考題中已經(jīng)貫穿到位，那么，如何讓二次函數(shù)題有深度有新意，07年的壓軸題是二次函數(shù)命題的巔峰之作。它提示我們復(fù)習(xí)二次函數(shù)知識(shí)時(shí)要與高中知識(shí)聯(lián)系在一塊，努力挖掘新的東西。2、分段函數(shù)題“異軍突起”分段函數(shù)是初中數(shù)學(xué)里一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是函數(shù)部分與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系最緊密的地方，它的命題范圍有一次函數(shù)的基礎(chǔ)也有二次函數(shù)的內(nèi)容，因此，無(wú)論從命題還是從考試的角度它能考查的知識(shí)點(diǎn)還是有深度的。當(dāng)然，它成為這兩年中考的熱點(diǎn)。例3、（2008年）剛回營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)分隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息a（0≤a≤3）小時(shí)再往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營(yíng)地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊(duì)用1小時(shí)打通道路，已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度為（4＋a）千米/時(shí)。⑴若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問(wèn)二分隊(duì)幾小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？⑵若二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾小時(shí)？⑶下列圖象中，①②分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為所有可能合理的代號(hào)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義?？梢哉f(shuō)06年的壓軸題也是當(dāng)年各地中考題的經(jīng)典之作，此后各地中考新定義試題不斷的涌現(xiàn)。4、“概率題”首次出現(xiàn)在壓軸題中例7、（2005年試驗(yàn)區(qū)）兩人襖去某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時(shí)段開(kāi)往該風(fēng)景區(qū)有三輛汽車(chē)(票價(jià)相同),但是他們不知道這些車(chē)的舒適程度,也不知道汽車(chē)開(kāi)過(guò)來(lái)的順序.兩人采用了不同的乘車(chē)方案:甲無(wú)論如何總是上開(kāi)來(lái)的第一輛車(chē).而乙則是先觀察后上車(chē),當(dāng)?shù)谝惠v車(chē)開(kāi)來(lái)時(shí),他不上車(chē),而是子癇觀察車(chē)的舒適狀況,如果第二輛車(chē)的舒適程度比第一輛好,他就上第二輛車(chē);如果第二輛車(chē)不比第一輛好,他就上第三輛車(chē).如果把這三輛車(chē)的舒適程度分為上、中、下三等,請(qǐng)嘗試著解決下面的問(wèn)題:(1)三輛車(chē)按出現(xiàn)的先后順序工有哪幾種不同的可能?(2)你認(rèn)為甲、乙采用的方案,哪一種方案使自己乘上等車(chē)的可能性大?為什么?解：(1)三輛車(chē)開(kāi)來(lái)的先后順序有6種可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中).(2)由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現(xiàn)的可能性相同.我們來(lái)研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會(huì)上哪一輛汽車(chē)：于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車(chē)的概率都是；而乙乘上等車(chē)的概率是，乘中等車(chē)的概率是，乘下等車(chē)的概率是.∴乙采取的方案乘坐上等車(chē)的可能性大.把概率問(wèn)題作為壓軸題可以說(shuō)是安徽省中考題的特色，當(dāng)年正因?yàn)槭窃囼?yàn)區(qū)第一次大考，所以題目的難度不是很大。5、有關(guān)“圓”的問(wèn)題“沉寂多年”“圓”作為初中階段內(nèi)容比例較大的部分，因?yàn)殡y度較大，曾經(jīng)作為考試的重點(diǎn)，但是為了考慮到學(xué)生的負(fù)擔(dān)最近幾年沒(méi)有了，但是2002年的經(jīng)典壓軸題仍使我們記憶猶新。例8、（2002年）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖一，△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形，我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也是正多邊形．請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．（2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖二）是正七邊形（不必寫(xiě)已知、求證）．根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想（不必證明）．（圖一）（圖二）解：（1）由圖知∠AFC對(duì)．因?yàn)椋剑螪AF對(duì)的＝＋＝＋＝所以∠AFC＝∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖一六邊形各內(nèi)角相等．（2）因?yàn)椤螦對(duì)，∠B對(duì)，又因?yàn)椤螦＝∠B，所以＝，所以＝．同理＝＝＝＝＝＝．所以七邊形ABCDEFG是正七邊形．（3）猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（或當(dāng)邊數(shù)3，5，7，9，……時(shí)），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．此題以考查正多邊形的概念為基礎(chǔ)，在兩個(gè)基本問(wèn)題的基礎(chǔ)上，探索了“邊是奇數(shù)時(shí)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”，這一非常重要的結(jié)論，其實(shí)，難度不大，考查了生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，富有新意。6、從分類(lèi)中看以后的中考?jí)狠S題因?yàn)?9年的中考題比較難，所以10年的中考題從總體難度上肯定要小一些，但是壓軸題是不是一定在難度上小一些？我認(rèn)為不一定。一份中考試卷有它的梯度，可以從其它題中降低難度，壓軸題所考查的知識(shí)和難度是其它題不可替代的?？v觀這八年的中考?jí)狠S題，我們可以有一些想法：（1）、要關(guān)注與高中知識(shí)接軌的部分。無(wú)論是二次函數(shù)的應(yīng)用還是分段函數(shù)，從命題的方向上說(shuō)逐漸向高中知識(shí)轉(zhuǎn)化。其實(shí)，這有兩個(gè)方面的原因，其一、二次函數(shù)的應(yīng)用題已經(jīng)挖掘到位，從難度上還是會(huì)走老路子——數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，但是很多類(lèi)型都已經(jīng)考過(guò)了，命題沒(méi)有新意。其二、命題者基本上是高中數(shù)學(xué)的專(zhuān)家，他們熟悉高中知識(shí)，把很多高中知識(shí)聯(lián)系子一起是很自然的事，如對(duì)分段函數(shù)的考查就是如此。（2）、要關(guān)注初等數(shù)學(xué)研究的知識(shí)。構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想在壓軸題中仍有著很大的應(yīng)用空間，而要從整個(gè)初中數(shù)學(xué)中構(gòu)造出有一定深度的中考題，只有對(duì)初等數(shù)學(xué)有過(guò)研究的人才能駕馭得了。因此，作為一線的教育工作者只有苦心鉆研，多關(guān)注一些熱點(diǎn)的概念，或者通過(guò)構(gòu)造一些概念設(shè)置一些問(wèn)題來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維能力才能在解構(gòu)造類(lèi)的數(shù)學(xué)壓軸題中取勝。（3）、要關(guān)注有關(guān)“圓”的問(wèn)題。圓的大題雖沉寂多年，但是由于圓在整過(guò)初中數(shù)學(xué)中占有的課時(shí)是非常多的，九年級(jí)時(shí)間很緊張，學(xué)生花了那么多時(shí)間學(xué)習(xí)的知識(shí)如不在中考中得到體現(xiàn)，將是