2022-2023學(xué)年廣西欽州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題-解析版

欽州市2022年秋季學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

-高cis-一____皿數(shù),、學(xué)、乙

（考試時(shí)間：120分鐘；賦分：150分）

第I卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)備選

項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在本

試卷上作答無(wú)效.）

1.若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（“，一3）和點(diǎn)（0，-4）,則該直線(xiàn)的方程為

A.產(chǎn)走x-4B.產(chǎn)近x+4

'3-3

C.丫=瓜一6D.y=—^+2

3

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直線(xiàn)的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.

【詳解】解：（法一）因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)（百，一3）和點(diǎn)（0,~4）,

所以直線(xiàn)的方程為---/-）-=＞整理得y=Y3x-4;

y-（-4）x-QJ3

（法二）因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)（G,-3）和點(diǎn)（0,-4）,所以直線(xiàn)的斜率為左=*,

所以直線(xiàn)的方程為y+4=*x,整理得y=*%_4;

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

2.已知橢圓。：「+2=1（〃〉人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，入，若橢圓上一點(diǎn)P（x,y）

ab-

到焦點(diǎn)耳的最大距離為7,最小距離為3,則橢圓。的離心率為（）

【答案】B

【解析】

/、Y2V2

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸(x,y)在橢圓上得'+==1,且一再利用兩點(diǎn)距離求得

ab

|P用=(x+a,從而可確定歸國(guó)的最大值與最小值，即可求得。的值，即可得離心率

e='的值.

a

/、/2

【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為C,若橢圓上一點(diǎn)尸(")，則T+方=1,S.-a<x<a

222

又耳(-c,0),a-b+c

則|PF{|=J(x+c)2+J=J(x+c)2+(2一與二==—x+a

由于一aWxWa，所以|P6lmax=a+c=7,|P6'n=a—c=3

c2

于是可得a=5,c=2,所以橢圓C的離心率e=-=一.

a5

故選：B

3.己知a=(—2,1,2),8=(—若a上b，則實(shí)數(shù)f的值為。

A.0B.-4C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】-alb>

a?b=(-2)x(-l)+lxf+2xl=4+f=0,

?*.t—-~4.

故選：B.

4.我們知道，在日常學(xué)習(xí)與生活中養(yǎng)成根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的情景提出問(wèn)題的習(xí)慣對(duì)培養(yǎng)自己的

創(chuàng)新素養(yǎng)起著至關(guān)重要作用.關(guān)于實(shí)際情景“日常洗衣服都要經(jīng)歷兩個(gè)階段，第一階段是用去

污劑搓洗衣服，第二階段是漂洗衣服.一般來(lái)講要漂洗多次，漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈”,

提出的問(wèn)題最恰當(dāng)?shù)氖?)

A.在給定漂洗所用的清水量的前提下，選擇什么牌子的洗衣粉能使衣服更干凈？

B.在給定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合適？

C.在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗時(shí)放多少衣物才能使衣服干凈？

D.在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈？

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合各選項(xiàng)的條件分析、判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,好的洗衣粉，去污能力強(qiáng)，但必須經(jīng)過(guò)多次漂洗才能將洗衣粉及污物去掉，

所提出問(wèn)題與漂洗次數(shù)無(wú)關(guān)，A不是；

對(duì)于B,漂洗所用的清水量多，附著衣服的污物經(jīng)過(guò)一次漂洗，去掉的不多，所提出問(wèn)題與

漂洗次數(shù)無(wú)關(guān)，B不是；

對(duì)于C,漂洗時(shí)放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出問(wèn)題與漂洗次數(shù)無(wú)關(guān)，

C不是；

對(duì)于D,用適當(dāng)?shù)那逅?，多次漂洗，能使衣服干凈，提出的?wèn)題最恰當(dāng)，D是.

故選：D

22

5.雙曲線(xiàn)C：方-裔=1的左右焦點(diǎn)分別為不入，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上且忸耳|=20,則\PF2\

等于（）

A.14B.26C.14或26D.16或24

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程可得a,4c,由歸國(guó)―伊川=2a即可求解.

【詳解】由雙曲線(xiàn)的方程可得〃=3,b=4,c=5,故|尸用2c-a=2.

因?yàn)橐灵傄粴w修=2&=6,故忸瑪卜20卜6,解得歸國(guó)=14或26.

故選:C.

6.已知向量勺=（一2,0,—2）,%=（2,2,0）分別為平面a和平面尸的法向量，則平面a與

平面￡的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)坐標(biāo)可求出cos,〃2）=-；，根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量

之間的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：由已知可得〃J=2j2,〃2=2。2,4.2=_2x2+0x2+（—2）xO=T,

uuu

/irun、〃g_41

所以…”廂

設(shè)。為平面a與平面A的夾角，則qi搟90,

/irin、i

又cos6=cos(〃|,"2,——，

所以6=60-

故選：C.

2

7.已知圓O-./+丁=r(r>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/：3x-4y-15=0的距離為1,

則圓。半徑r的取值范圍為()

A.(2,4)B,[2,4]C.(2,3]D.[3,4)

【答案】A

【解析】

【分析】求出到直線(xiàn)/的距離為1的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)給定條件，數(shù)形結(jié)合列出不等式求解

作答.

【詳解】平面內(nèi)到直線(xiàn)/距離為1的點(diǎn)的軌跡是與直線(xiàn)/平行且距離為1的兩條直線(xiàn)4,4，

1加一15|

設(shè)//的方程為3x—4y—〃2=0(mH15),則不=解得加=10或加=20,

即直線(xiàn)4：3x-4y-10=0,直線(xiàn)，2：3x-4y—20=0,

如圖，圓O：f+y2=/“>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為1,則圓o與4相交，

與4相離，

X

1-101

圓o的圓心o(o,o)到直線(xiàn)/1的距離42,到直線(xiàn)4的距離

732+M)2

=4

-和+(-4)2

所以圓。半徑r的取值范圍為2<r<4,即re(2,4).

故選：A

8.設(shè)(王，馬,％；,天,毛)是1，2,3,4,5的一個(gè)排列,若(石一七+])(七+1—玉+2)<。對(duì)一切

ie{l,2,31恒成立，就稱(chēng)該排列是“交替”的，則“交替”的排列的數(shù)目是()

A.16B.25C.32D.41

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可知當(dāng)玉<々時(shí)，此時(shí)有々=5或％=5.由“交替”的排列的概念可得,

當(dāng)馬=5時(shí)，/=3或%=4,分別求解即可得到當(dāng)％=5時(shí)，5=3或5=4時(shí)，有8

種方法.同理可求得當(dāng)Z=5,々=3或々=4,此時(shí)也有8種方法.然后得出玉時(shí)，

々=1或5=1時(shí)“交替”的排列數(shù)目，相加即可得出結(jié)果.

【詳解】由已知可得(％-X2)(X2-A3)<0,(x,-%5)(^-X4)<0,(^-%4)(%4-%5)<0,

(i)當(dāng)玉一工2<0時(shí)，玉<々，可推出％2>尤3，工3<》4，X4>x5>

此時(shí)有々=5或￡=5.

①當(dāng)馬=5時(shí)，由己知可得/=3或％=4

當(dāng)/=5,%=3時(shí)，此時(shí)必有玉=4,排列可以是(4,5,1,3,2)或(4,5,2,3,1)兩種；

當(dāng)々=5時(shí)，％=4時(shí)，此時(shí)斗了3，天可選擇1,2,3中的任意排列，共A；=6中排列.

綜上所述，共有8種方法；

②同理可得當(dāng)％=5,可得々=3或赴=4,也有8種方法.

綜上所述，當(dāng)王<々時(shí)，“交替”的排列的數(shù)目是16；

(ii)當(dāng)X1一龍2〉0時(shí)，%>工2，可推出工2<工3，工3>%4，工4<%5，

此時(shí)有彳2=1或％=L

①當(dāng)々=1時(shí)，由已知可得％=2或%=3

當(dāng)々=1，%=3時(shí)，此時(shí)必有蒼=2,排列可以是(2,1,4,3,5)或(2,1,5,3,4)兩種；

當(dāng)々=1時(shí)，％=2時(shí)，此時(shí)石,工3，天可選擇3，4,5中的任意排列，共A；=6中排列.

綜上所述，共有8種方法;

②同理可得當(dāng)又=1,可得巧=2或々=3,此時(shí)也有8種方法.

綜上所述，當(dāng)王時(shí)，“交替”的排列的數(shù)目是16.

所以，“交替”的排列的數(shù)目是32.

故選：C.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在本試卷上作答無(wú)效.）

9.己知兩條不重合的直線(xiàn)4了=勺尤+4，l2:y=k2x+b2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若I、〃1,則占=心B.若K=女2，則4〃4

C.若3=1,則4JU2D.若4上0，則攵#2=-1

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)直線(xiàn)的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.

【詳解】對(duì)A,若4〃4,則勺=&，故A正確；

對(duì)B,若匕=后，又兩直線(xiàn)不重合，則4〃4，故B正確;

對(duì)C,若桃2=1，則4與，2不垂直，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,若則攵#2=-1,故D正確.

故選：ABD.

v-22

10.若橢圓c：玄+,v=1（8>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為F],F2,則下列b的取值能使以鞏

為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的是（）

A.b=>/2B.b—A/3C.b=2D.

b-

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定的條件，確定以大外為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求

出b的范圍作答.

22

【詳解】令橢圓。：會(huì)+3=1（匕>0）的半焦距為。，則以月工為直徑的圓的方程為

x2+9=c2

因圓V+y2=c2與橢圓C有公共點(diǎn)，則有/之〃，即8—/之/,解得0＜匕42,顯然

選項(xiàng)A,B,C滿(mǎn)足，D不滿(mǎn)足.

故選：ABC

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.兩條不重合直線(xiàn)4，4的方向向量分別是〃=（2,3,—1）,人=（一2,—3,1）,則“〃2

B.兩個(gè)不同的平面夕的法向量分別是“=（2,2,—1）,丫=（一3,4,2）,則a，6

C.直線(xiàn)/的方向向量”=（1,2,—1）,平面a的法向量m=（3,6,%）,若/La,則左=15

D.若A5=（2,—1,T），AC=（4,2,0）,AP=（0,T,—8）,則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,驗(yàn)證:，力是否平行即可；對(duì)于B,驗(yàn)證是否垂直即可；對(duì)于C,根據(jù)

線(xiàn)面關(guān)系得a〃b，求解上得值即可判斷；對(duì)于D,驗(yàn)證是否四點(diǎn)共面即可.

【詳解】解：對(duì)于A,因?yàn)閍=（2,3,—1）,b=（—2,—3,1）,所以。=一人，又兩條不重合直

線(xiàn)4，《，所以故A正確；

對(duì)于B,平面a,4的法向量分別是“=（2,2,-1）,口=（一3,4,2）,且〃7=-6+8-2=0,

所以“_Lu，則a_L/?，故B正確；

對(duì)于C,直線(xiàn)/的方向向量a=（l,2,T）,平面a的法向量機(jī)=（3,6次），若/_Lc,則“〃/,，

則上=一3,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳B=（2,AC=（4,2,0）,AP=（0,T,—8）,存在實(shí)數(shù)國(guó)〃使得

2=42

AB=^AC+^iAP,貝”-1=24—4〃，解得;1=1,〃=',則A5=LAC+」AP,所以

,C2222

—4=—8〃

AaCP四點(diǎn)共面，即點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)，故D正確.

故選：ABD.

12.天山社區(qū)將紅樹(shù)林中學(xué)的甲、乙、丙、丁4名紅志愿者分別安排到A,B,C三個(gè)村民小

組進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)村民小組至少安排一名志愿者，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.共有18種安排方法

B.若甲、乙兩名志愿者被安排在同一村民小組，則有6種安排方法

C.若兩名志愿者被安排在A村民小組，則有24種安排方法

D.若甲志愿者被安排在A村民小組，則有12種安排方法

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，對(duì)于B：甲、乙被安排到同

一村民小組，先從3個(gè)村民小組中選一個(gè)安排甲和乙，對(duì)于C：A村民小組需要兩名志愿者，

所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A村民小組，對(duì)于D；甲志愿者被安排在A村民小組，

分兩種情況討論，即可判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，

所以安排方法為：C：A；=36,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：甲、乙被安排到同一村民小組，先從3個(gè)村民小組中選一個(gè)安排甲和乙，

剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，所以安排方法為：C；A；=6,B正確；

對(duì)于C：A村民小組需要兩名志愿者，

所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A村民小組，

再把剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，

所以安排方法為：C：A；=12,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D；甲志愿者被安排在4村民小組，分兩種情況討論，

當(dāng)A村民小組安排兩名志愿者時(shí)，先從剩余3名志愿者選出一個(gè)，分到A村民小組，

再把剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，

所以安排方法為：C；A；=6,

當(dāng)4村民小組只安排甲志愿者時(shí)，剩余3名志愿者安排到兩個(gè)村民小組中去，

所以安排方法為：C；A；=6,

所以一共有安排方法為：6+6=12,D正確；

故選：BD.

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知點(diǎn)?(〃2,〃)為拋物線(xiàn)C:：/=4x上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)尸的距離為3,

則m=.

【答案】2

【解析】

【分析】由拋物線(xiàn)的方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，然后利用拋物線(xiàn)的定義結(jié)合已知條件列

方程求解即可.

【詳解】拋物線(xiàn)C:f=4x的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)為

因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)C:V=4x上日j點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的距離為3,

所以，〃+1=3,得zn=2,

故答案為：2

14.當(dāng)直線(xiàn)/：x—陽(yáng)+機(jī)—2=0截圓C：f+y2—2x—3=0所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)”

的值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】由已知可得直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)A(2,l),當(dāng)C4JJ時(shí)，弦長(zhǎng)最短.根據(jù)斜率關(guān)系即可求出

實(shí)數(shù)加的值.

【詳解】由已知可將直線(xiàn)/的方程化為％-2一加(丁-1)=0,

X一2二0x—2

解4,，、可得《，，所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)A(2,l).

ly-i=o[y=i

又由圓的方程可得圓心。(1,0),半徑「=-4x(—3)=2,

2

則|AC|=J(l-2)+(0—I)：=0<r，所以點(diǎn)A在圓內(nèi).

當(dāng)ACL時(shí)，圓心C(l,0)到直線(xiàn)/的最大距離，直線(xiàn)/被圓截得的弦長(zhǎng)最短.

0-11

因?yàn)椋C===1，所以直線(xiàn)/的斜率為T(mén)，即一Xl=—1,所以機(jī)=-L

1-2m

故答案為：-1.

15.已知(%—3)(元+21=為+%%+%元2+〃3。+。4/+。5/,則實(shí)數(shù)出的值為.

【答案】-40

【解析】

【分析】先求出(X+2)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)加產(chǎn)2&C：丁.，再分別求出％—3選取x以及一3

時(shí)，產(chǎn)的系數(shù)，相加即可得出結(jié)果.

【詳解】(X+2)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)K+1=C[xi*24=2*C〉x4Y,k=o,i,2,3,4.

當(dāng)x—3選取x時(shí)，應(yīng)取(x+2)"展開(kāi)式中含工的項(xiàng)，令4一%=1,則攵=3,

7；=23c：x=32x,此時(shí)爐的系數(shù)為32；

當(dāng)》一3選取—3時(shí)，應(yīng)取(x+2)4展開(kāi)式中含爐的項(xiàng)，令4一%=2,則％=2,

7；=2?C1V=24/,此時(shí)無(wú)2的系數(shù)為一3x24=-72.

所以4=32—72=—40.

故答案為：-40.

16.“結(jié)題”是研究小組向老師和同學(xué)們報(bào)告數(shù)學(xué)建模研究成果并進(jìn)行答辯的過(guò)程，結(jié)題會(huì)是

展示研究小組“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表

達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的重要場(chǎng)合.一般來(lái)說(shuō)，結(jié)題會(huì)是結(jié)題的基本形式，小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)呈現(xiàn)研究的核心

內(nèi)容.假設(shè)你是研究小組的組長(zhǎng)，研究的實(shí)際問(wèn)題是“車(chē)輛的運(yùn)行速度和剎車(chē)距離之間關(guān)系”,

那么，為了準(zhǔn)備結(jié)題會(huì)材料，你整理研究成果的核心內(nèi)容是：.

【答案】論文

【解析】

【分析】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式即可寫(xiě)出答案.

【詳解】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式而言，論文是整理研究成果的核心內(nèi)容，

故答案為：論文.

四、解答題：本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

17.已知點(diǎn)P(2,4)和直線(xiàn)/：2x+y+l=0.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與/平行的直線(xiàn)方程；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程.

【答案】(1)2x+y-8=0；

(2)y=2x或x+y-6=0.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知可設(shè)直線(xiàn)方程為2x+y+加=(),代入點(diǎn)p坐標(biāo)求出m的值即可得出

直線(xiàn)的方程；

(2)當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上截距都為0時(shí)，求出直線(xiàn)的斜率，得出直線(xiàn)的方程；當(dāng)截距不為

0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為x+y+〃=O,代入點(diǎn)。坐標(biāo)求出"的值即可得出直線(xiàn)的方程.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)與直線(xiàn)/平行的直線(xiàn)方程為2尤+y+〃z=0.

因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4),所以2x2+4+m=0,解得機(jī)=一8.

所以直線(xiàn)方程為2x+y-8=0.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4)且在兩坐標(biāo)軸上截距都為0時(shí)，

4-0

斜率4=三4=2,此時(shí)所求直線(xiàn)為y=2x；

當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4)且在兩坐標(biāo)軸上截距都不為0時(shí),

由己知可設(shè)直線(xiàn)方程為x+y+〃=O,

因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,4）,所以2+4+〃=0,解得〃=-6.

所以直線(xiàn)方程為x+y-6=0.

綜上所述，直線(xiàn)的方程為y=2x或x+y-6=0.

18.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)片和右焦點(diǎn)鳥(niǎo)都在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心

2

率為§?

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)"為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限.若△叫鳥(niǎo)為等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】（1）-4-^=1

3620

（2）（3,715）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意布列基本量的方程組，即可得到結(jié)果；

（2）討論兩腰的位置，結(jié)合橢圓定義即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

2a=\2

根據(jù)題意：k_2，解得。=6,c=4.

3

.?"2=42=20,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三=1.

3620

【小問(wèn)2詳解】

?.?用在第一象限，.」上陰|>|知鳥(niǎo)］,

當(dāng)阿圖=|耳段=2c=8時(shí)，限用=2。一|吟|=4與\MFt\>\MF2\矛盾.

所以|峭|=|耳閭=2c=8,即網(wǎng)=4,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（』,％）&>°，%>°），則S.g=g?No=4%，

又S呻々=；X4X,82_22=4而,...4%=4而，解得％=而，

，荽+9等=1，解得尤o=3（%=-3舍去），，例的坐標(biāo)為（3,拒）.

19.如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面ABC。是矩形，平面ABC。，PD=DA=2,

。。=1,M是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在PM上，且PQ=2QM.

（1）證明：OQ，平面加W；

（2）求平面Q40與平面P￡>C的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵旦.

3

【解析】

【分析】（1）利用坐標(biāo)法或幾何法利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明；（2）利用空間向量計(jì)算面面

角.

【小問(wèn)1詳解】

證明：由題尸。，平面48。。，底面ABCD為矩形，以。為原點(diǎn)，直線(xiàn)D4,DC,DP

所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z如圖：

則A（2,0,0）,0（0,0,0）,C（0,l,0）,M（1,1,0）,尸（0,0,2）,Q

（22

=II.AM=（-1,1,0）,AP=（-2,0,2）,

,?OQAM=0；.DQ±AM,

'：DQAP=0,：.DQLAP,

'：AM42=4,且411,4/>口平面24〃，，。。，平面24〃.

（法二）證明：由題尸平面A8CO,底面ABC。為矩形，以。為原點(diǎn)，直線(xiàn)D4,DC,

0P所在直線(xiàn)分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系0-孫Z如圖:

則A(2,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),Q

設(shè)〃=(x,y,z)是平面PAM的一個(gè)法向量.

AM=(-1,1,0),AP=(-2,0,2).

((x=1

n.AM=-x+y=0

<'取x=l,有〈y=i

n.AP=—2x+2z=0,

i[z=1

”=(1,1,1),￡>2=1-,-,yI,

2

則DQ=§〃，DQ//n.

/.力QJ?平面

(法三)證明：連接DM

*/P￡>_L平面ABCD,AMu平面ABCD,：.PDJ.AM.

在,AMD中，AM=17M=6,AD=2.

,-,AM2+DM2=ADZ'，-'.AM±DM，且PDcDM=D，

：.AMI平面PDM,

又,:力Qu平面PDM,,：.AM±DQ.

~=—,又：QMf6

VcosZPDM=--

PM任3co-DMQ=口乂=0=3

Z./\PDMs/\DQM,DQ±PM.

且AMPM=M,且4",尸河口平面加/,；.力。，平面44〃.

【小問(wèn)2詳解】

（222]

（接向量法）由（1）可知平面的法向量為。Q=（也可為〃=（1』』））.

平面PC。的一個(gè)法向量為〃?=（1,0,0）.

2

Ci.二耦二盍4

3

八B

?；NeAM,Ne平面/^4M,；NeCD,；.Nw平面PCD.

???平面c平面PCD=PN.

過(guò)D做DTLPN于T，連接AT.

,/尸。，平面ABCD,：.PD±AD.

又ADLCD,CDPD=D,

???AD,平面PC。，又PNu平面PC。，AO_LPN.

又,：DTLPN,DTcAD=D，。7,/10<=平面4。7\

，PNA平面ADT，；.PN_LAT,

/.NATO為二面角A-PN-O的平面角.

在品△A7D中，AT=瓜，

??.cos/A*坦=*=巨

AT屈3

/.平面PAM與平面PDC的夾角的余弦值為近

3

20.用0,1,2,3,L,9這十個(gè)數(shù)字.

（1）可組成多少個(gè)三位數(shù)？

（2）可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

(3)可組成多少個(gè)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？

【答案】(1)900；

(2)648；(3)379.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理相乘即可得出

結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理相乘即可得出結(jié)果；

(3)根據(jù)題意，分成三種情況，分別計(jì)算得出各種情況的種數(shù)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理相

加即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

要確定一個(gè)三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：

第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0,有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有10種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9x10x10=900種.

【小問(wèn)2詳解】

要確定一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：

第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法：

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9x9x8=648個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

【小問(wèn)3詳解】

由已知，小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類(lèi)，

第一類(lèi)，滿(mǎn)足條件的一位自然數(shù)：有10個(gè)，

第二類(lèi)，滿(mǎn)足條件的兩位自然數(shù)：有9x9=81個(gè)，

第三類(lèi)，滿(mǎn)足條件的三位自然數(shù)：

第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1,2,3,4,有4種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法：

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有4x9*8=288個(gè).

由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有10+81+288=379,共有379個(gè)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然

數(shù).

21.平行六面體43?！?gt;-44。］。中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為

60°.

G

5

(1)求線(xiàn)段AG的長(zhǎng)；

⑵若AB=AD=b，A4=c,用空間向量的一組基底的+仇。一反cj表示向量AB.

【答案】(1)V6；

uuur、r.r

(2)AB=5(a+匕)+,(a—bj-c.

【解析】

【分析】(1)易得AG=AB+4)+4A,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件可求出

蕭=6,即可得出結(jié)果;

UUU11