2022-2023學年上海市黃浦區(qū)高二年級上冊學期12月月考數(shù)學試題含答案

2022-2023學年上海市黃浦區(qū)高二上學期12月月考數(shù)學試題

一、填空題

I.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，“3=18,%=3,則%=

【答案】一1手29##-64.5

【分析】根據(jù)題意計算出等差數(shù)列的首項和公差即可求解.

51

4=5

"4+=2d=318解得

【詳解】設公差為"，則由題意得

L

4

所以。25=4+24d=3+24x15129

故答案為：一1手29.

2.平行六面體的每個面都是.

【答案】平行四邊形

【分析】根據(jù)平行六面體的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)平行六面體的定義可知：平行六面體的每個面都是平行四邊形.

故答案為：平行四邊形

3.擲兩顆骰子，則所得的點數(shù)之和為6的概率為.

【答案】旦

【分析】擲兩顆骰子得到有序數(shù)對(*y),事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：(1,5),

(2,4),(3,3),(4,2),(L5)共有5個基本事件，而所有的基本事件有36個，由此結(jié)合隨機事件的概

率公式即可算出本題的概率.

【詳解】記兩顆骰子的點數(shù)分別為x,y,得擲兩顆骰子得到有序數(shù)對(乂＞)

則x、y的值可能是1,2,???,6共六種情況，共6x6=36個基本事件.

事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(1,5)

共有5個基本事件因此，點數(shù)之和為6的概率為P=2

36

故答案為：2

36

4.在等比數(shù)列｛?"｝中，若其前〃項和5“=3"+。，則旬”=.

【答案】2x323°

【分析】利用等比數(shù)列明與S“的關系求解.

【詳解】由題可得4=E=3+4,

當〃N2時，a?=S?-J=3"+a-(3"T+“)=2.3"T,

因為｛%｝為等比數(shù)列，所以4=3+a滿足q=23T,

所以3+。=2解得4=-1,

所以4=2-3"T,〃eN",

所以見<>“=2x3刈°,

故答案為：2x32叫

5.若圓錐的側(cè)面積為。平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的半徑為.

【答案】也近

24

【分析】根據(jù)側(cè)面積得到R=欄，故2夕="火，解得答案.

【詳解】設側(cè)面展開圖的半徑為R,則S=g乃-R2=a,即尺=欄.

圓錐的底面的半徑/滿足2夕=乃/?,故r=叵2

24

故答案為：滅也.

24

【點睛】本題考查了圓錐展開圖的相關計算，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

6.若長方體的對角線的長為9cm,其長、寬、高的和是15cm,則長方體的全面積是.

【答案】144cm2

【分析】設長方體的長、寬、高分別為％y，z,利用(x+y+zp可構(gòu)造方程求得2號+2xz+2?,即為

所求的全面積.

x+y+z=15

【詳解】設長方體的長、寬、高分別為貝"

x，y，z,「---r，

,廠+V+z'=9

/.(x+y+z)'=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,

2盯+2xz+2yz=144,即長方體的全面積為144cm?.

故答案為：144cm2.

7.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球、白球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.65,

摸出黃球或白球的概率為0.6,那么摸出白球的概率為.

【答案】0.25

【詳解】設摸出白球、紅球、黃球的事件分別為AB,C,根據(jù)互斥事件概率加法公式

P（A+5）=P（A）+P（3）=0.65,P（A+C）=P（A）+P（C）=0.6,

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1,解得P（A）=0.25.

8.如圖，在直四棱柱ABCQ-A4G。中，ZADC=90°,S.AAt=AD=DC=2,Me平面ABC￡>,

當RM_L平面A,C,D時，DM=

【答案】20

【分析】建系，根據(jù)題意利用空間向量的坐標運算可求點M的坐標，即可得結(jié)果.

【詳解】如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，則。（0,0,0）,4（2,0,2）<（0,2,2）4（0,0,2）,

UUUUUUUUUU1

由題意可設M（a,b,0）,則/2）,￡>A=（2,0,2）,DC,=（0,2,2）,

D.MDA.=2a-4=0\a=2/、

若"ML平面AG。，則，解得，,即M(2,2,0,

D.M-DAf=2b-4=0[b=2

故DM=>/22+22+02=2A/2.

故答案為：2&.

9.球面上三點A、B、C,48=18,8C=24,AC=30,球心到平面ABC的距離為球半徑的一半,

則球半徑為

【答案】106

【分析】由題意可知：AB1BC,A8C為直角三角形，外接圓圓心為斜邊AC的中點，結(jié)合條件,

利用勾股定理即可求解.

【詳解】因為AB=18,8C=24,AC-30,所以48?+8C?=AC）,

所以，ABC為直角三角形，則AC為球小圓的直徑，設球半徑為R,

如圖：

由題意可知：（gy+152=R2,解得：R=10百，

故答案為：106.

10.下列四個正方體圖形中，A、8為正方體的兩個頂點，例、N、P分別為其所在棱的中點，能得

出M〃平面MNP的圖形的序號是（寫出所有符合要求的圖形序號）.

【答案】①?

【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)即可得解.

【詳解】對于①：易知平面MNP平行于正方體右側(cè)平面，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出A8平行于平面MNP.

對于②：若A3平行于平面MNP,

因為ABu平面A8O,且平面A3。與平面MNP交線為NQ,

則根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，A8平行于NQ,

所以僚，這與；=；矛盾，故該選項錯誤；

對于③:

由中位線定理可得MP平行于CD,

而CD平行于A8,所以A8平行于平面MNP,MPu平面MNP,

所以45〃平面MNP

對于④：如圖，連接GE,EN,因為為所在棱的中點，則M7V//EF,

故平面MNP即為平面MNEF,由正方體可得AB//EG,

而平面A8GE1平面MNEF=EM,若A8〃平面MVP,

由ABu平面ABGE可得A8//EM,故EGHEM,矛盾，故該選項錯誤

故答案為：①③.

二、雙空題

11.棱長為"的正四面體的全面積為，體積為.

【答案】出相.

【分析】設ABCD是棱長為。的正四面體，即可直接求得其全面積，作A。J?平面BCD于0,則。為

△3CO的中心，求出8。的長，由此可求出正四面體的高A0的長，進而可求得正四面體的體積.

【詳解】如圖設ABCD是棱長為“的正四面體，則正四面體的全面積為4x正/=&2,

A

作AO_L平面BCD于。，則。為△88的中心，則80=2、立”=立〃

323

百丫卡

所以正四面體的高為A0=——a=—a，

3

所以正四面體的體積為*/4”拿.

故答案為：叢屋;存.

12.已知球的兩個平行截面的面積分別為49兀、400兀，且兩個截面之間的距離是9,則球的表面積

為,體積為.

_62500

【答案】2500n—~—"

【分析】先畫出過球心且垂直于已知截面的球的大圓截面，再根據(jù)球的性質(zhì)和已知條件列方程求出

球的半徑.由于球的對稱性，應考慮兩截面與球心的位置關系分別在球心的同側(cè)和異側(cè)的情形，加

以分類討論.

【詳解】下圖為球的一個大圓截面.

Tt-OtA'=49it,兀-O*?=4(Xht,則(7,4=7,0,6=20

(1)當兩截面在球心同側(cè)時，

2222

OOt-OO2=9=V/?-7-V/?-20,

解得R?=625,$球=4兀川=25OO7t,匕*=g僦=）普二兀,.

（2）當兩截面在球心異側(cè)時，

2222

OO,+OO2=9=SJR-7+YIR-20,無解.

故答案為：2500兀,哼^,

三、單選題

13.已知/是直線，口、僅是兩個不同平面，下列命題中的真命題是()

A.若/〃a,l\\p,則a〃夕B.若a_L￡,I//a,則

C.若ILa,IB,則D.若/〃a,a〃尸，則/0

【答案】C

【分析】根據(jù)線面、面面之間的平行、垂直的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】對于選項A：若/〃a,/P,存在a,/7相交的情況，故該選項錯誤；

對于選項B：若a_L/?,l//a,存在/在/內(nèi)或/〃4或/,〃相交的情況，故該選項錯誤；

對于選項C：若/_La,//，a、夕是兩個不同平面，則故該選項正確；

對于選項D：若/〃a,a//13,存在/在/內(nèi)，故該選項錯誤.

故選：C.

14.在國慶閱兵中，某兵種A,B,C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機排定的，則B先

于A,C通過的概率為

A.-B.-C.JD.1

6323

【答案】B

【解析】將所有的情況枚舉出來再分析即可.

【詳解】用(A,B,C)表示A,8,C通過主席臺的次序，則所有可能的次序為

(A,B,C),(AC,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6種，其中B先于A.C通過的有(8,C,A)和

2I

(B,A,C)洪2種，故所求概率P=$=：.

63

故選：B

【點睛】本題主要考查了古典概型的一般方法，根據(jù)枚舉求解即可.屬于基礎題型.

15.把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，每人一張，則事件“甲分得紅牌”與事件"乙分得紅

牌”是()

A.對立事件B.互斥但不對立事件C.不可能事件D.必然事件

【答案】B

【分析】利用互斥事件和對立事件的定義求解.

【詳解】解：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，每人一張，

則事件“甲分得紅牌，，與事件“乙分得紅牌，，不會同時發(fā)生，則兩者是互斥事件,

但除了甲分得紅牌，乙分得紅牌，還有丙分得紅牌，則兩者不是對立事件，

所以事件，，甲分得紅牌，，與事件，，乙分得紅牌，，是互斥但不對立事件，

故選：B

16.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為機和〃，記向量4=（〃7,〃）與向量的夾角為e,則

的概率是（）

A.—B"C.—D.-

122126

【答案】C

【分析】由，得出“力=巾_〃20,計算出基本事件的總數(shù)以及事件機2〃所包含的基本事

件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.

【詳解】。4°卷-.-.ab=m-n>0,即加之〃，

事件“de（0,5”所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、

（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）,

共21個，

所有的基本事件數(shù)為6?=36,因此，事件”的概率為筌=1.

I2」3612

故選：C.

【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數(shù)

和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.

四、解答題

17.如圖所示，在長方體ABCO-A/BQS中，AB=AD=\,AA,=2,"是棱CC/的中點.證明:

平面A8W_L平面AiBiM.

【答案】證明見解析

【分析】通過長方體的幾何性質(zhì)證得通過計算證明證得由此證得2平

面AgM,從而證得平面相M,平面481M.

【詳解】由長方體的性質(zhì)可知A/8/_L平面8CC/B/,

又BMu平面BCCiBi,：.AIBI±HM.

又CG=2,M為CG的中點，

：.CiM=CM=\.在RSB/GM中，BiM=西河+CM?=叵，

同理BM=JBC2+CM2=&，又BIB=2,

：.BIM2+BM2=BIB2,從而

又ABnB[M=Bi，...BM，平面A/8/M,

：BMu平面平面平面A/B/例.

【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

18.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，ACJ.BC,AB1BB1,AC=BC=BBt=2,。為AB的中點,

且CQ1ZM,.

aG

⑴求證：BG〃平面冊￡）；

（2）求三棱錐片-AQC的體積.

【答案】（1）見解析:

嗚

【分析】（1）利用中位線的方法，結(jié)合線面平行的判定定理來證得BG〃平面CAQ.

（2）利用錐體體積公式，及等體積法計算出三棱錐用-AQC的體積.

【詳解】（1）設4Gc4C=0,所以0是AG的中點，連接。。，如圖,

B

由于。是A8的中點，所以OD//BC-

由于BG<2平面CAQ,u平面CA.D,

所以8G〃平面CA。.

(2)由于AC=BC,所以CD_LAB,

由于SLOA.DACAB：。，￡>A，A8U平面ABB/,所以CO,平面

由于AC13C,所以48=122+2?=2五,CD=>AB=應,

2

因為AB_LB8-所以SAA4"=gAB「Bg=&x2=20,

===X

所以%-ADC^C-4IBID-'/2x2>/2=—.

19.已知ABC。是空間四邊形，如圖所示(M,N,E,F分別是AB、AD,BC、C￡>上的點).

C

(1)若直線MN與直線E尸相交于點。，證明B,D,。三點共線；

(2)若E,N為BC,AO的中點，AB=6,0c=4,NE=2,求異面直線A8與DC所成的角.

【答案】(1)證明見解析

3

(2)arccos—

【分析】(1)根據(jù)點與線和點與面的位置關系推出。是平面桃和C8。的公共點，結(jié)合平面Wc

平面C8O=8O,即可證明；

(2)連接30,作3。的中點G,并連接GN,GE,利用中位線的性質(zhì)可以得到異面直線A8與QC

所成的角等于直線GE與GN所成角，再根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】(1)因為NwAD,ABu平面4h，ADu平面4冊，

所以MNu平面ABD,

因為EGCB,FeCD,C3u平面CB。，C￡>u平面ABD,

所以Efu平面C3￡),

由于直線MN與直線EF相交于點。，

即OGMN,Oe平面板>,O&EF,Oe平面C8O,

又有平面ABDc平面CBD=B￡>,則OeBO,

所以B,D,。三點共線.

(2)連接8。，作8。的中點G,并連接GN,GE,如圖所示：

A

在△ABD中，點N,G分別是AO和8。的中點，且A8=6,

所以GN〃他，且GN=1AB=3,

2

在△CBZ)中，點E,G分別是3C和8￡)的中點，且CZ)=4,

所以GE〃C￡>,且GE=；C￡>=2,

則異面直線AB與DC所成的角等于直線GE與GN所成角，即NEGN或4EGN的補角，

▽d0A.p*ifii/nr'MGE~+GN~—EN~2-+3--2~3_

又EN=2,由余弦定理得：cosZEGN=----------------=----------=—>0,

2GExGN2x2x34

3

故異面直線A3與。C所成的角為arccos=.

20.小王、小李兩位同學玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則:小王先擲一枚骰子，向上的點數(shù)記為%;

小李后擲一枚骰子，向上的點數(shù)記為招

(1)在直角坐標系xOy中以(x,y)為坐標的點共有幾個?試求點(x,y)落在直線x+y=l上的概率；

(2)規(guī)定:若》+把10,則小王贏；若x+閆，則小李贏，其他情況不分輸贏.試問這個游戲規(guī)則公平嗎?請說

明理由.

【答案】(1)36個，概率為，；(2)公平.

O

【分析】(1)根據(jù)題意判斷為古典概型，所有的基本事件總數(shù)為36個，其中點(x,y)落在直線x+y=7

上包含6種情況，故概率為尸=二=!；

(2)由題意，判斷x+定10和》+乃4的概率是否相等即可，根據(jù)古典概型概率公式求解即可.

【詳解】⑴因x，y都可取1,2,3,4,5,6,故以(X,y)為坐標的點共有6x6=36個.

記”點(x,y)落在直線x+y=7上”為事件A,

則事件A包含的點有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6個，

由古典概型概率公式可得事件A的概率為P(A)=2=3

366

⑵記“x+yRO”為事件B,“x+)W4”為事件C,用數(shù)對(x,y)表示的取值.

則事件B包含的基本事件為(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6個數(shù)對;

事件C包含的基本事件為(