2022-2023學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊二項(xiàng)分布講義

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

7.4.1二項(xiàng)分布

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.能運(yùn)用二項(xiàng)分布解決一些實(shí)際

1理.解二項(xiàng)分布的推導(dǎo)過程.問題.

2掌.握二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用.

2借.助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分

布解題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

課前篇咱主學(xué)習(xí)固基礎(chǔ)

［筆記教材］

知識點(diǎn)1n重伯努利試驗(yàn)(〃次獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn))

(1)H重伯努利試驗(yàn)(〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))

我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).

(2)我們將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試

驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)(或n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)).

(3)〃重伯努利試驗(yàn)的特征

①同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；

②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互_______.

答案：(3)②獨(dú)立

知識點(diǎn)2二項(xiàng)分布

(1)一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

概率為p(O<p<l)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=,k=0,1,2,…，n,如果隨機(jī)

變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，

記作X~8(〃，p).

(2)二項(xiàng)分布的均值和方差

①若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為小p的二項(xiàng)分布，即X~3(〃，p),

則E(X)=；

②若隨機(jī)變量X?B(〃，p),則Q(X)=

答案：(DC馴(1-pyf

(2)①叩②秋(1-p)

［重點(diǎn)理解］

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例.一般地，有“恰好發(fā)

生K次”“恰有K次發(fā)生”字眼的問題，求概率時，用〃次獨(dú)立重

復(fù)試驗(yàn)概率公式計算更簡便.

2.使用公式時，一定要明確該公式中各量表示的意義：n為獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)；p是在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率；1—p是在

1次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生的概率；k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù).

3.二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二

項(xiàng)分布，即的二項(xiàng)分布.

［自我排查］

1.(2021.廣西欽州高二期末)已知隨機(jī)變量。服從二項(xiàng)分布，/?

則尸(421)的值為(

答案：B解析：1)=P^=1)+P(^=2)+=3)=1-p(e

=0)=1—c§x^3=1.

故選B.

2.打靶時，某人每打10發(fā)可中靶8次，則他打100發(fā)子彈有4

發(fā)中靶的概率為()

A.Cfo()O.84XO.296B.0.84

C.0.84X0.296D.0.24X0.296

答案：A解析：由題意可知中靶的概率為0.8,故打100發(fā)子

彈有4發(fā)中靶的概率為GooO.84XO.296.故選A.

3.(2021?江蘇宿遷月考)隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，恰

好出現(xiàn)3次正面向上的概率為()

A4B微

-35

C5D8

答案：B解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，出現(xiàn)正面向上

的概率為:，

拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，恰好出現(xiàn)3次正面向上的概率為

啕38H.

故選B.

4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，X?3(6,A則尸(X=2)等于

答案：斜解析：P(X=2)=Cj；)(i—g)4=黯.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)要突破

研習(xí)1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

23

［典例1］甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是尋咤

假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響.

(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；

(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1

次的概率.

解：⑴記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件4.由題

意知，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

故P(Ai)=l—P(4】)=1—1寸=方

(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件4,“乙射擊2

次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件史,則

2

P(A2)=C1X(D=1,

p(B2)=axg)x(i-1)=|,

由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，

431

故P(A2B2)=gXg=g.

［巧歸納］

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法的三個步驟

［練習(xí)1］某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算(結(jié)果保留到

小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：

(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率；

(2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；

(3)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率.

解：(1)記預(yù)報一次準(zhǔn)確為事件A,則P(A)=0.8.

5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

2次準(zhǔn)確的概率為P,=C^X0.82X0.23=0.0512yo.05,

因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.

(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部

不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為

P=CgX(0.2)5+CgX0.8X0.24=0.00672^0.01.

所以所求概率為P2=l—P=1—0.01=0.99.

所以5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.

(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準(zhǔn)確.

所以所求概率為P3=aX0.8X0.23X0.8=0.02048七0.02,

所以5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率約

為0.02.

研習(xí)2二項(xiàng)分布的分布列

［典例2］一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5

個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概

率都是；

(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)^的分布列；

(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈前或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路

口數(shù)〃的分布列.

思路點(diǎn)撥：(1)首先判斷/是否服從二項(xiàng)分布，再求分布列.(2)

注意“首次遇到”“或到達(dá)”的含義，并明確〃的取值，再求〃取各

值的概率.

解：(1片?B(5,I),。的分布列為尸e=Z)=C?m4|)5r,%=

0,1,2,3,4,5.

故《的分布列為

產(chǎn)(〃=5)=尸(5個均為綠燈)=(|卜

故〃的分布列為

4012345

12481632

P

392781243243

［巧歸納］

解決二項(xiàng)分布問題的兩個關(guān)注點(diǎn)

(1)對于公式產(chǎn)5=幻=%/(1—”一”=0,1,2一,〃)必須在滿足

“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式.

(2)判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對

立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即

試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.

［練習(xí)2］甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答

一個問題，答對者為本隊(duì)贏得一分，答錯得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答

對的概率均為2當(dāng)乙隊(duì)中3人答對2的2概率1分別為余余/且各人回答

?JJJ乙

正確與否相互之間沒有影響.用4表示甲隊(duì)的總得分.

(1)求隨機(jī)變量4的分布列；

(2)用A表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用8

表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求尸(A3).

解:(1)由題意知，小的可能取值為0,1,2,3,

且P(4=O)=C《1—1)=克

尸(曰)=斕1一|}=看

P("2)=C梆0一捐,

口"3)二&吩=藥

所以4的分布列為

00123

1248

p

279927

(2)用C表示“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”這一事件，用。表示“甲

隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分”這一事件，所以A8=CUQ,且C,D互斥.

又P(O=cg)010

-|T|x|x1+|x|x^+!x|x1]=34,

JJ\J4JJ4JJ4/

P(D)=C(|X|x|x1)=^.

由互斥事件的概率公式得

尸(A8)=尸(O+P(D)

10,43434

—34丁35—35-243.

課后篇?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)延伸閱讀

1.某電子管正品率為3本次品率為1；，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試,

設(shè)第4次首次測到正品，則PQ=3）=（）

31

X-22X-

c3

A.4B.4

33A1

cX-D-2X-

4J-4

47

答案：C解析：《=3表示第3次首次測到正品，說明前兩次都

沒有測到正品，故其概率是故選c.

2.（2021?湖北武漢高二期中）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從

中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則P（XW2）

=（）

43「13

A-8B14

C5D8

答案：D解析：因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到

41

次品的概率為石=不

oZ

從中取3次，X為取得次品的次數(shù)，則X?43,

P(XW2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=CgXx|+CiX

+cW3卜=/故選D.

3.（多選題）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是（）

A.每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的

B.每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況

C.每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會是均等的

D.每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的

答案：ABC解析：由〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義知選項(xiàng)A,B,

C正確.

4.(2021?福建漳州第五中學(xué)高一月考)已知兩名射擊運(yùn)動員的射

擊水平：讓他們各向目標(biāo)靶射擊10次，其中甲擊中目標(biāo)7次，乙擊

中目標(biāo)6次，若再讓甲、乙兩人各自向目標(biāo)靶射擊3次，求：

(1)甲運(yùn)動員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？

(2)兩名運(yùn)動員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？(結(jié)果保留兩

位有效數(shù)字)

解：由題意知這是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

(1)甲射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.7,

則甲運(yùn)動員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是C*X0.72X0.3=0.441,

(2)乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,

則乙運(yùn)動員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是dX0.62X0.4=0.432,

所以兩名運(yùn)動員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率是

0.441X0.432^0.19.

課后自讀方案

［誤區(qū)警示］對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)理解有誤導(dǎo)致錯誤

［示例］某電視臺舉行奧運(yùn)知識大賽，比賽分為初賽和決賽兩部

分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題和答一題的方式進(jìn)

行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會，選手累計答題答對3題或

答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題直接進(jìn)入決賽，答錯3題者

則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為尋求選手甲可進(jìn)入決賽的概

率.

2I

［錯解］由題意，選手甲答題的錯誤率為1