2022年湖南省衡陽市 衡東縣榮桓中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年湖南省衡陽市衡東縣榮桓中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線過點（1，-1），且在兩坐標軸上的截距之和為，則直線的力方程為（A）2x-y-3=0

（B）2x+y-1=0（C）x-2y-3=0

(D)2x+y-1=0或x-2y-3=0參考答案：D2.設(shè)a=cos6°﹣sin6°，b=，c=，則有（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b參考答案：D【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【專題】三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25°．根據(jù)角的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。窘獯稹拷猓骸遖=cos6°﹣sin6°=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin24°，b==sin26°，c==sin25°．∵0°＜24°＜25°＜26°＜90°∴sin26°＞sin25°＞sin24°，即有：a＜c＜b，故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．3.在空間中，給出下面四個命題：(1)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；(2)若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面；(3)兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影必為相交直線；(4)兩個相互垂直的平面，一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線．其中正確的是()A．(1)(2)

B．(2)(3)

C．(3)(4)

D．(1)(4)參考答案：D4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.參考答案：A試題分析：由題意得，函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上先減后增的函數(shù)，故選A．考點：函數(shù)的單調(diào)性．5.已知函數(shù)f（x）=x+，g（x）=2x+，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù) B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)C．f（x）和g（x）都是偶函數(shù) D．f（x）和g（x）都是奇函數(shù)參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】運用奇偶函數(shù)的定義，即可判斷f（x），g（x）的奇偶性．【解答】解：函數(shù)f（x）=x+，定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱．由f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)；g（x）=2x+，定義域為R，由g（﹣x）=2﹣x+2x=g（x），則g（x）為偶函數(shù)．故選：A．6.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝lnx，則有A．f()<f(2)<f()

B．f()<f(2)<f()

C．f()<f()<f(2)

D．f(2)<f()<f()參考答案：C函數(shù)滿足f(2－x)＝f(x)，則：，，當x≥1時，f(x)＝lnx，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由函數(shù)的單調(diào)性可得：，故.本題選擇C選項.

7.設(shè)y=f（t）是某港口水的深度y（米）關(guān)于時間t（時）的函數(shù)，其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)觀察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的圖象，下面的函數(shù)中最能近似地表示表中數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（）A．，t∈[0，24] B．，t∈[0，24]C．，t∈[0，24] D．，t∈[0，24]參考答案：A【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】通過排除法進行求解，由y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的圖象，故可以把已知數(shù)據(jù)代入y=K+Asin（ωx+φ）中，分別按照周期和函數(shù)值排除，即可求出答案．【解答】解：排除法：∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的圖象，∴由T=12可排除C、D，將（3，15）代入排除B．故選A【點評】本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式以及應(yīng)用，通過對實際問題的分析，轉(zhuǎn)化為解決三角函數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．8.化簡的結(jié)果是（

）.

.

.

.參考答案：C略9.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（

）A.

B.2

C.

D.4參考答案：D10.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B坐標（﹣1，0），下面的四個結(jié)論：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正確的結(jié)論是（

）A．①④B．①③C．②④D．①②參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.，則A=(用反三角形式表示).參考答案：或

12.（5分）化簡（1+tan2α）cos2α=

．參考答案：1考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計算求得結(jié)果．解答： （1+tan2α）cos2α=?cos2α=1，故答案為：1．點評： 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為

．參考答案：（﹣∞，﹣1）【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】令t=x2﹣1＞0，求得函數(shù)的定義域，再由y=，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：令t=x2﹣1＞0，求得x＞1，或x＜﹣1，故函數(shù)的定義域為{x|x＞1，或x＜﹣1}，且y=，故本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），故答案為：（﹣∞，﹣1）．14.某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件．那么此樣本的容量n＝__________.參考答案：80略15.設(shè){an}是正項數(shù)列，其前n項和Sn滿足：4Sn＝(an－1)·(an＋3)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.參考答案：2n＋1略16.等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直線為軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為

．參考答案：17.在數(shù)列中，，，（），則該數(shù)列前2014項的和為_________．參考答案：4028略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上不同于A、B的一點，VA^平面ABC，VA=AB.（I）證明：平面VAC^平面VBC；（II）當三棱錐A-VBC的體積最大值時，求VB與平面VAC所成角的大小.參考答案：I）證明：∵AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，∴BC^AC，由VA^平面ABC，

∴BC^VA，而AC?VA=A，

∴BC⊥面VAC，

由BCì平面VBC，

∴平面VAC^平面VBC.

（II）方法1：∵VA^平面ABC，∴VA為三棱錐V-ABC的高，則，當DABC的面積最大時，最大.

設(shè)AB=2a，設(shè)BC=x(0<x<2a)，則，則∴當x2=2a2時，即時，DABC的面積最大，最大.…10分由(1)知：BC⊥面VAC，則DBVC為VB與平面VAC所成角，

在RtDVBC中，，，，∴DBVC=30°，故直線VB與平面VAC所成角為30°.

方法2：∵VA^平面ABC，∴VA為三棱錐V-ABC的高，則，當DABC的面積最大時，最大.

設(shè)AB=2a，過點C做CM^AB，垂足為M，則∴當M與O重合時，CM最大，此時，∴當，DABC的面積最大，最大.略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．（1）求證：PO⊥平面ABCD；（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】MK：點、線、面間的距離計算；LM：異面直線及其所成的角；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD．又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC．由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．因為AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B=，在Rt△POA中，因為AP=，AO=1，所以O(shè)P=1，在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為．（3）解：假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為．設(shè)QD=x，則S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，在Rt△POC中，PC=，所以PC=CD=DP，S△PCD==，由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在點Q滿足題意，此時=．20.已知函數(shù)滿足：①；②.（1）求的值；（2）設(shè)，是否存在實數(shù)使為偶函數(shù)；若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)，討論此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的零點個數(shù)．參考答案：解：（1），

①

又，即，②

將①式代入②式，得，又∵，

∴，．

（2）由（1）得，

，

假設(shè)存在實數(shù)使為偶函數(shù)，則有

，即，可得．

故存在實數(shù)使為偶函數(shù)．

（3）方法1∵函數(shù)，

有解，即又∵，∴的最小值為，∴；

又，

即，

（*）

∴當時，方程（*）有2個不同的實數(shù)根；

當時，方程（*）有1個實數(shù)根；

當時，方程（*）沒有實數(shù)根．

綜上，當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)有2個零點；

當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)有1個零點；

當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)沒有零點．

方法2∵函數(shù)，

有解，

又∵，∴的最小值為，∴；

又，

即

∴當時，直線與拋物線有2個不同的交點；

當時，直線與拋物線有1個交點；

當時，直線與拋物線沒有交點．

綜上，當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)有2個零點；

當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)有1個零點；

當時，函數(shù)在定義域范圍內(nèi)沒有零點．略21.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的