《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》示范教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教版】

《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的五點法．2．經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解其中運用的圖象變換的思想．教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象．教學(xué)難點：掌握準(zhǔn)確繪制正弦函數(shù)圖象上一個點的方法．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備Geogebra、PPT課件．利用Geogebra作動畫來實現(xiàn)以下精準(zhǔn)繪制圖的過程：正弦函數(shù)圖象上一個點；正弦函數(shù)在一個周期上的圖象；正弦函數(shù)在整個定義域上的圖象；余弦函數(shù)的圖象由正弦函數(shù)圖象平移得到等等．資源引用：【數(shù)學(xué)探究】正弦函數(shù)的圖象【知識點解析】認(rèn)識正弦曲線【知識點解析】用五點法畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的步驟【知識點解析】五點法注意事項【知識點解析】平移正弦曲線得到余弦曲線教學(xué)過程教學(xué)過程（一）整體感知問題1：三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類新的基本初等函數(shù)，按照函數(shù)研究的方法，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后，接下來應(yīng)該研究什么問題？怎樣研究？你的研究思路是什么？追問：（1）研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的思路是怎樣的？（2）繪制一個新函數(shù)圖象的基本方法是什么？（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？選擇哪一個區(qū)間即可？預(yù)設(shè)的師生活動：教師提出問題，學(xué)生活動回憶函數(shù)研究的路線圖，師生共同進(jìn)行交流、規(guī)劃，完善方案．預(yù)設(shè)答案：（1）研究的線路圖：函數(shù)的定義→函數(shù)的圖象→函數(shù)的性質(zhì)．（2）繪制一個新函數(shù)圖象的方法都是描點法．（3）對于三角函數(shù)，單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一特性已經(jīng)用誘導(dǎo)公式一表示，據(jù)此，可以簡化對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過程，比如可以先畫函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，再畫正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象．設(shè)計意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建本單元的研究路徑，以便整體把控整個單元的教學(xué)進(jìn)程，建立整體觀念．（二）新知探究1．正弦函數(shù)的圖象問題2：繪制函數(shù)的圖象，首先需要準(zhǔn)確繪制其上一點．對于正弦函數(shù)，在[0，2π]上任取一個值x0，如何借助單位圓確定正弦函數(shù)值sinx0，并畫出點T(x0，sinx0)？★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】正弦函數(shù)的圖象★使用說明：本資源為“正弦函數(shù)的圖象”知識探究，通過交互式動畫的方式研究正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．適合教師課堂進(jìn)行展示講解．注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．追問1：根據(jù)正弦函數(shù)的定義思考，一個的橫坐標(biāo)x0在單位圓上表示哪個幾何量？sinx0的幾何意義又是什么？預(yù)設(shè)的師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1，根據(jù)定義分析，確定x0，sinx0對應(yīng)的幾何量．圖1圖1追問2：根據(jù)上述分析，如何具體地作出點T(x0，sinx0)？預(yù)設(shè)的師生活動：教師和學(xué)生討論后，共同通過提前準(zhǔn)備的工具嘗試?yán)L制這個點．預(yù)設(shè)答案：方法一（學(xué)生操作）：“手工細(xì)線纏繞”法；方法二（教師操作）：利用信息技術(shù)．設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數(shù)定義的理解．通過分析點的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點．問題3：我們已經(jīng)學(xué)會繪制正弦函數(shù)圖象上的任意一個點，類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，接下來，如何畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象？你能想到什么辦法？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生給出設(shè)想，師生討論后選擇一種或者多種適合的方法實施．預(yù)設(shè)答案：方案一：在區(qū)間[0，2π]內(nèi)任取一些橫坐標(biāo)的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．方案二：為方便操作，可以在區(qū)間[0，2π]內(nèi)取等分點，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．追問：這兩種繪制方法的異同是什么？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生用方案二繪制函數(shù)圖象．教師借助信息技術(shù)，用方案一繪制函數(shù)圖象．預(yù)設(shè)答案：兩種方法本質(zhì)相同，在信息技術(shù)條件支持下都容易實現(xiàn)，在手工操作的條件下，用方案二比較可行．設(shè)計意圖：確定畫出一個周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法，并實施，同時體會信息技術(shù)給數(shù)學(xué)研究帶來的便捷．問題4：根據(jù)函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，你能想象正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象嗎？依據(jù)是什么？請你畫出該函數(shù)的圖象．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生畫圖，教師予以指導(dǎo)．★資源名稱：【知識點解析】認(rèn)識正弦曲線★使用說明：本資源適用于“認(rèn)識正弦曲線”的教學(xué)，供教師備課和授課時參考．適合教師課堂進(jìn)行展示播放．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．預(yù)設(shè)答案：根據(jù)誘導(dǎo)公式一，可知函數(shù)y＝sinx，x∈[2kπ，2π]2(k+1)，k∈Z且k≠0的圖象與y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象，如圖2所示．圖2圖25.3－3教師指出，正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(sinecurve)，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．設(shè)計意圖：繪制函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象，并培養(yǎng)說理的習(xí)慣．問題5：如何畫出函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]圖象的簡圖？★資源名稱：【知識點解析】用五點法畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的步驟★使用說明：本資源展現(xiàn)“用五點法畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的步驟”，輔助教師教學(xué)，加深學(xué)生對于知識的理解和掌握．適合教師課堂進(jìn)行展示講解．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．追問：在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？預(yù)設(shè)的師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2，并說出他的想法．★資源名稱：【知識點解析】五點法注意事項★使用說明：本資源展現(xiàn)“五點法注意事項”，輔助教師教學(xué)，加深學(xué)生對于知識的理解和掌握．適合教師課堂進(jìn)行展示講解．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．預(yù)設(shè)答案：觀察圖2，在函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象上，五個點（0，0），，QUOTEπ2，1（π，0），，QUOTE3π2，-1（2π，0）在確定圖象形狀時起關(guān)鍵作用．因此只要描出這五個點，按照正弦函數(shù)圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出函數(shù)的簡圖，稱之為“五點法”．設(shè)計意圖：觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得五點法畫圖的簡便畫法．2．余弦函數(shù)的圖象問題6：如何畫出余弦函數(shù)y＝cosx的圖象？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生可能會類比正弦函數(shù)圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數(shù)的圖象．對此教師應(yīng)予以肯定，并進(jìn)一步提出追問的問題．追問1：由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對有密切關(guān)聯(lián)的函數(shù)．誘導(dǎo)公式表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化．相應(yīng)的，能否通過對正弦函數(shù)圖象進(jìn)行變換得到余弦函數(shù)的圖象？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生先用排除法觀察誘導(dǎo)公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系研究的依據(jù)．教師引導(dǎo)學(xué)生通過比較進(jìn)行選擇．從數(shù)的角度看，可以選擇關(guān)系：cosx＝sin（x+）．記f（x）＝sinx，則cosx＝f（x+）．因此函數(shù)y＝cosx的圖象，可以看作將函數(shù)y＝sinx的圖象上的點向左平移個單位得到．★資源名稱：【知識點解析】平移正弦曲線得到余弦曲線★使用說明：本資源展現(xiàn)“平移正弦曲線得到余弦曲線”，輔助教師教學(xué)，加深學(xué)生對于知識的理解和掌握．適合教師課堂進(jìn)行展示講解．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．追問2：你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：這是教學(xué)的難點，教師要首先進(jìn)行示范．教師可以先選擇一個具體的點，進(jìn)行分析，然后上升到對一般點的分析．得到圖象之后還可以再利用圖象進(jìn)行驗證．預(yù)設(shè)答案：設(shè)（x0，y0）是函數(shù)y＝cosx圖象上任意一點，則有y0＝cosx0＝sin（x0+）．令x0+＝t0，則y0＝sint0，即在函數(shù)y＝sinx圖象上有對應(yīng)點（t0，y0）．比較兩個點：（t0，y0）與（x0，y0）．因為x0+＝t0，即x0＝t0－．所以點（x0，y0）可以看做是點（t0，y0）向左平移個單位得到的．所以只要將函數(shù)y＝sinx圖象上的點向左平移個單位即可得到函數(shù)y＝cosx的圖象，如圖3所示：圖3圖3教師指出，余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線（cosinecurve）．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．設(shè)計意圖：利用誘導(dǎo)公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)圖象．增強(qiáng)對兩個函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認(rèn)識．問題7：類似于用“五點法”作正弦函數(shù)圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡圖？追問：余弦函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上相應(yīng)的五個關(guān)鍵點是哪些？請將它們的坐標(biāo)填入下表，然后作出y＝cosx，x∈[－π，π]的簡圖．xcosx預(yù)設(shè)的師生活動：★資源名稱：【知識點解析】用五點法畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的步驟★使用說明：本資源展現(xiàn)“用五點法畫正弦、余弦函數(shù)簡圖的步驟”，輔助教師教學(xué)，加深學(xué)生對于知識的理解和掌握．適合教師課堂進(jìn)行展示講解．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．預(yù)設(shè)答案：設(shè)計意圖：觀察余弦函數(shù)圖象，掌握其特征，獲得“五點法”．例1先用五點法畫出下列函數(shù)的圖象，然后再說明如何經(jīng)過圖象變換得到下列函數(shù)的圖象：（1）y＝1+sinx，x∈［0，2π］；（2）y＝－cosx，x∈［0，2π］．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生先獨立完成，之后就解題思路和結(jié)果進(jìn)行展示交流，教師點評并給出規(guī)范的解答．預(yù)設(shè)答案：（1）按五個關(guān)鍵點列表：描點并將它們用光滑的曲線連接起來．將函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象向上平移一個單位長度可得；（2）按五個關(guān)鍵點列表：描點并將它們用光滑的曲線連接起來．將函數(shù)y＝c