數(shù)學(xué)建模教程模型馬氏鏈模型

數(shù)學(xué)建模教程模型馬氏鏈模型第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三馬氏鏈模型系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)（無(wú)后效性）描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過(guò)程）的模型馬氏鏈(MarkovChain)——時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三通過(guò)有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1.人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1健康與疾病

人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變保險(xiǎn)公司要對(duì)投保人未來(lái)的健康狀態(tài)作出估計(jì),以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額

若某人投保時(shí)健康,問(wèn)10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,

…無(wú)關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性

120.80.20.30.7第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三n0a2(n)0a1(n)1設(shè)投保時(shí)健康給定a(0),預(yù)測(cè)a(n),n=1,2…設(shè)投保時(shí)疾病a2(n)1a1(n)0n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.80.20.30.710.80.220.780.22第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三n0123a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測(cè)a(n),n=1,2…不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對(duì)于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150

0.12930.0326

0.8381

第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三馬氏鏈的基本方程基本方程第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三馬氏鏈的兩個(gè)重要類型1.正則鏈~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例1）。w~穩(wěn)態(tài)概率第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三馬氏鏈的兩個(gè)重要類型2.吸收鏈~存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開的狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)（如例2）。有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi~從第i個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三11.2鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫(kù)存量不大以免積壓資金

一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略：每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才訂購(gòu)3架供下周銷售；否則，不訂購(gòu)。

估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。

背景與問(wèn)題第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三問(wèn)題分析

顧客的到來(lái)相互獨(dú)立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計(jì)算需求概率存貯策略是周末庫(kù)存量為零時(shí)訂購(gòu)3架周末的庫(kù)存量可能是0,1,2,3，周初的庫(kù)存量可能是1,2,3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫(kù)存狀態(tài)的變化。動(dòng)態(tài)過(guò)程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求超過(guò)庫(kù)存）的概率不同。

可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長(zhǎng)以后）計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量。

第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架

存貯策略：當(dāng)周末庫(kù)存量為零時(shí)，訂購(gòu)3架，周初到貨；否則，不訂購(gòu)。

以每周初的庫(kù)存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性。

在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該存貯策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率，和每周的平均銷售量。

第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的波松分布

Sn~第n周初庫(kù)存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

……第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型建立

狀態(tài)概率

馬氏鏈的基本方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測(cè)第n周初庫(kù)存量Sn=i的概率n,狀態(tài)概率

第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率

n充分大時(shí)

模型求解

從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約10%。1.估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019第十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型求解

第n周平均售量從長(zhǎng)期看，每周的平均銷售量為0.857(架)

n充分大時(shí)

需求不超過(guò)存量,銷售需求需求超過(guò)存量,銷售存量

思考：為什么這個(gè)數(shù)值略小于每周平均需求量1(架)?2.估計(jì)這種策略下每周的平均銷售量第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三敏感性分析

當(dāng)平均需求在每周1(架)附近波動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化。

設(shè)Dn服從均值為的波松分布

狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機(jī)會(huì)的概率

當(dāng)平均需求增長(zhǎng)（或減少）10%時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增長(zhǎng)（或減少）約12%。第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三11.3基因遺傳背景生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定?；蚍謨?yōu)勢(shì)基因d和劣勢(shì)基因r兩種。每種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是d,r中的任一個(gè)。形成3種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R。基因類型為優(yōu)種和混種,外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因類型為劣種,外部表征呈劣勢(shì)。生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三隨機(jī)繁殖設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作D:H:R）每一雄性個(gè)體以D:H:R的概率與一雌性個(gè)體交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R=a:2b:c（a+2b+c=1),記p=a+b,q=b+c,則群體中優(yōu)勢(shì)基因和劣勢(shì)基因比例d:r=p:q(p+q=1)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3~第n代的一個(gè)體屬于D,H,R狀態(tài)概率ai(n)~第n代的一個(gè)體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。討論基因類型的演變情況第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三基因比例d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)繁殖第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H,優(yōu)勢(shì)表征——綠色，基因類型為R,劣勢(shì)表征——黃色。解釋“豆科植物的莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三近親繁殖在一對(duì)父母的大量后代中,雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過(guò)程。狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6~配對(duì)基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三I0RQ狀態(tài)1(DD),2(RR)是吸收態(tài)，馬氏鏈?zhǔn)俏真湣徽摮跏既绾?，?jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計(jì)算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過(guò)幾代被吸收態(tài)吸收。純種(優(yōu)種和劣種)的某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約5~6代就需重新選種.近親繁殖第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三11.4等級(jí)結(jié)構(gòu)社會(huì)系統(tǒng)中的等級(jí)結(jié)構(gòu)，適當(dāng)、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義描述等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變過(guò)程，預(yù)測(cè)未來(lái)的結(jié)構(gòu)；確定為達(dá)到某個(gè)理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素：系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的轉(zhuǎn)移：提升和降級(jí)；系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問(wèn)題——轉(zhuǎn)移比例視為概率第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本模型a(t)~等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)i=1,2,k（如助教、講師、教授）數(shù)量分布n(t)=(n1(t),n2(t),nk(t))ni(t)~t年屬于等級(jí)i的人數(shù)，t=0,1,比例分布a(t)=(a1(t),a2(t),ak(t))轉(zhuǎn)移矩陣Q={pij}kk,pij是每年從i轉(zhuǎn)至j的比例第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本模型第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本模型~基本模型第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本模型等級(jí)結(jié)構(gòu)a(t)~狀態(tài)概率P~轉(zhuǎn)移概率矩陣第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制問(wèn)題：給定Q,哪些等級(jí)結(jié)構(gòu)可以用合適的調(diào)入比例保持不變a為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*穩(wěn)定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域A例大學(xué)教師(助教、講師、教授)等級(jí)i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移比例第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)尋求aaQ的另一種形式第三十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制穩(wěn)定域是k維空間中以si

為頂點(diǎn)的凸多面體研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)第三十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S