2023年新高考藝考生40天突破數(shù)學90分講義 專題22 平面向量（解析版）

專題22平面向量【考點預測】一、向量的基本概念1、向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如（其中A為起點，B為終點）.注：談到向量必須說明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長度（或稱模），記作或.2、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個單位長度的向量.當時，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因為任何平行向量經(jīng)過平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不可以重合；③，，不一定有，因為可能為.二、向量的線性運算1、向量的加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2、向量的減法（1）相反向量.與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3、向量的數(shù)乘（1）實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：①②當λ>0時，的方向與的方向相同；當λ<0時，的方向與的方向相反；當時，方向不確定；時，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運算的運算律.設、為任意向量，、為任意實數(shù)，則；；.三、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使.2、平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為.叫做向量關于基底的分解式.3、三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點.四、平面向量的坐標表示及坐標運算（1）平面向量的坐標表示.在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序實數(shù)對（）叫做向量的坐標，記作=（）.(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有向量（）向量點（）.（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.若=（），為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應坐標.（4）設A，B，則=， 即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標.五、向量的平行設，.的充要條件是.除了坐標表示外，下面兩種表達也經(jīng)常使用：當時，可表示為；當時，可表示為，即對應坐標成比例.六、平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個非零向量與平行的充要條件是.七、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）（交換律）；（2）為實數(shù)）；（3）（分配律）。數(shù)量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，不可約分.九、平面向量數(shù)量積有關性質(zhì)的坐標表示設向量由此得到（1）若；（2）設兩點間距離（3）設的夾角，則【典例例題】例1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學?？寄M預測）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【解析】依題意，對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；對于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對于任意向量，必有，故正確；對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.故選：C.例2．（2023·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）如圖，是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，設，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是上靠近的四等分點，是上靠近的四等分點，是的中點，所以.故選：C.例3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學期末）已知向量，若與共線，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】因為與共線，所以．故選:A．例4．（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】連接，由題可知，又因為為的中點，所以，所以，所以，所以.故選：A.例5．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習）在矩形中,,點滿足,則（

）A． B．14 C． D．【答案】A【解析】解:由題不妨以為坐標原點,方向分別為軸建立如圖所示直角坐標系,則所以,,因為設,所以,解得,所以,所以.故選:A例6．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知，，所以，設與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.例7．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量，所以，解得，所以，故選：C例8．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以所以向量與的夾角為故選：C例9．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學考試）已知向量的夾角的余弦值為，，，則（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】C【解析】由題意不妨設，，則，，由，可得，即，又由，解得，所以.故選：C.例10．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點M是BC的中點，所以，故，則，故，因為三點共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A例11．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接，與交于點，若，則的值為______.【答案】【解析】在中，不共線，因為，則有，又三點共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：例12．（2023秋·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，，則___________．【答案】【解析】因為向量，，，所以，因為，所以有，故答案為：例13．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，向量滿足則__________【答案】0【解析】因為，所以，所以，所以.故答案為：【技能提升訓練】一、單選題1．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，設，，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，設，由對應系數(shù)相等得.故選：D.2．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）在中，，，若點M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：.故選：A.3．（2023秋·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知向量，且與互相平行，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵向量，，∴，，∵與互相平行，∴，解得．故選：C．4．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中,,,點在線段上,且,設,,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,，畫出示意圖如下:因為,,,所以.故選:C5．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學?？计谀┮阎蛄浚簦瑒t實數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】由，得，解得.故選：A.6．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】B【解析】對于A，因為，，若A，B，C三點共線，則存在實數(shù)使得，則，無解，所以A，B，C三點不共線，故A錯誤；對于B，∵，∴，又∵A是公共點，∴A，B，D三點共線，故B正確；對于C，因為，，所以，若A，C，D三點共線，則存在實數(shù)使得，又，所以，無解，所以A，C，D三點不共線，故C錯誤；對于D，若B，C，D三點共線，則存在實數(shù)使得，又，，所以，無解，所以B，C，D三點不共線，故D錯誤；故選：B.7．（2023春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級中學?？奸_學考試）已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，設，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，且，．故選：A．8．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知平行四邊形中，，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設點的坐標為，則，即，解得，即.故選：C.9．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學?？奸_學考試）已知向量．若，則實數(shù)（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】解析：根據(jù)題意，向量，則，則．若，則有，兩邊平方得到，再平方得到，解得．故選：．10．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若與平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，，由與平行，有，解得.故選：B11．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┮阎矫嫦蛄浚?，則（）A． B．（0，0）C． D．（1，2）【答案】B【解析】由于，所以，所以.故選：B12．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】依題意，，由，則，所以.故選：D.13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，的夾角為，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】向量在向量方向上的投影為，，，則向量在向量方向上的投影為，故選：D.14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，則向量在向量方向上的投影是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】向量在向量方向上的投影是.故選：B15．（2023·全國·高三專題練習）若，，下列正確的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，，因為，所以不平行，A錯，因為，所以不垂直，B錯，因為方向上的投影為，C對，因為，所以不垂直，D錯，故選：C.16．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考開學考試）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，則，，.故選：C.17．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，兩邊平方得，所以.故選：A18．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】．故答案為：A.19．（2023春·浙江·高三開學考試）若向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，得，又，所以.故選：A．20．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學考試）已知兩個單位向量滿足，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即，所以，故選：.21．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點,是上靠近的三等分點,若,則（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【解析】解:由題知,所以,記,因為且為平行四邊形,所以,解得:(舍)或.故選:A22．（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學?？计谀┤羝矫嫦蛄颗c的夾角為，，，則等于（

）．A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因為平面向量與的夾角為，，，所以，，所以.故選：B.23．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設向量，滿足，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】因為，，以上兩式相減可得，，所以，即，故選：D.24．（2023春·河南洛陽·高三洛陽市第八中學?？奸_學考試）已知向量，，，若，則（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【解析】因為向量，，所以，因為，所以，可得，故選：D．25．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【解析】由已知，又，，或（舍去，）故選：A.二、多選題26．（2023秋·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）設，是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（

）A．若，則存在實數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向【答案】ACD【解析】對于選項A：當，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實數(shù)，使得，故選項A錯誤；對于選項B：當，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，則，故選項B正確；對于選項C：當，由向量加法的意義知，方向相同，故選項C錯誤；對于選項D：當時，則，同向或反向，故選項D錯誤；綜上所述：選項ACD錯誤，故選：ACD.27．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】由，得，即，解得或，則A錯誤，B正確；由，得，解得，則C，D正確．故選：BCD.三、填空題28．（2023秋·江蘇蘇州·高二常熟中學?？计谀┤?，則與向量反方向的單位向量的坐標為__________.【答案】【解析】，則與向量反方向的單位向量的坐標為.故答案為：.29．（2023·高一課時練習）設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則________．【答案】【解析】因為為在方向上的投影向量，，所以，又，且，所以.故答案為；.30．（2023·高三課時練習）已知點，，則的坐標是______．【答案】【解析】點，，則，所以的坐標是.故答案為：31．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知向量，，若，則實數(shù)___________．【答案】【解析】向量，，則，而，則有，解得，所以實數(shù).故答案為：32．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，若，則__________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，解得故答案為：33．（2023秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知正方形的邊長為，邊，的中點分別為，，則________．【答案】【解析】以為原點，，方向分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標系，則，，，，∴，，，∴，∴.故答案為：.34．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，，若，，三點共線，則______．【答案】【解析】因為向量，，則，而，又，，三點共線，則有，因此，解得，所以.故答案為：35．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則t的值為______．【答案】【解析】因為向量，，所以，，又因為，所以，即，解得.故答案為：.36．（2023·高三課時練習）已知向量，，且，則x的值為______．【答案】6【解析】因為，，且，所以，即.故答案為：6.37．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量,,則向量在向量方向上的投影是______．【答案】【解析】解:由題知,,在向量方向上的投影為:.故答案為:-138．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）已知，且，則在上的投影向量為__________．【答案】【解析】因為，且，則在上的投影向量為，故答案為：.39．（2023·高三課時練習）已知向量、、滿足，，，且，則______．【答案】【解析】因為向量、、滿足，，，且，則有，所以.故答案為：40．（2023·高三課時練習）在中，已知，，，則的值為______．【答案】【解析】，又，，.故答案為：．41．（2023秋·山東東營·高三東營市第一中學?？计谀┮阎橇阆蛄繚M足，，，則的夾角為_____________．【答案】【解析】設向量的夾角為θ.由已知可得，，所以，所以.又，所以，所以，.則，又，所以.又，所以，所以的夾角為.故答案為：.42．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）在中，分別為的中點，則__________.【答案】－4【解析】由已知，，．故答案為：．43．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預測）已知向量與的夾角是，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由已知，，，又，故答案為：44．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知向量滿足，請寫出一個符合題意的向量的坐標______.【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意，向量，且，則有，即，當時，，則.故答案為：（答案不唯一）45．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學考試