2023年高考數(shù)學一輪復習（基礎版）10-4 雙曲線（精練）（基礎版）（解析版）

10.4雙曲線（精練）（基礎版）題組一題組一雙曲線的定義及應用1．（2021·太原期末）已知，分別是雙曲線的左右焦點，點P在該雙曲線上，若，則（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由雙曲線定義知：，而，又且，∴3或7，故答案為：D.2．（2022郫都期中）雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為11，則點到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨設，分別為雙曲線的左右焦點，當P在雙曲線的左支時，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，當P在雙曲線的右支時，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在滿足條件的點P.故答案為：B.3．（2021懷仁期中）已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線可知：的周長為.當軸時，的周長最小值為故答案為：C4．（2022奉賢期中）已知是雙曲線右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為.設分別為雙曲線的左、右焦點.若，則.【答案】5【解析】因為雙曲線的漸近線方程為3x-y=0，即y=3x=，所以，解得a=1，根據(jù)雙曲線定義P是雙曲線右支上的一點，滿足|PF1|-|PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案為：55．（2022·開封模擬）若雙曲線的焦距為，則實數(shù)．【答案】4或【解析】當焦點在x軸時，可得m>0，2m?4>0，當焦點在y軸時，可得m<0，2m?4<0，所以或．故答案為：4或6．（2022·岳普湖模擬）已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個焦點，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內切圓.則M的橫坐標為，若F1到圓M上點的最大距離為，則△F1PF2的面積為.【答案】1；【解析】雙曲線的方程為，則.設圓分別與相切于，根據(jù)雙曲線的定義可知，根據(jù)內切圓的性質可知①，而②.由①②得：，所以，所以直線的方程為，即的橫坐標為.設的坐標為，則到圓M上點的最大距離為，即，解得.設直線的方程為，即.到直線的距離為，解得.所以線的方程為.由且在第一象限，解得.所以，.所以△F1PF2的面積為.故答案為：1；7．（2021溫州期中）已知雙曲線x2-y2=1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為.【答案】【解析】∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵雙曲線方程為x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P為雙曲線x2﹣y2=1上一點，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值為故答案為題組二題組二雙曲線的離心率及漸近線1．（2021高三上·南開期末）已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故答案為：A.2．（2022湖南月考）已知雙曲線的左焦點為，右焦點為，，為雙曲線右支上一點，為坐標原點，滿足，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，O為的中點，∴△為直角三角形，設，則，則，∴，∴e＝.故答案為：B.3．（2021·全國甲卷）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°解得所以故答案為：A4．（2022·靖遠模擬）若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個等邊三角形，則C的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由題意得：漸近線方程的斜率為，又漸近線方程為，所以，所以C的離心率為故答案為：D5．（2022·新鄉(xiāng)三模）已知雙曲線的頂點到一條漸近線的距離為實軸長的，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因為雙曲線C的頂點到一條漸近線的距離為，所以，所以，所以，雙曲線C的離心率.故答案為：B6．（2022·湘贛皖模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線C上一點P到x軸的距離為c，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作軸于M，依題意，則，則為等腰直角三角形，令，則，由雙曲線定義知．而，在中，解得：，雙曲線離心率，則．故答案為：C．7．（2022·濟南二模）已知，分別為雙曲線的左?右焦點，點P在雙曲線上，若，，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】不妨假設點P在雙曲線右支上，則，由于，，故，故，而，故，故答案為：8．（2022·汝州模擬）已知雙曲線的兩條漸近線所夾銳角為，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】由于，雙曲線的漸近線方程為，，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由，得，則雙曲線的離心率．故答案為：題組三題組三雙曲線的標準方程1．（2022·安徽模擬）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓的焦點坐標為，設雙曲線的標準方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為。故答案為：C.2．（2022合肥期末）已知點分別是等軸雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，是的中點，所以，，則，，解得，所以雙曲線方程為．故答案為：D．3．（2022資陽期末）已知雙曲線過三點，，中的兩點，則的方程為.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，點，在雙曲線圖像上，將其代入雙曲線方程，所以8a2=1，所以雙曲線C：，故答案為：.4．（2022徐匯期末）已知雙曲線經過點，其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為．【答案】【解析】考慮到雙曲線的實軸可能在x軸，也可能在y軸，分別設雙曲線方程如下：實軸在x軸時，設雙曲線方程為：，則有…①其漸近線方程為，即…②聯(lián)立①②，解得，雙曲線方程為；實軸在y軸時，設雙曲線方程為，則有…③其漸近線方程為，即…④聯(lián)立③④，無解；故答案為：.5．（2022河南月考）經過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為．【答案】【解析】由題意設所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即。答案：。6．（2022·湖北模擬）在平面直角坐標系中，已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，設點的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】因為在線段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：7．（2022·遼寧模擬）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標準方程為.【答案】【解析】【解答】因為漸近線方程為，所以，一個焦點到一條漸近線的距離為，所以，故雙曲線標準方程為.故答案為：8．（2022·寧德模擬）若過點的雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的標準方程是.【答案】【解析】因為雙曲線的漸近線為，故設其方程為，因為點在雙曲線上，所以，，即所求方程為.故答案為：9．（2022·廣州模擬）寫出一個同時滿足下列性質①②③的雙曲線方程．①中心在原點，焦點在y軸上；②一條漸近線方程為﹔③焦距大于10【答案】（答案不唯一，寫出一個即可）【解析】由①中心在原點，焦點在y軸上知，可設雙曲線方程為：由②一條漸近線方程為知，，即由③知，，即，則可?。ù颂幰部扇〈笥诘钠渌麛?shù)）又，，則同時滿足下列性質①②③的一個雙曲線方程為：故答案為：（答案不唯一，寫出一個即可）.題組四題組四直線與雙曲線的位置關系1．（2022·全國·課時練習）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立整理得，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：D.2．（2022·全國·課時練習）直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為______．【答案】2【解析】由，可得，解得或．當時，；當時，，所以直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為2．故答案為：23．（2022·全國·課時練習）直線與雙曲線的交點坐標為______．【答案】，【解析】由，消得即，解得或代入直線得或，所以直線與雙曲線的交點坐標為，，故答案為：，4．（2022·全國·高三專題練習）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，故需滿足，故答案為：5．（2022·全國·專題練習）雙曲線與直線交點的個數(shù)為_____.【答案】1【解析】聯(lián)立方程可得，消可得，即，故，故方程組有且只有一組解，故雙曲線與直線有且只有一個交點.故答案為：16．（2022·四川·仁壽一中）若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.【答案】【解析】由，消可得，當或，解得或，故答案為：7．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，則k的取值范圍為___________.【答案】【解析】聯(lián)立消去y：，，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.題組五題組五弦長與中點弦1．（2022·四川·射洪中學）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C2．（2022·全國·專題練習）雙曲線：被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設，則，將兩點坐標代入雙曲線方程得：；將上述兩式相減可得：即，也即所以，即故答案為：3．（2022·全國·課時練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．【答案】【解析】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，所以．故答案為：4．（2021·云南）已知雙曲線3x2﹣y2＝3，過P（2，1）點作一直線交雙曲線于A、B兩點，若P為AB的中點．(1)求直線AB的方程；(2)求弦AB的長．【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0(2)【解析】(1)設A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1），則3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，兩式相減得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，從而直線的斜率為6，故所求直線方程為6x﹣y﹣11＝0；(2)6x﹣y﹣11＝0與雙曲線3x2﹣y2＝3聯(lián)立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，∴x1+x2＝4，x1x2，所以==．5．（2023·全國·高三專題練習）設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三