大一各專業(yè)匯總理論力學(xué)3力系平衡

理論力學(xué)課堂教學(xué)軟件（3）Nanjing

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of

Technology第一篇靜力學(xué)理論力學(xué)第3章力系的平衡第一篇

靜力學(xué)平衡與平衡條件力系的平衡方程平面力系的平衡方程平衡方程的應(yīng)用靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題第3章力系的平衡3.1平衡與平衡條件第3章力系的平衡3.1平衡與平衡條件§

平衡方程的概念平衡：物體相對慣性參考系靜止或作等速直線運動的狀態(tài)。平衡是運動的一種特殊情形。平衡是相對于確定的參考系而言的。慣性參考系：固聯(lián)地球上的參考系。剛體系統(tǒng)：由若干個剛體組成的系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。3.1平衡與平衡條件nFR

=

Fi

=

0i=1nMO

=

MO

(Fi

)=

0i=1§

平衡方程的充要條件力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的充要條件。力系的平衡：對剛體不產(chǎn)生任何作用效應(yīng)的力系?！傲ο灯胶狻睏l件：力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。3.2力系的平衡方程第3章力系的平衡3.2力系的平衡方程§

平衡方程的一般形式§

空間力系的特殊情形FR

=

0,

MO

=

0平衡

Fz

=

0

Fy

=

0

Fx

=

0FR

=

0M

=

0zyOM

(F

)

=

0M

(F

)

=

0

M

x

(F

)

=

0空間任意力系平衡的充分必要條件：即：力系中各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù)和也等于零。上述6個平衡方程都是互相獨立的?！?/p>

平衡方程的一般形式空間任意力系簡化

{F1,

F2

,,

Fn

}

{FR

,

MO

}力系的分類按力的作用線分布：平面力系和空間力系；按力的作用線關(guān)系：匯交力系、平行力系和任意力系?！?/p>

空間力系的特殊情形§

空間力系的特殊情形那么三個力矩方程便自然滿足，因此平衡方程僅為上述三個。zyF

=

0F

=

0空間匯交力系：所有力的作用線都相交于一點的力系。如果三個力的投影方程滿足

Fx

=

0§

空間力系的特殊情形zyM

(F

)

=

0M

(F

)=

0空間力偶系：力偶作用面位于不同平面的力偶系。平衡方程中的三個力的投影式自然滿足，其平衡方程為：

M

x

(F

)

=

0§

空間力系的特殊情形空間平行力系：所有力的作用線相互平行的力系。若坐標系的軸與各力平行，則6個平衡方程中

Fx

=

0,

Fy

=

0

Mz

(F

=

0自然滿足。于是,平衡方程為：

Fz

=

0

Mx

(F

=

0

M

y

(F

)=

03.3平面力系的平衡方程第3章力系的平衡3.3平面力系的平衡方程§

平面力系平衡方程的一般形式§

平面力系平衡方程的其他形式平面力系：所有力的作用線都位于同一平面的力系。

Fz

=

0y

Mx

(F

=

0

M

(F

)=

0自然滿足，且

Mz

(F

=

0

MO

(F

=

0yzO§

平面力系平衡方程的一般形式F1F2FnMyzOyMo

(F

)=

0F

=

0

Fx

=

0其中矩心O

為力系作用面內(nèi)的任意點。上述方程是三個獨立方程，最多只能解三個未知力，稱為“一矩式”平面力系平衡方程?！?/p>

平面力系平衡方程的一般形式于是，平面力系平衡方程的一般形式為：處理具體問題時的注意點求解靜力學(xué)平衡方程問題的過程與步驟:1.對象主動力2.受力約束力3.方程解：對象：剛架整體受力：如圖方程：求圖示剛架的約束力。APabqAPqFAyMAFAxFAx

=

qb#FAy

=

P#FAx

-

qb

=

0,FAy

-

P

=

0,

Fx

=

0,

Fy

=

0,22AAAM

=

Pa

+

qb

b

#M

-

Pa

-

qb

b

=

0,

M

(F

)=

0,例題1§

平面力系平衡方程的一般形式求圖示梁的支座約束力。解：對象：梁受力：如圖方程：由（1）（2）解得：ACabPB

qmCPB

qmFBFAyFAx

Fx

=

0,

FAx

+

P

cosq

=

0,

FAx

=

-P

cosq#FAy

+

FB

-

P

sinq

=

0

(1)

Fy

=

0,

M

A

(F

)=

0,

-

m

+

FB

a

-

P(a

+

b)sinq

=

0

(2)AFAy=

-

m

+

Pb

sin

q

##am

+

P

a

+

b)sin

qaFB

=例題2§

平面力系平衡方程的一般形式S

Fx

=

0

,S

MA

=

0

,BS

M

=0

。A、B

連線不垂直于x

軸BAxFR“二矩式”BAFR滿足第二式？滿足第三式？滿足第一式？BFRAFRBAxFR§

平面力系平衡方程的其他形式S

MA

=

0，S

MB

=

0

,CS

M

=0。A、B、C

三點不在同一條直線上CAFRCB3.3平面力系的平衡方程“三矩式”滿足第一式？滿足第二式？滿足第三式？BFRAFRBFRCABAFR處理具體問題時的注意點采用“平面平衡方程”求解平衡問題時的注意事項:三組方程：“一矩式”、“二矩式”、“三矩式”。根據(jù)具體問題，選擇其中的一種形式，列三個平衡方程，求解三個未知力。不存在第四個方程，它是不獨立的，是前三個的線性組合。盡可能地使每一個方程只含有一個未知力，避免聯(lián)立求解，便于計算。3.4平衡方程的應(yīng)用第3章力系的平衡l例題3圖示結(jié)構(gòu)中，A、B、C三處均為鉸鏈約束。橫桿AD在D處承受集中載荷FP，結(jié)構(gòu)各部分尺寸均示于圖中，已知FP和l。試求A、C處約束力。l

l

FPA

B

DC3.4平衡方程的應(yīng)用lACBllFPDFAyFAxCdDBlAllFCB3.4平衡方程的應(yīng)用解：對象：整體受力：如圖方程：-

FCB

·d

-

Fp

·2l

=

0

M

A

(F

)=

0,

MB

(F

)=

0,

-

FAy

·l

-

Fp

·l

=

0FAx

-

FCB

·cosa

=

0

Fx

=

0,FCB=

-2

2Fp

#Ay

pFP

F=

-F

#2pAx

CB2

F=

-2F

#F

=-

FAx

·l

-

Fp

·2l

=

0

Mc

(F

)=

0,FAx

=

-2Fp

#三矩式？§

例題3例題4平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知。試求：A處的約束力。3.4平衡方程的應(yīng)用FAyMAqFAx3.4平衡方程的應(yīng)用解：對象：平面剛架受力：如圖方程：2M

-

M

-

F

l

+

ql

·

3

l

=

0,A

M

(F

)=

0,2A

p3ql

2

#M

A

=

M

+

Fpl

-FAx

-

ql

=

0,FAx=

ql

#

Fx

=

0,

Fy

=

0,FAy

-

Fp

=

0,

FAy=

Fp

#驗證所得結(jié)果的正確性的方法可以將作用在平衡對象上的所有力對平面內(nèi)任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的?！?/p>

例題4例題5已知：塔式起重機FP=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：1.保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊FQ=？2.當(dāng)FQ=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的約束力？3.4平衡方程的應(yīng)用FQFPABFA

?

0限制條件：（2）空載時（W=0）FQ

(6-2)

-FP

2+FB(2+2)

=0限制條件為：FB

?

0解得：FQ

￡

350

kN因此保證空、滿載均不倒，F(xiàn)Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：75

kN

￡

FQ

￡

350

kN解得：

FQ

?

75

kNFQ

(6

+

2)-

FA

(2

+

2)+

FP

2

-W

(12

-

2)=

0FQFPBAFA

FBMA(F)

=03.4平衡方程的應(yīng)用解：1.求平衡塊對象：整個塔吊；受力：如圖；（1）滿載時

MB

(F

)=

0FQ(6-2)-FP

2+FB

4-W(12+2)

=0-FQ

+FA

-FP

+FB

-W

=0解得：MA(F)

=0

Fy

=

0FQFPBAFA

FB3.4平衡方程的應(yīng)用2.求當(dāng)FQ=180kN，滿載W=200kN時，F(xiàn)A

,FB為多少由平面平行力系的平衡方程可得：FA

=

210kNFB

=

870kNxyCABzDO4530WAB、AC、AD三桿由活動鉸連接于A處，B、C、D均為固定球鉸支座。在A處懸掛重物，重物的重量W為已知。試求：三桿的受力。例題660453.4平衡方程的應(yīng)用xyABzDO4530W60

Fy

=

0,

FAD

cos

60

-W

=

0

(2)

Fz

=

0,

-

FAC

-

FAD

sin

60 cos

45

=

0

(3)4z

5FABFADACFC

(1)(2)(3)聯(lián)立，得到FAD

=

2W

#26FAC=

-

W

#6FAB

=

-

2

W

#3.4平衡方程的應(yīng)用解：對象：A鉸受力：如圖方程：

Fx

=

0,

-

FAB

-

FAD

sin

60

cos

45

=

0

(1)例題7例題7水力渦輪發(fā)電機的主軸。水力推動渦輪轉(zhuǎn)動的力偶矩Mz=1200N.m。錐齒輪B處受到的力分解為三個分力：圓周力Ft，軸向力Fa和徑向力Fr。三者大小的比例為Ft

:Fa:Fr=1:0.32:0.17。已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。試求：止推軸承C和軸承A處的約束力。3.4平衡方程的應(yīng)用M

z

-

Ft

·OB

=

0Ft

=

2000

N解：對象：“軸－錐齒輪－渦輪”組成的系統(tǒng)受力：如圖3.4平衡方程的應(yīng)用FAxFAyFFCyCx

FCz方程：

M

z

(F

)=0得到作用在錐齒輪上的圓周力再由三個力的數(shù)值比，得到Fa

=

640

NFr

=

340

N最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫出-

P

-

Fa

=

0FCzy

M

(F

)

=

0Ax

t3F

-

4F

=

0

M

x

(F

)

=

0

-

3FAy

-

4Fr

+

0.6Fa

=

0

Fx

=

0

Fy

=

0

Fz

=

0-

Ft

=

0+

Fr

=

0FAx

+

FCxFAy

+

FCy由此解得FAy

=

-325

N

FCy

=

-14.7

N

FAx

=

2.67

kNFCx

=

-667N

FCz

=12.6

kN3.5靜定和靜不定問題的概念第3章力系的平衡3.5靜定和靜不定問題的概念靜定問題：平衡問題中，未知力的個數(shù)正好等于獨立平衡方程的數(shù)目。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強度和剛度，或者為了滿足其他工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個或幾個約束。靜不定問題（超靜定問題）：平衡問題中，未知約束力的個數(shù)大于獨立平衡方程的數(shù)目。這類問題稱為或相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)（超靜定結(jié)構(gòu)）。靜不定次數(shù)：靜不定問題中，未知量的個數(shù)與獨立的平衡方程數(shù)目之差。多余約束：與靜不定次數(shù)對應(yīng)的約束，對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱為多余約束。關(guān)于靜不定問題的基本解法將在材料力學(xué)中介紹。靜定（未知數(shù)三個）靜不定（未知數(shù)四個）3.5靜定和靜不定問題的概念FAxFAyFB思考題1：下面結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)還是靜不定結(jié)構(gòu)呢？BFAyFAx

FAxFAyBPPPPFPFPF3.5靜定和靜不定問題的概念思考題2：判斷各圖的超靜定次數(shù)。3.6剛體系統(tǒng)平衡問題第3章力系的平衡剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）：由兩個或兩個以上的剛體所組成的系統(tǒng)。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)的整體或某個局部（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴展，即：當(dāng)整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內(nèi)每個物體都平衡。根據(jù)這一重要概念，應(yīng)用平衡方程，即可求解剛體系統(tǒng)的平衡問題。當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。3.6剛體系統(tǒng)平衡問題例題1結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。3.6剛體系統(tǒng)平衡問題BFAxFAyMAFRCMAFRCFAxFAyF'BxF'ByFBxFBy分析：整體平衡局部平衡研究對象？受力分析？靜不定問題?平衡條件！yx建立坐標！3.6剛體系統(tǒng)平衡問題解：對象：整體

受力：圖（a）方程：（a）

Fx

=

0,FAx

=

0#

Fy

=

0,

FAy

-

q

2l

+

FRC

=

0

M

A

(F

)=

0,

M

A

-

q

2l

2l

-

M

+

FRC

4l

=

0(1)(2)(3)3.6剛體系統(tǒng)平衡問題FRCFAxFAyMA（b）22l

=

0,RCB

M

(F

)=

-q

l

l

-

M

+

FFRC=

ql

+

M

#4

2l(4)將（4）代入（2），得：FAy=

7

ql

-

M

#4

2l(5)將（4）代入（3），得：AM

=

3ql

2

-

M

#(6)3.6剛體系統(tǒng)平衡問題

Fx

=

0,FAx

=

0#4l

=

0

Fy

=

0,

FAy

-

q

2l

+

FRC

=

0

M

A

(F

)=

0,

M

A

-

q

2l

2l

-

M

+

FRC對象：桿BC

受力：圖（b）方程：(1)(2)(3)FRCFBxFByBFCxFDqFFAxFAyFDFB

q

CFCyDCBAD練習(xí)1

求圖示多跨靜定梁的支座約束力。解：對象：CD梁受力：如右圖方程：FAx

=

0#

Fx

=

0,2Fy

=

0,

FAy

-

F

+

FB

-

4q

+

FD

=

0,2

2AyF

=

1

F

-

1

qFB

=

1

F

+

3q

＃＃-

2F

+

4FB

-

4q

6

+8FD

=

0,

M

A

(F

)=

0,3

3FD

=

2

q#3FD

-

3q

2

=

0,

MC

(F

)=

0,對象：整體受力：如右圖方程：3.6剛體系統(tǒng)平衡問題CBq22FAD13CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx對象：AB梁受力：如右圖方程：M=

FB

=

b

#方程：

M

=

0,

FC

b

-

M

=

0,

FC

Fx

=

0,FAyF

+

FAx

-

FB￠=

0

(1)=

0,

FAy

-

qa

=

0,

=

qa#

Fy2A

BA

M

(F

)=

0,

M

-

F

(a+

b)-

qa

a

+

F

￠a

=

0

(2)將FB=FB

代入(1)(2)，得到bAxF

=

-F

-

M

#M

A

=#3.6剛體系統(tǒng)平衡問題例題2求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。解：對象：BC梁受力：如右圖例題3圖示三鉸拱固定鉸支座水平方向有沒有約束力？解：對象：整體方程：FAxFAyFCxFCy

M

A

(F

)=

0,2P

cy

cy=

P

+

FP

#受力：如圖

-

P(a

-

b)-

F

a

-

P(a

+

b)+

F

2a

=

0,F

MC

(F

)=

0,2P

AyAy-

F

2a

+

P(a

+

b)+

F

a

+

P(a

-

b)=

0,

F

=

P

+

FP

#解：對象：右半拱受力：如圖方程：FBxFByFCxFCy

MB

(F

)=

0,a

2cx

cy

cx-

Pb

-

F a

+

F a=

0,

F

=

P

(a

-

b)+

FP

#

Fx

=

0,FAx

-

FCx

=

0

(1)2FaP

(a

-

b)+

P

#FAx

=代入（1），得3.6剛體系統(tǒng)平衡問題2a2aPa

abbPPPP-

2aFOy

=

0,=

0#FOy（1）3.6剛體系統(tǒng)平衡問題：解aaaa例題4圖示結(jié)構(gòu)，試求鉛直桿AO上的鉸鏈A、C和O所受的力。F對象：整體F解：對象：整體受力：如圖方程：

M

B

(F

)=0,對象：桿CD受力：如圖方程：FCyaFC￠y

-

aF

=

0,

=

F

=

FCy

#（2aFC￠x

-

F

2a

=

0,

FCx

=

2F

=

FCx

#

（3）3.6剛體系統(tǒng)平衡問題FOy

=

0#

（1）：解）aaaaFO

M

E

(F

)

=

0,

MO

(F

)

=

0,對象：桿AO

受力：圖（c）方程：2a

+

aFCx

=

0FOx

M

A

(F

)

=

0,Ax

Cx

Oxx

F

=

0,

F

+

F

+

F

=

0

Fy

=0,將（3）代入（4），得：-

FAy

+

FCy

+

FOy

=

0FOx

=

F

#FAx=

-F

#（4）（5）（6）（7）（8）將（3）和（7）代入（5），得：將（1）和（2）代入（6），得：FAy=

F

#（9）2m2m2m2m2m2mADEFGBCP2P1P2ADEFGBCFAxP1FAyFB解：對象：整體

受力：如右圖方程：BF

=1000N2P2

+

6P1

-

4FB

=

0,

M

A

(F

)=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題例題5各桿自重不計，在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力P1和P2，且P1＝P2＝500

N。求：F處的約束力。FFxFGyFBBFFGxF'FyF'FxP1P2ADEFGBCFAxGFAyFBFFy

=

-P2

=

-500N

#對象：桿BG受力：如右圖方程：2P2

+

2FFy

=

0,

ME

(F

)=

0,-

4FB

-

2FF￠y

-

2FF￠x

=

0,

MG

(F

)=

0,解得：FFx=

-1500N

#P2DFFEyEFFyFEx對象：桿DF受力：如右圖方程：3.6剛體系統(tǒng)平衡問題（a）FCxFAy

FCyFAxFTFKFHxFHyHKF（b）FK′FDyFDxFCxFCyCGK（

c）4Cy3(P

)Q2+

#F

=4FAy=

7P+6Q#FK

=

2P#4=

P-6Q#4FAx=

2Q-P

#M

(F

)

=

0M

(F

)=

0MH

(F

)

=

0

MG

(F

)

=

0

FCx

A

CxAx

CxF

=

0

Q

+

F

+

F

=

0

(1)3.6剛體系統(tǒng)平衡問題例題6構(gòu)架在H，G，E處為鉸鏈連接，已知P和Q，不計構(gòu)件自重和摩擦。試求：固定鉸支座A和C的約束力以及桿E

F上銷釘K的約束力。練習(xí)2兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接，B、C、D均為光滑鉸鏈，A為固定支座，各梁的長度均為l＝2m，受力情況如圖所示。已知水平力F＝6kN，M＝4

kN·m，q＝3

kN/m。求固定端A及鉸鏈

C的約束力。ABCDF2l/3l/2Mq0MB

CFByFBxFCxFCy解：對象：BC受力：如右圖方程：lCyCyBl

=

0,

F

=

-

M

=

-2kN

#M

+

F

M

(F

)=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題FCDF'CxF'CyFDxFDyABCDF2l/3l/2Mq0對象：CD受力：如右圖方程：22l-

FC￠x

l

-

F

3

=

0,

MD

(F

)=

0,2

3ACy

CxA

0Al

+

F l

-

F l

=

0,M

+

M

-

1

q

l

M

(F

)=

0,2AxAx

0

CxxF

+

1

q

l

+

F

=

0,

F

=1kN

#

F

=

0,FC￠x

=

-

3

F

=

-4kN

#對象：ABC受力：如右圖方程：Mq0FCxFCyFAyMAM

=

-6kN

m#FAxBCAFAy

=

-FCy

=

2kN

#FAy

+

FCy

=

0,

Fy

=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題PlDl2l/3CABEPDCAEFAxFAyFBBFAx

=

0

Fx

=

0,AyBAyy3

F

=

0,

F

+

F

-

P

=

0,

F

=

1

PBBA33F

=

2

PF

l

-

P

2l

=

0,

M

(F

)=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題例題7三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力P。求：鉸鏈E處的約束力。解：對象：整體

受力：如右圖方程：用FE1、FE2表示的約束力和用FEx、FEy表示的約束反力本質(zhì)上是同一個力。FAxFAyAF'ExCF'EyEF'E2F'E1DBEF'DxF'DyFE2FE1FB32

2

2P#MD

(

)FE

2

=

2FB

=F

=

0,

-

FE

2

2

l

+

FBl

=

0,22Ax

Ay

E1CFE￠1

=

3

P#F l

-

F l

+

F

￠

2

l

=

0,

M

(F

)=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題下面用不同的方法求鉸鏈E

的受力。方法1：分別以BD和AC為研究對象，受力如圖。PDCAEFAxFAyFBBEPD2l/3CB方法2：先以DC為研究對象。再以BDC為研究對象。類似地，亦可以DC為研究對象，求FDy，再以ACD為研究對象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy3EyF

=

-

1

P#FEy

-

P

+

FCy

+

FB

=

0,

Fy

=

0,33CyD

CyM

(F

)=

0,

F l

-

P

2l

=

0,

F

=

2

P#3Ex

2

Ey

2CFEx

=

-P#

l

+

P

l

=

0,

l

-

F

M

(F

)=

0,

F3.6剛體系統(tǒng)平衡問題PDCAEFAxFAyFBB方法3：分別以ACD和AC為研究對象。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。類似地，亦可以BDC和BD為研究對象，進行求解。P2l/3DCEF'ExF'EyFDyFAxEFAxFAyAF'ExF'EyF'CxCF'CyFDxF l

-

F

￠

l

-

F

￠

l

-

P

2l

=

0

(1)Ax Ex

2

Ey

2

3

MD

(F

)=

0,Ex

2

Ey

2Ax

AyC

M

(F

)=

0,

F l

-

F l

-

F

￠

l

+

F

￠

l

=

0

(2)

FAyA3.6剛體系統(tǒng)平衡問題BC練習(xí)3三根等長同重均質(zhì)桿(重W)如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：E、F是AB、BC中點，AB水平，求繩EF的拉力。解法1：取AB分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長為l。再以整體為研究對象，受力如圖。ABCDFBxABFAxFAy

FByWFTWWWFAxFAyAFDxFDyD2

2TB

Ay

M

(F

)=

0,

-

F l

+W

l

+

F

l

sin

45 =

0

(1)

Fy

=

0,

FAy

+

FDy

-

3W

=

0

(2)3.6剛體系統(tǒng)平衡問題最后以DC為研究對象，受力如圖。聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)得：FCxDCFDxFDy

FCyW2C

Dy

M

(F

)=

0,

-

F l

+W

l

=

0

(3)

FT

=

4

2W聯(lián)立求解(4)、(5)、(6)即可的同樣結(jié)果。最后以整體為研究對象，受力如圖。ABCWWWFAxFDxFDyD解法2：先以BC為研究對象，受力如圖。再以DC為研究對象，受力如圖。F'CxF'CyF'BxF'ByBWCF'TFCyFCxDCFDxFDyW3.6剛體系統(tǒng)平衡問題FAy2-

F

￠l

-

F

￠sin

45

l

=

0

(4)B

Cx

T

M

(F

)=

0,xFDx

+

FCx

=

0

(5)

F

=

0,

lM

A

()

(

)F

=

0,

FDxl

-

2W

2

-Wl

=

0

6ABEDax1234EACBD練習(xí)4

編號為1、2、3、4的四根桿件組成平面結(jié)構(gòu)，其中A、C、E為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，E為

中點，各桿自重不計。在水平桿2上作用一鉛垂向

下的力F，試證明無論力F

的位置x

如何改變，其豎桿1總是受到大小等于F

的壓力。F解：本題為求二力桿（桿1）的內(nèi)力FA1或FC1。為此先取桿2、4及銷釘A為研究對象，受力如圖。FA1ExFND2EA1

2

NB

2ND

2F

b

+

F

(b

-

x)

+

Fb

+

F

b

=

0

(a)

M

(F

)

=

0

:bF上式中FND和FNB為未知量，必須先求得；為此再分別取整體和桿2為研究對象。FEyF

FNB3.6剛體系統(tǒng)平衡問題BFAyAFAxC

ND

M

(F

)

=

0

:

F

b

-

Fx

=

0取整體為研究對象，受力如圖。FNBxa1234E

ACBDbFNDFb=

Fx取水平桿2為研究對象，受力如圖。

M

A

(F

)

=

0

:

FNBb

-

Fx

=

0NBFb=

Fx代入（a）式得FA1

=

-FFA1為負值，說明桿1受壓，且與x無關(guān)。FFNDFFCyCx3.6剛體系統(tǒng)平衡問題F2FABCD14.53

4.5422練習(xí)5

構(gòu)架尺寸如圖所示(尺寸單位為m)，不計各桿件自重，載荷F1=120

kN,2F

=75

kN。求AC及CD兩桿所受的力。F1BCFCDF2FAx

AFAyFAD解：1、取三角形ABC分析，其中A、C處應(yīng)帶有銷釘：

M

A

(F

)

=

0

:55CDCD-F2

2

-

F1

7.5

-

F4

12

+

F3

4

=

0

:43FCD

=

-145.83

kN3.6剛體系統(tǒng)平衡問題F2ABCDF14.54.53422F1BCFBxFBy

FCAFCD2、取BC分析，注意在C處應(yīng)帶有銷釘。

MB

(F

)

=

0

:451

CDCA-F

4.5

-

F

4

9

-

F9

=

0

:122

+

42FCA

=

179.19

kN3.6剛體系統(tǒng)平衡問題練習(xí)6

求圖示三鉸剛架的支座約束力。解：對象：整體受力：如圖方程：將(3)代人(2)，得：CBaaaAFFAxFAy

q

CBAFFBxFByFAy

=

1

qa

-

1

F4

2＃

Fx

=

0,

F

+

FAx

+

FBx

=

0

(1)FAy

+

FBy

-

qa

=

0

(2)

Fy

=

0,2ByAF

=

1

F

+

3

qa#

(3)

By

2

42a

=

0,-

Fa

-

qa

3a

+

F

M

(F

)=

0,3.6剛體系統(tǒng)平衡問題q對象：AC受力：如圖方程：FAx

=

FAy

=

1

qa

-

1

F4

22

4BxF

=-

1

F

-

1

qaFAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF(4)

MC

(F

)

=

0

:

FAxa

-

FAya

=

0將FAy代人(4)，得＃將FAx代人(1)，得＃

Fx

=

0:

FAx

+

FBx

+

F

=

0(1)3.6剛體系統(tǒng)平衡問題yzBCDxEA3030GzACDx3030GX

AYAE

ZATBXBByZ

F

=

0

:

X

+

X

-T

cos

30

sin

30

=

0x

A

B

F

=

0

:

Y

-T

cos2

30

=

0y

A

F

=

0

:

Z

+

Z

+T

sin

30

-

G

=

0z

A

B練習(xí)7均質(zhì)長方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。3.6剛體系統(tǒng)平衡問題zACDx3030GAXAE

ZAT

YBXBByZ解之得：X

B

=

ZB

=

0T

=

200NX

A

=

86.6N

YA

=150NZA

=100N2x

B

M

(F

)

=

0

:

T

sin

30

AB

+

Z AB

-

G

1

AB=

02y

M

(F

)

=

0

:

G

1

AD

-T

sin

30

AD

=

0

M

z

(F

)

=

0

:

XB

AB

=

03.6剛體系統(tǒng)平衡問題初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。錯在哪里？§

受力分析的重要性錯在哪里？§

平面力系的平衡方程§

平面單個剛體的平衡問題計算§

平面剛體系統(tǒng)的平衡問題計算本章復(fù)習(xí)重點本章作業(yè)第1次P68－69

：3－2,

3－6第2次P70－72：3－10，3－12，3－15補充習(xí)題：1，2，3Nanjing

University

of

Technology附錄1：第3章習(xí)題解答2、受力圖問題。無受力圖、畫在原圖，受力圖要畫在“分離體”上（原處打

“？”）。受力圖要完整（畫上所有的力，包括不要求解的力）。受力圖和研究對象要一一對應(yīng)，不同對象不能畫在一起，要分開畫。43）、分方布程荷問載題要。畫在力的作用線上。根據(jù)受力圖列方程，對象要明確，要讓別人能看懂。根據(jù)公式列方程（一矩式、二矩式、三矩式），要明確寫出來，明

確它們使用條件，每一組只有三個獨立方程，代入數(shù)據(jù)寫出具體表達式。

3）區(qū)分矢量和標量。方程是矢量方程在各個坐標軸上的投影方程，為

代數(shù)量（標量）。4）列方程要會聯(lián)立，不能簡單的寫最后結(jié)果。作業(yè)中存在的問題1、對象選擇問題。一定要明確對象，清楚結(jié)構(gòu)，根據(jù)指定的對象、畫對應(yīng)的受力圖、列對應(yīng)的方程，要“一一對應(yīng)”，讓別人能看明白。FEDDFDBa小時，tan

a

≈a

）。aCBFBFD￠BFAB解：對象：D點；受力：如左圖；方程：

Fy

=

0,

Fx

=

0,-

FED

cosa

+

FDB

=

0FEDsin

a

-

FP

=

0FFDB

=

tan

a

=10FP§

3－23－2

圖示為一繩索拔樁裝置。繩索的E、C兩點拴在架子上，點B與拴在樁

A上的繩索AB連接，在點D加一鉛垂向下的力F，AB可視為鉛垂，DB可視為水平。已知a

=0.1rad，力F

=800N。試求繩AB中產(chǎn)生的拔樁力（當(dāng)a很FF

P對象：B點；受力：如右圖；方程：

Fx

=

0,

Fy

=

0,FCB

sina

-

FDB

=

0FCB

cosa

-

FAB

=

00.1=

80kN#=

10FPF=

FDB=

FDBABtan

a

a附錄1：第3章習(xí)題解答-

FC

cos

60

+

F1

cos

60

=

0,FC

=

30

kN#

Fx

=

0,

MB

(F

)

=

0,8FA

+8F1

sin60

-M

+4F2

+3FC

sin60

+1.5·3q

=

0,FA

=

-63.22

kN#

M

A

(F

)

=

08FB

+

M

+

4F2

+5FC

sin

60

+

6.5·3q

=

0FB

=

-88.74

kN#§

3－63－6

梁AB用三根桿支承，如圖所示。已知F1=30kN，F(xiàn)2

=40kN，M=30kN·m,

q

=20kN/m，試求三桿的約束力。（1）解：對象：圖（a）中梁受力：如圖所示方程：FA

FC

FB附錄1：第3章習(xí)題解答（c）FCFBy（d）FAxFAyFCMA

MB

(F

)

=

0,

,FC

=18

kN#

M

A

(F

)

=

0,

,M

A

=16

kN

m#=

6

kN#FAy

Fy

=

0,

,

Fx

=

0,

,FAx

=

0#解：對象：BC梁；受力：如（c）圖；方程：對象：整體；受力：如（d）圖；方程：附錄1：第3章習(xí)題解答§

3－103－10

試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：（a）M

=8kN·m，q

=4kN/m；（注：原題此處－M）FBx（e）FCxFCyFD（f）FAxFAyFDFBMC

(F

)

=

0FD

=15

kNFB

=40kN=

-15

kNFAyM

A

(F

)

=

0

Fy

=

0

Fx

=

0FAx

=

0附錄1：第3章習(xí)題解答§

3－103－10

試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：（b）M=40kN·m，q=10kN/m?！?/p>

3－123－12

圖示為汽車臺秤簡圖，BCF為整體臺面，杠桿AB可繞軸O轉(zhuǎn)動，

B、C、D三處均為鉸鏈。桿DC處于水平位置。試求平衡時砝碼重W1與汽車重W2的關(guān)系。2

F

=

0,

F

=

W

(1)ByyM

=

0,

W1l

-

FBy￠a=

0

(2)O由式（1）、（2），得W1

aW2

l=

#AOBW1FOxOyFBxByF

FCW2BxFFByBCDF附錄1：第3章習(xí)題解答ABEF

R

BF

AyF

AxTFrD解：對象：整體方程：WFAx

=

FT

=

W

=1200N

#FAx

-

FT

=

0,受力：如右圖

Fx

=0,FRBFRB

=1050N

#4

-

FT

(1.5

-

r

)-W

(2

+

r

)=

0,

M

A

(F

)=

0,

Fy

=

0,

FAy

+

FRB

-W

=

0,

FAy

=150N

#§

3－153－15

圖示構(gòu)架中，由桿AB、CE和BC在A、B、C、D、E處鉸接而成。物體重1200N，由細繩跨過滑輪E而水平系于墻上，尺寸如圖所示。如不計桿和滑輪的自重，試求支承A和B處的約束力，以及桿BC的受力FBC

。C附錄1：第3章習(xí)題解答ABCEWF

AyAxFTFrDCEWF

R

BFTDDxFF

BCF

Dy對象：CE桿和滑輪受力：如右圖方程：5BCTBCDF

=

-1500N

#(1.5

-

r

)-W r

=

0,2

3

-

F-

F

M

(F

)=

0,§

3－15附錄1：第3章習(xí)題解答-

2aFOy

=

0,FOy

=

0#（1）：解aaaa對象：整體F解：對象：整體受力：如圖方程：

M

B

(F

)=0,附錄1：第3章習(xí)題解答§

補充1補充1圖示結(jié)構(gòu)，試求鉛直桿AO上的鉸鏈A、C和O所受的力。F對象：桿CD受力：如圖方程：FCyaFC￠y

-

aF

=

0,

=

F

=

FCy

#（2aFC￠x

-

F

2a

=

0,

FCx

=

2F

=

FCx

#

（3）FOy

=

0#

（1）：解）aaaaFO

M

E

(F

)

=

0,

MO

(F

)

=

0,對象：桿AB

受力：圖（c）方程：2a

+

aFCx

=

0FOx

M

A

(F

)

=

0,Ax

Cx

Oxx

F

=

0,

F

+

F

+

F

=

0

Fy