平面向量知識點(diǎn)歸納

1r3r(答：1r3r(答：-a-2b)；⑵次列向量組r,能作為平面內(nèi)所有向量基底腺是e=(0,0),e=(1,-2)12uruurC,e=(3,5),e=(6,10)12e=(-1,2),e=(5,7)12ur uur1 3D.e1=(2,-3),e2=(2,-4)平面向量一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：f.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的； uur.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是土-B-）;|AB|.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a〃b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；線②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線但兩條直線平行不包含兩條直③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?Uur④三點(diǎn)A、B、C共線=AB.AC共線；.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如 uuruur下列命題：（1）若|a|=b，則a=b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若AB=DC,uuuuur rrrrrr則AB,r是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB=DC。（5）若a=b,b=J則a=c。（6）若a〃b,b〃c，則a//c。其中正確的是（答：（4）（5））二．向量的表示方法：幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后;符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建耳直角坐標(biāo)系，以與％軸、）軸方向相同的兩個單位向量i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=（x,y）,稱（x，y）為向量a的坐標(biāo)，a=（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。a,有且只有一對實數(shù)三.平面向量的基本定理：如果e1和ea,有且只有一對實數(shù)入、入c，使a='e.+九e9。如1 2 11 22rr r r（1）若a=（1,1）,b=（1,-1）,c=（-1,2），則c=(答：B)；uuuruuur uuurruuurruuur rr： ；(3)已知AD,BE分別是AABC的邊BC,AC上的中線,且AD=a,BE=b，則BC可用向量a,b表示為2r4r(答：3a+3b)；（4）已知AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2DB,CD=r五存+sAC，則r+s的值是___四.實數(shù)與向量的積：實數(shù)九與向量a的積是一個向量，記作入a，它的長度和方向規(guī)定如下:rr入＞0時，入a的方向與a的方向相同，當(dāng)入＜0時，入a的方向與a的方向相反，當(dāng)九=0時，入a=0,注意:W0。

五．平面向量的數(shù)量積：1.兩個向量的夾角五．平面向量的數(shù)量積：1.兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作0A=a,OB=b，ZAOB=0兀,二直。2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，? ? ? ,r（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a?b，即a?b=abcos0. rr .b，它們的夾角為0，我們把數(shù)量1aIIb1cos0叫做a與b的數(shù)量積r。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）r1r1rrrurrr已知a=(1,-直。2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，? ? ? ,r（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a?b，即a?b=abcos0. rr .b，它們的夾角為0，我們把數(shù)量1aIIb1cos0叫做a與b的數(shù)量積r。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）r1r1rrrurrr已知a=(1,-),b=(0,-2),。=a+從d=a-bru 兀c與d的夾角為-，則k等于（2）（3）rr已知a=2,b=5,ag=-3，貝a+b等于rr已知a,b是兩個非零向量，且rrr，則a與a+b的夾角為rb在a上的投影為1b1cos0，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知1aI=3，IbI=5，且a?b=12，則向量a在向量b上的投影為r. -a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模1aI與b在a上的投影的積。（答：￡）（答：1）；（答：y23）；（答：30。）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為0，①a±boa?b=0；貝：②當(dāng)a，b同向時，rrr2，特別地，a=a?a=a2;當(dāng)a與b反向時a?b=—ab；③非零向量a，b夾角ab；③非零向量a，b夾角0的計算公式：c0s0=rr

a?brrMbl利用“三角形法則”：設(shè)AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a與buuur②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB=ruuurr的和，即a+b=AB+BC=AC；ruuuruuuruuura,AC=b，那么a一b=AB一AC=CA，由減向量的終點(diǎn)指向被rrrr；④Ia?bI<IaIIbI。如（1）已知日=（入，2入），力=（3入,2），如果a與石的夾角為銳角，則九的取值范圍是41（答：入〈一3或九〉0且入w3）；六．向量的運(yùn)算：1．幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”r進(jìn)行，但“平行四邊形法則',只適用于不共線的向瀛，如如此之外U向量加法還可減向量的終點(diǎn)。注意/處澹向量與被減向量的起點(diǎn)相臥如^uuuruuuruuuruuur(1)化簡：①AB+BC+CD= [②AB-AD-DC= :③(AB-CD)-(AC-BD)=rrr(答：①AD;②CB;?0);rrr(答：①AD;②CB;?0);貝UIa+b+cI—uuurruuurruuurr(2)若正方形ABCD的邊長為1，AB=a,BC=b,AC=c（答：2<2）；2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（4,y）,b=（4,y），則：r1r1 22①向量的加減法運(yùn)算：a±b="土'，y±y）。如1 2 1uuur2uuuruuur（1）已知點(diǎn)a（2,3）,B（5,4），C（7,10），若AP=AB+九AC（XeR），則當(dāng)九—時，點(diǎn)p在第一、三象限的角平分線上uur(答：2)；(2)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力F=(3,4),F=(2,-5),uur(答：2)；(2)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，則合力F=F+F+F的終點(diǎn)坐標(biāo)是1 2 3 1 2 3②實數(shù)與向量的積:九a=九(工,y)=(九x，九y)。(答：(9,1))③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB=標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如(x2―x1,y2-X)，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐設(shè)A(2,3),B(-1,5)uur1uuuuuruur且AC=3AB，AD=3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是④平面向量數(shù)量積:rra^b=A"2+丁1y2。如(答：(1,-3-),(—7,9))；已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(—1,0),若x=~，求向量a、c的夾角; rr+y2,a2=IaI2=x2+y2。如ur°r已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么1a+3b1=(答：。13)；⑥兩點(diǎn)間的距離：若A(x,y),B(x,y)則IABI=(yx2-y1七.向量的運(yùn)算壽rr交換律：a+b=b+a,rrr(交換律：a+b=b+a,rrr(r結(jié)合律：a+b+c=\l分配律：a+Ga6a+口a,"+b)rrrrrrrr\

bb+c入a??b=XQ?b)=a?。b).，.(rr)rrrrra+b??c=a?c+b?c下列命題中：①3,(b—3)=3,卞—b?<?.②3"(b?<?)=(b%)?<?.③(rrrr—21aI?IbI+1bI2.④若a-b=0,則a=0或b=0.⑤若a-b=c-b,則(3-b)2=|aI2rrc；⑥arrra-bb⑦-T-=廿a2 a⑧(a⑧(a-b)2=a2-b2；⑨(a—b)2=rrrra2—2a-b+b2。其中正確的是.(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除-Fff —*-*f(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c)中(a?b)c,為什么？rrrrrrrr八.向量平行(共線)的充要條件：a//boa=Xboy-b);=(IaIIbI)2ox1y2—yj2=0。如(1)若向量a=(x,1),b=(4,x),當(dāng)x= 時a與b共線且方向相同(答：2)；rr rrr rrrrr(2)已知a=(1,1),b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//y,則x=(答：4)；uuur uuuruuur(3)設(shè)PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，則k= 時，A,B,C共線(答：一2或11)rrrr rr-rr九向量垂直的充要條件：a±boa?b=0oIa