數(shù)值分析課程設(shè)計

數(shù)值分析課程設(shè)計報告4681112姓 名 學(xué) 號 院 系 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專 業(yè)信息與計算科學(xué)年級 級 指導(dǎo)教師 TOC\o"1-5"\h\z設(shè)計題四 1龍格現(xiàn)象實驗 1問題分析與設(shè)計思路 1在計算方法中，有利用多項式對某一函數(shù)的近似逼近，這樣，利用多項式就可以計算相應(yīng)的函數(shù)值。例如，在事先不知道某一函數(shù)的具體形式的情況下，只能測量得知某一些分散的函數(shù)值。例如我們不知道氣溫隨日期變化的具體函數(shù)關(guān)系，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣溫值，并假定此氣溫隨日期變化的函數(shù)滿足某一多項式。這樣，利用已經(jīng)測的數(shù)據(jù)，應(yīng)用待定系數(shù)法便可以求得一個多項式函數(shù)。應(yīng)用此函數(shù)就可以計算或者說預(yù)測其他日期的氣溫值。一般情況下，多項式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，而TOC\o"1-5"\h\z預(yù)測也就越準(zhǔn)確，這就是龍格現(xiàn)象。 1程序清單 1(1)編寫拉格朗日插值函數(shù)，將其存到當(dāng)前路徑的M文件中： 1functiony=lagrange(x0,y0,x) 1n=length(x0);m=length(x); 1fori=1:m 1z=x(i); 1L=0.0; 1forj=1:n 1T=1.0; 1fork=1:n 1ifk~=j 1T=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k)); 1end 1end 1L=T*y0(j)+L; 1end 1y(i)=L; 1end 2(2)分別取不同的n值，作出相對應(yīng)n值的插值多項式的曲線圖。 2gn=4時， 2x0=-5:10/4:5; 2y0=1./(1+x0.A2); 2x=-5:0.1:5; 2y=lagrange(x0,y0,x); 2y1=1./(1+x.A2); 2plot(x,y,'-k') 2holdon 2plot(x,y,'-.r') 2￡n=6時， 2x0=-5:10/6:5; 2y0=1./(1+x0.A2); 2x=-5:0.1:5; 2y=lagrange(x0,y0,x); 2>y1=1./(1+x.A2); 2>plot(x,y1,'-k') 2>holdon 2>plot(x,y,'--h') 2￡n=8時， 2x0=-5:10/8:5; 2y0=1./(1+x0.A2); 2x=-5:0.1:5; 2y=lagrange(x0,y0,x); 2y1=1./(1+x.A2); 2plot(x,y1,'-k') 2holdon 2plot(x,y,'--g') 2￡n=10時， 2x0=-5:1:5; 2y0=1./(1+x0.A2); 2x=-5:0.1:5; 2y=lagrange(x0,y0,x); 3y1=1./(1+x.A2); 3plot(x,y1,'-k') 3holdon 3plot(x,y,'--m') 3結(jié)果分析 3設(shè)計總結(jié) 3\o"CurrentDocument"數(shù)值分析課程設(shè)計總結(jié) 22#i3i3fork=2:max1P(k)=feval('f1021',P(k-1));k,err=abs(P(k)-P(k-1))p=P(k)；if(err<tol),break;endifk==maxidisp('maximumnumberofiterationsexceeded');endendP=P;定義一個名為f1021.m的函數(shù)文件functiony=f1021(x)y=sin(x)/x;割線法:求方程x3-x+2=0的一個近似解，給定初值-1.5,-1.52,誤差不超過10-6。function[pi,err,k,y]=secant(f1042,p0,pi,delta,maxi)p0,pi,feval('f1042',p0),feval('fi042',pi),k=0;fork=i:maxip2=pi-feval('fi042',pi)*(pi-p0)/(feval('fi042',pi)-feval('fi042',p0));err=abs(p2-pi);p0=pi;pi=p2;pi,err,k,y=feval('fi042',pi);if(err<delta)I(y==0),break,endend先定義一個名為fi042.m的函數(shù)文件functiony=fi042(x)y=xA3-x+2;建立一個主程序progi042.mclcclearsecant('fi042',-i.5,-i.52,i0A(-6),ii)牛頓法：求解方程x3-3x+2=0的一個近似解，給定初值為1.2,誤差不超過10-6。function[p1,err,k,y]=newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)p0,feval('f1041',p0)fork=1:max1p1=p0-feval('f1041',p0)/feval('df1041',p0);err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval('f1041',p1)if(err<delta)|(y==0),break,endp1,err,k,y=feval('f1041',p1)end先用m文件定義兩個名為f1014.m和df1041.m的函數(shù)文件functiony=f1041(x)y=xA4-4*x+2;functiony=df1041(x)y=4*xA3-4;建立一個主程序prog1041.mclearnewton('f1041',‘df1041’,1.2,10A(-6),18)二分法：functioner_fen(f,a,b,esp);f1=subs(f,a);f2=subs(f,b);iff1*f2>0disp('該方程在【a,b】上無解’)；elseiff1==0root=a;elseiff2==0root=b;elsea0=a;b0=b;A=[];whileabs((b0-a0)/2)>=esphalf=(a0+b0)/2;fa=subs(f,a0);fb=subs(f,b0);fhalf=subs(f,half)；iffhalf==0root=half;break;elseiffa*fhalf<0b0=half;elsea0=half;endA=[A,half];endroot=(b0+a0)/2;endrootA4.3結(jié)果分析迭代法：在命令窗口輸入：clcclearallfixpt('f1021’,0.5,10N-5),20)運行結(jié)果如下：k=2err=0.4589k=3err=0.1052k=4err=0.0292k=5err=0.0078k=6err=0.0021k=7err=5.7408e-004k=8err=1.5525e-004k=9err=4.1975e-005k=10err=1.1350e-005k=11err=3.0688e-006ans=0.8767割線法：在命令窗口輸入：clcclearsecant('f1042',-1.5,-1.52,10N-6),11)運行結(jié)果如下：牛頓法：在命令窗口輸入：clearnewton('f1041','df1041',1.2,10八(-6),18)運行結(jié)果如下：p0=1.2000ans=-0.7264p1=1.4495err=0.2495k=1y=0.6160pl=1.4495err=0.2495k=1y=0.6160p1=1.3741err=0.0753k=2y=0.0690p1=1.3741err=0.0753k=2y=0.0690p1=1.3633err=0.0108k=3y=0.0013p1=1.3633err=0.0108k=3y=0.0013p1=1.3631err=2.1510e-004k=4y=5.1591e-007p1=1.3631err=2.1510e-004k=4y=5.1591e-007p1=1.3631err=8.4146e-008k=5y=7.9048e-014ans=1.3631二分法：在命令窗口輸入：symsx;er_fen(sin(x),-2,1,1.0e-2)運行結(jié)果如下：4.4設(shè)計總結(jié)求解非線性方程的問題有以下幾種基本方法。二分法簡單易行，但收斂較慢，僅有線性收斂速度。而且該方法不能用于求偶數(shù)重根或復(fù)根，但可以用來確定迭代法的初始值。牛頓法是方程求根中常用的一種迭代方法，它除了具有簡單迭代法的優(yōu)點外，還具有二階收斂速度(在單根鄰近處)的特點，但牛頓法對初始值選取比較苛刻(必須充分靠近方程的根)否則牛頓法可能不收斂。根據(jù)二分法求解非線性方程根的原理，將所求方程根所在的區(qū)間平分為兩個小區(qū)間，在判斷根屬于哪個小區(qū)間；把有根的小區(qū)間再平分為二，再判斷根所在的更小的區(qū)間對分；重復(fù)這一過程，最后求出所要的近似值。當(dāng)所分的小區(qū)間的間距越小的時候，得出的方程根結(jié)果就越精確，其原因就是所分的小區(qū)間間距越小，則就越接近方程等于0的根。所以最后的結(jié)果的精度越高，得到的誤差越?。欢鴮τ诤唵蔚?，只有在滿足一定條件的情況下，才能求解出在區(qū)間上有唯一根使迭代序列收斂于。根據(jù)牛頓迭代法的原理，求解出非線性方程根的結(jié)果可以看出，牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到比較精確的解，并不像簡單迭代法，需要迭代多次才能解出較為精確的結(jié)果，但是用牛頓迭代法求解時選定的初值要接近方程的解，否則可能得不到收斂的結(jié)果。同時，牛頓迭代法計算量也會相對較大些。割線法，用選定的兩個初值點所對應(yīng)的函數(shù)值連接作弦，用此弦與軸的交點橫坐標(biāo)作為方程根的近似值。按此方法進行迭代計算，直到滿足精度要求為止。設(shè)計題十二常微分方程的數(shù)值解法及Matlab實現(xiàn)問題思路與設(shè)計思路歐拉方法是解常微分方程初值問題最簡單最古老的一種數(shù)值方法，其基本思路就是把df=f(x,y)中的導(dǎo)數(shù)項df用差商逼近，從而將一個微分方程轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)方程，以便求解。龍格-庫塔方法的基本思路是想辦法計算f(x,y)在某些點上的函數(shù)值，然后對這些函數(shù)值做數(shù)值線性組合，構(gòu)造出一個近似的計算公式；再把近似的計算公式和解的泰勒展開式相比較，使得前面的若干項相吻合，從而達到較高的精度。5.2程序清單(1)歐拉法：創(chuàng)建M文件euler.mfunction[x,y]=euler1(fun,x0,xfinal,y0,n)ifnargin<5,n=50;endh=(xfinal-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:nx(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));end定義函數(shù)方程組中的函數(shù)f1,創(chuàng)建f1.m文件functionf=f1(x,y)f=y-2*x/y在matlab命令窗口輸入：(2)龍格-庫塔方法：function[]=LGKT(h,x0,y0,X,Y)formatlongh=input('h=');x0=input('x0=');y0=input('y0=');disp('輸入的范圍是：?)；X=input('X=');Y=input('Y=');n=round((Y-X)/h);i=1；x1=0；k1=0；k2=0;k3=0;k4=0;fori=1:1:nx1=x0+h;k1=-X0*y0八2；k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)A2);k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)A2);k4=(-(x1)*(y0+h*k3)A2);y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x0A2);fprintf('結(jié)果=%.31％.71％.7「口'不1,丫1,丫)；endend結(jié)果分析(1)歐拉法在matlab命令窗口輸入：plot(x,y,'r*-'，x,sqrt(1+2*x),'g+--‘；xlabel('x’);ylabel('y');title('y=y-2x/y'川egend('數(shù)值解‘，‘精確解‘)運行結(jié)果如下：h=0.25x0=0y0=2運行結(jié)果如下:LGKTh=0.25x0=0y0=2h=0.25x0=0y0=2輸入的范圍是：X=0Y=5結(jié)果=0.250,1.8823080,1.8823529結(jié)果=0.500,1.5998962,1.6000000結(jié)果=0.750,1.2799478,1.2800000結(jié)果=1.000,1.0000271,1.0000000結(jié)果=1.250,0.7805556,0.7804878結(jié)果=1.500,0.6154594,0.6153846結(jié)果=1.750,0.4923742,0.4923077結(jié)果=2.000,0.4000543,0.4000000結(jié)果=2.250,0.3299396,0.3298969結(jié)果=2.500,0.2758952,0.2758621結(jié)果=2.750,0.2336023,0.2335766結(jié)果=3.000,0.2000200,0.2000000結(jié)果=3.250,0.1729886,0.1729730結(jié)果=3.500,0.1509558,0.1509434結(jié)果=3.750,0.1327899,0.1327801結(jié)果=4.000,0.1176550,0.1176471結(jié)果=4.250,0.1049245,0.1049180結(jié)果=4.500,0.0941229,0.0941176結(jié)果=4.750,0.0848850,0.0848806結(jié)果=5.000,0.0769267,0.0769231設(shè)計總結(jié)常微分方程在科學(xué)技術(shù)和工程中占有重要的地位，這里主要應(yīng)用的是歐拉方法、龍格庫塔法。它們都是都是采用單步法求常微分方程的數(shù)值解。從構(gòu)造過程看來，它們互相聯(lián)系但它們又互有差異，它們的精度不同，在每步的迭代過程產(chǎn)生的誤差不一樣。一般來說，歐拉方法較大，而龍格庫塔法法產(chǎn)生的誤差較小。因此，我們可以根據(jù)實際的需要，采取不同的方法求常微分方程的數(shù)值解。數(shù)值分析課程設(shè)計總結(jié)通過此次課程設(shè)計，使我更加扎實的掌握了 方面的知識，在設(shè)計過程中雖然遇到了一些問題，但經(jīng)過一次又一次的思考，一遍又一遍的檢查終于找出了原因所在，也暴露出了前期我在這方面的知識欠缺和經(jīng)驗不足。實踐出真知，通過親自動手制作，使我們掌握的知識不再是紙上談兵。由于能力有限，部分功能尚未實現(xiàn)，但是我想至少我做了，也掌握了不少課外的知識。過而能改，善莫大焉。在課程設(shè)計過程中，我們不斷發(fā)現(xiàn)錯誤，不斷改正，不斷領(lǐng)悟，不斷獲取。最終的檢測調(diào)試環(huán)節(jié)，本身就是在踐行“過而能改，善莫大焉”的知行觀。這次課程設(shè)計終于順利完成了，在設(shè)計中遇到了很多問題，最后在老師的指導(dǎo)下，終于游逆而解。在今后社會的發(fā)展和學(xué)習(xí)實踐過程中，一定要不懈努力，不能遇到問題就想到要退縮，一定要不厭其煩的發(fā)現(xiàn)問題所在，然后一一進行解決，只有這樣，才能成功的做成想做的事，才能在今后的道路上劈荊斬棘，而不是知難而退，那樣永遠不可能收獲成功，收獲喜悅，也永遠不可能得到社會及他人對你的認可！課程設(shè)計誠然是一門專業(yè)課，給我很多專業(yè)知識以及專業(yè)技能上的提升，同時又是一門講道課，一門辯思課，給了我許多道，給了我很多思，給了我莫大的空間。同時，設(shè)計讓我感觸很深