現(xiàn)代通信傅立葉變換

現(xiàn)代通信傅立葉變換第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三=函數(shù)信號(hào)類型1周期函數(shù)f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T為周期

2隨機(jī)函數(shù)3連續(xù)—離散函數(shù)1信號(hào)4模擬—數(shù)字第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三典型信號(hào)1正弦、余弦

2方波3階躍信號(hào)1信號(hào)4單位矩形脈沖5δ信號(hào)第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三1．?dāng)?shù)學(xué)表述周期函數(shù)f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T為周期

則可表示為傅立葉級(jí)數(shù)求和表示法①

其中（n=0，1，2…）

（n=1，2…）

*給定函數(shù)形式f(t)，就可以計(jì)算各級(jí)系數(shù)an、bn。2傅立葉級(jí)數(shù)第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三第二種表示法②

其中：第三種表示法③（復(fù)數(shù)表示）其中：（n=1，2…）（n=0，±1，±2…）第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三2．物理意義：

周期性變化的物理量等效于一組正弦變化的物理量分別單獨(dú)作用后的線性疊加第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三周期性方波的傅立葉級(jí)數(shù)周期性方波的函數(shù)可表示為-T/20T/2At例題：第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三傅立葉級(jí)數(shù)：

數(shù)學(xué)表述周期函數(shù)f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T為周期

則可表示為傅立葉級(jí)數(shù)求和其中（n=0，1，2…）

（n=1，2…）

*給定函數(shù)形式f(t)，就可以計(jì)算各級(jí)系數(shù)an、bn。第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三周期性方波可以看成有許多正弦波疊加而成。*逐步逼近理想方波。第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三MatLab軟件繪圖第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三

周期性變化的物理量在線性系統(tǒng)中的作用，等效于一組正弦變化的物理量分別單獨(dú)作用后的線性疊加。例如：周期性電信信號(hào)輸入一個(gè)線性電路，其輸出信號(hào)可以根據(jù)正弦信號(hào)的求解方式去處理。例如：鋸齒波信號(hào)：3頻譜分析

一）、傅立葉級(jí)數(shù)

1）．物理意義：

第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三其時(shí)域波形：其頻域分布：*以上圖形為20KHz占空比70%鋸齒波信號(hào)時(shí)域波形和頻域分布。縱軸為歸一化幅度。*MatLab軟件應(yīng)用（10KHz）

（ms）

第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三其中：（n=0，±1，±2…）2）.復(fù)數(shù)表示第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三正弦變化的物理量可以表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸上投影(u=u0cosωt)。也可以看成兩個(gè)互為反向同頻旋轉(zhuǎn)的矢量疊加?！嘧儞Q中必然出現(xiàn)負(fù)頻率的數(shù)學(xué)表述。（雙邊帶現(xiàn)象）3）.負(fù)頻率的物理意義第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)理論證明：“一個(gè)實(shí)函數(shù)的傅立葉變換F（ω）=F（-ω）”物理量一般都是實(shí)函數(shù)，滿足F（ω）=F（-ω），頻域上為偶函數(shù)?！嗤ㄐ畔到y(tǒng)只需考慮信號(hào)一個(gè)邊帶就可以了解整個(gè)信號(hào)的全部特點(diǎn)。第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三信號(hào)的頻譜可以用儀器觀測(cè)信號(hào)源f(t)示波器頻譜儀*頻譜儀只觀測(cè)到正頻譜。*頻譜儀往往給出信號(hào)的功率譜。第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三ⅰ當(dāng)f(t)=f(-t)(偶函數(shù))，則bn=0，只含余弦項(xiàng)（ancos(2nπt/T)）。當(dāng)f(t)=-f(-t)(奇函數(shù))，則an=0，只含正弦項(xiàng)（bnsin(2nπt/T)）。ⅱ若f(t+T/2)=-f(-t)（奇諧函數(shù)）則n=2k+1其中k=0，1，2，…只含奇次諧波若f(t+T/2)=f(-t)（偶諧函數(shù)）則n=2kk=1，2，…只含偶次諧波4）．傅立葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)和物理特點(diǎn)：第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三iii.頻率間隔iv.周期性函數(shù)的頻譜是離散的。若f(t)=f(t+nT)則傅立葉變換：其中：各個(gè)頻譜的頻率數(shù)值：第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三

*利用δ（t）函數(shù)描述周期信號(hào)的頻譜*可見，Cn是一個(gè)具體數(shù)值（取決于積分）*n=±N∴求和中出現(xiàn)函數(shù)的頻譜可以寫成離散函數(shù)第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三*其特點(diǎn)是基頻的整數(shù)倍。*n=0為直流成分；n=1為基頻成分；*n的其他數(shù)值為信號(hào)的高頻成分（諧波分量）。*T越?。l率越高），則頻譜間隔越寬。而T越大（頻率越低），則頻譜間隔越窄。（由此可以引出傅立葉積分）第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三v.離散序列的頻譜是周期性函數(shù)。本節(jié)重點(diǎn)： ①周期函數(shù)可以用展開，（為頻譜）

②周期函數(shù)的頻譜是離散的

第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三練習(xí)：計(jì)算余弦函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)已知：求：解：其中，且∴第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三其中同理：∴Cn

=

第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三考慮到余弦函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)此函數(shù)只有當(dāng)n=±1時(shí)不為零！∴C±1=A/2

Cn=0（n≠±1）此式說明：(1)余弦函數(shù)的頻譜是兩條孤立譜線(2)譜線對(duì)應(yīng)頻率±ω0

ω-ω00ω0A/2第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三(3)余弦函數(shù)的頻譜可以寫成第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三非周期信號(hào)可看成的一種周期的極限函數(shù)。即：頻率間隔

。級(jí)數(shù)求和轉(zhuǎn)化為積分。

二）．傅立葉積分變換第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三

時(shí)域函數(shù)timedomain頻域函數(shù)frequencydomain

*有時(shí)采用為系數(shù)，以示f(t)與對(duì)稱性。定性討論時(shí)系數(shù)常常忽略！

1）．?dāng)?shù)學(xué)描述第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三ⅰ）非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的函數(shù)。

ⅱ）F（ω）dω是頻率ω的幅度，∴F（ω）為頻譜密度。ⅲ）信號(hào)以f（t）表述或用F（ω）表述是等效的。（怎么方便怎么用）

*當(dāng)頻域函數(shù)是f(ω

)，則F(-t)就是原函數(shù)。2）．物理意義第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三例：幾種常用的變換關(guān)系

?。┓讲?/p>

經(jīng)過傅里葉變換At-τ/2τ/2第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三%Sinc函數(shù)的圖像%簡單程序A=1;ta=1;w=sym('w');t0=5;fplot('sin(2*pi*w/2)/(2*pi*w/2)',[0,t0],'r');%ezplot(sin(w)/w,[0,15]);holdonfplot('0*w',[0,t0]);MatLab軟件Sinc函數(shù)圖像的例程第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三*時(shí)

，得到第一零點(diǎn)。此時(shí)此變換有如下特性*τ越大（時(shí)域），2π/τ越窄（頻域）τ越小，則2π/τ越寬。

第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三ⅱ）沖擊函數(shù)其特點(diǎn)：及其傅里葉變換：ⅲ）書P27表2-1給出許多常用函數(shù)的傅里葉變換。用時(shí)可以查表。第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三*時(shí)移特性：

（左+、右-）振幅不變；相位移動(dòng)。

*頻移特性：

（時(shí)域看相當(dāng)于調(diào)制）

*微分、積分特性（參見書P28表2-2）3）.傅里葉變換的特性第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三對(duì)于周期信號(hào)宜由功率譜描述其中，f(t)為復(fù)函數(shù)，∴∣f(t)∣2=f(t)f*(t)相應(yīng)的傅立葉變換4.功率譜和能量譜

1）.功率譜：第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三由e指數(shù)積分的正交特性平均功率可以寫成*∣C∣2即為周期信號(hào)的功率譜*怕什瓦爾定理：周期信號(hào)的平均功率與信號(hào)各諧波分量的平方和成正比*信號(hào)的總功率可以看成各個(gè)諧波分量單獨(dú)作用的總和。（線性電路有效）第三十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期三對(duì)于非周期信號(hào)宜由能量譜描述