線性系統(tǒng)的頻域分析方法

線性系統(tǒng)的頻域分析方法第一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三控制系統(tǒng)中的信號可表示為不同頻率正弦信號的合成。系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。用頻率特性研究線性系統(tǒng)的方法稱為頻域分析法。特點：

1)系統(tǒng)及元部件的頻率特性可用解析法和實驗法獲得。在其基礎(chǔ)上,系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計可用圖解法進(jìn)行。

2)頻率特性物理意義明確。各階系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)間有確定或近似的對應(yīng)關(guān)系。

3)控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計可兼顧動態(tài)響應(yīng)和抑制噪聲兩方面的要求。4)不僅適用于線性系統(tǒng)，還可以推廣應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。第二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三5-1頻率特性1基本概念圖示RC網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電容C的初始電壓為uo0，取輸入信號為正弦信號RC網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動微分方程為T=RC為時間常數(shù)上式取拉氏變換，并代入初始條件uo(0)=uo0代入再由拉氏逆變換第三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三上式第二項上式第一項有三個極點第四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三故1因此第五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三第一項隨時間增長而趨于零，為輸出的瞬態(tài)分量；第二項為輸出的穩(wěn)態(tài)分量。令

A(ω)和(ω)為輸入正弦信號頻率ω的函數(shù)，反映RC網(wǎng)絡(luò)在正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量幅值和相位的變化。幅值比相位差第六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三輸入信號穩(wěn)態(tài)輸出

RC網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍為正弦信號，頻率與輸入信號的頻率相同，幅值較輸入信號有衰減，相位存在延遲。RC網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)取s=jω代入由故1觀察：A(ω)和(ω)分別為G(jω)的幅值|G(jω)|和相角∠G(jω).具普遍性第七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三綜上頻率特性的指數(shù)表達(dá)形式當(dāng)輸入為正弦信號時，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻的正弦信號。輸出幅值與輸入幅值之比A(ω)稱為幅頻特性；相角之差(ω)稱為相頻特性。兩者之和稱為頻率特性。頻率特性也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式。求法：①解析法：②實驗法：輸入端施加不同頻率的正弦信號，測量系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，再根據(jù)幅值比和相位差作出系統(tǒng)的頻率特性曲線。第八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三2頻率特性的幾何表示(1)幅相頻率特性曲線(Nyquist圖，極坐標(biāo)圖)將頻率特性表示為復(fù)平面上的向量，其長度為A(ω)，向量與正實軸夾角為(ω)，則ω變化時，相應(yīng)向量的矢端曲線即為幅相曲線。

G(jω)=A(ω)ej(ω)，G(-jω)=A(ω)e-j(ω)ω：0→+∞和ω：0→-∞的幅相曲線關(guān)于實軸對稱只繪制ω從零變化至+∞的幅相曲線。用箭頭表示ω增大時幅相曲線變化方向?qū)τ赗C網(wǎng)絡(luò)(ω)A(ω)幅相曲線為一半圓A(ω)偶,(ω)奇第十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(2)對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻曲線兩部分，分別畫在半對數(shù)坐標(biāo)系上①對數(shù)幅頻特性曲線：橫坐標(biāo)：lgω，按常用對數(shù)分度?？v坐標(biāo)：L(ω)=20lgA(ω)，按線性分度。單位為分貝(dB).變量每變化10倍(十倍頻程dec),坐標(biāo)間距離變化一個單位長度。橫坐標(biāo)對數(shù)分度，縱坐標(biāo)線性分度，稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。②對數(shù)相頻特性曲線：橫坐標(biāo)：常用對數(shù)分度，同上。縱坐標(biāo)：(ω),線性分度，單位為度(?).第十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三0.010.01RC網(wǎng)絡(luò)T=0.5時的對數(shù)頻率特性曲線原點不為零，不定在對數(shù)坐標(biāo)上確定點第十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

在對數(shù)頻率特性曲線中，橫坐標(biāo)ω1和ω2之間的距離為lgω2-lgω1,連接兩點(ω1,L(ω1))和(ω2,L(ω2))的直線方程L(ω2)-L(ω1)=k(lgω2-lgω1)k(dB/dec)為直線斜率+20dB/dec第十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(3)對數(shù)幅相曲線(Nichols圖)縱坐標(biāo)為L(ω)，單位分貝(dB)，橫坐標(biāo)為(ω)，單位度

(?)，均為線性分度，頻率ω為參變量。RC網(wǎng)絡(luò)T=0.5時的Nichols圖第十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三5-2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性曲線繪制

根據(jù)零極點，將開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式分解成因式，再將因式分類，得到典型環(huán)節(jié)。1典型環(huán)節(jié)開環(huán)系統(tǒng)可表示為若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值相乘，相角相加第十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和相頻特性系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成開環(huán)對數(shù)頻率特性為諸典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的疊加

典型環(huán)節(jié)分為兩大類。最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)。由最小相位環(huán)節(jié)構(gòu)成的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，而含有非最小相位環(huán)節(jié)(包括延遲環(huán)節(jié))的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。第十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三最小相位環(huán)節(jié)：非最小相位環(huán)節(jié):非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于其零極點在s平面的位置。特點:某個參數(shù)的符號相反除積分微分外，最小相位環(huán)節(jié)有對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)第十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三設(shè)有兩個系統(tǒng)和顯然前者為非最小相位系統(tǒng)，后者為最小相位系統(tǒng)。從Bode圖上知，它們之間的幅頻特性相同,但存在著不同的相頻特性，其中相位變化范圍最小的即是最小相位系統(tǒng)。

最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的一個重要特征：給定了其幅頻特性，也就決定了相頻特性，反之亦然。第十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三2典型環(huán)節(jié)的頻率特性(1)典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線①比例環(huán)節(jié)②積分環(huán)節(jié)第十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三③微分環(huán)節(jié)④慣性環(huán)節(jié)1/T：交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線第二十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三⑤一階微分環(huán)節(jié)1⑥二階振蕩環(huán)節(jié)第二十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三ωn為交接頻率對數(shù)幅頻漸近線求諧振峰值令時(a)諧振頻率(b)時A(ω)單調(diào)，無諧振頻率第二十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三將ωr代入A(ω)表達(dá)式，求得諧振峰值時ζ=0第二十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三⑦二階微分環(huán)節(jié)第二十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三工程上為簡便，常用對數(shù)幅頻漸近線，但存在誤差慣性環(huán)節(jié)誤差曲線振蕩環(huán)節(jié)誤差曲線需要時，根據(jù)誤差曲線，可修正漸進(jìn)特性曲線，獲得準(zhǔn)確值。第二十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三⑧延遲環(huán)節(jié)輸出量毫不失真地復(fù)現(xiàn)輸入量，但時間上存在延遲τ的環(huán)節(jié)根據(jù)拉氏變換的位移定理故延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)因此延遲環(huán)節(jié)的頻率特性為幅相曲線是個圓，圓心在原點，半徑為1.對數(shù)相頻曲線中,

越大，相角遲后越大。第二十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三冪級數(shù)展開串聯(lián)延遲環(huán)節(jié)對系統(tǒng)開環(huán)頻率特性影響幅值不變，相角滯后順時針為負(fù)延遲環(huán)節(jié)串聯(lián)在系統(tǒng)中，則G(s)的分子有正根，有開環(huán)零點位于s右半平面。a,b,c均為正值含有延遲環(huán)節(jié)為非最小相位系統(tǒng)第二十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(2)典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的若干特點①最小相位和對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)非最小相位慣性環(huán)節(jié)慣性非慣性慣性非慣性幅頻特性相同，相頻特性相反對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻曲線關(guān)于0°線對稱。幅相曲線關(guān)于實軸對稱；由此可繪制出與前述最小相位環(huán)節(jié)相應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)頻率特性曲線，見教材第二十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三②傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)設(shè)有下述關(guān)系成立且則對數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對稱，對數(shù)相頻曲線關(guān)于0°線對稱。慣性慣性一階微分一階微分振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)類似，見教材。第二十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三3開環(huán)幅相曲線繪制用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般只需概略地繪制。三要素：(1)起點(ω=0+)和終點(ω=∞)(2)與實軸和虛軸的交點特別是和負(fù)實軸的交點令I(lǐng)m[G(jωx)H(jωx)]=0①與實軸交點可得滿足此式的ωx穿越頻率當(dāng)ωx>0時，Re[G(jωx)H(jωx)]為幅相曲線和實軸交點。②與虛軸交點類似地，令Re[G(jω)H(jω)]=0,可得幅相曲線和虛軸交點。(3)開環(huán)幅相曲線的變化范圍(象限、單調(diào)性、漸近線等)第三十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。例設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性第三十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三易得

給定0+到+∞一系列ωi(i=1,2,…)，依Re[G(jωi)H(jωi)]和Im[G(jωi)H(jωi)],或A(ωi)和(ωi)。在復(fù)平面中畫出這些點，并連成曲線即可得到幅相曲線圖。

此外，觀察該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由四個典型環(huán)節(jié)組成：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)。系統(tǒng)頻率特性第三十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三其中幅值變化相角變化由此可確定曲線起點和終點起始點處漸進(jìn)線：第三十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三與實軸交點令舍去于是與實軸交點與虛軸無交點(除終點)

由此作系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線，虛線為幅相曲線的低頻漸近線。第三十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為可知兩者不為0，與實虛軸無交點

開環(huán)系統(tǒng)可分解為四個典型環(huán)節(jié):比例環(huán)節(jié)G1，積分環(huán)節(jié)G2，慣性環(huán)節(jié)G3和等幅(ζ=0)振蕩環(huán)節(jié)G4.第三十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三對于各典型環(huán)節(jié)有：故開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為：第三十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三起點終點開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié),ω趨于ωn時,A(ωn)趨于無窮大而在ωn附近的相頻特性注意頻率在ωn附近：說明(ω)在ω=ωn的附近，相角突變-180°,幅相曲線在ωn處呈現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線如圖。第三十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三總結(jié)繪制幅相曲線的規(guī)律(最小相位系統(tǒng))：

1)開環(huán)幅相曲線的起點，取決于比例環(huán)節(jié)K和系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)v(型別)v

<0,起點為原點v

=0,起點為實軸上的點K處v

>0,起點為v×(-90?)的無窮遠(yuǎn)處第三十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

2)開環(huán)幅相曲線的終點，取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子多項式的階次m、分母多項式的階次n(一般n>m)。3)若開環(huán)系統(tǒng)存在l個等幅振蕩環(huán)節(jié),即開環(huán)傳遞函數(shù)為相角在ωn附近突變-l×180?l=1時第三十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三4開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)作典型環(huán)節(jié)分解后根據(jù)可先作出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線，然后采用疊加方法繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)要求繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的Bode圖.解：首先將G(s)中的各因式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式的典型環(huán)節(jié)(常數(shù)項為1的形式)系統(tǒng)可看作4個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)：比例環(huán)節(jié)G1，一階微分環(huán)節(jié)G2,慣性環(huán)節(jié)G3,慣性環(huán)節(jié)G4.第四十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三20lg245?-45?

分別在半對數(shù)坐標(biāo)上繪制4個典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線,如圖(a)和(b)的曲線1,2,3,4所示。在其基礎(chǔ)上采用疊加方法可得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。相頻曲線也可取若干頻率點,列表計算各點相角并標(biāo)注在坐標(biāo)圖中，最后將各點光滑連接。第四十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三工程上，常用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性線。研究其繪制方法任意開環(huán)傳遞函數(shù)，其組成的各典型環(huán)節(jié)分為三部：(1)比例、積分、微分環(huán)節(jié)或?qū)?shù)幅頻特性曲線本身即為直線斜率為-20νdB/dec通常取點：(1,20lgK)

(2)一階環(huán)節(jié)，包括慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)以及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為1/T，斜率為±20dB/dec

(3)二階環(huán)節(jié)，包括振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)以及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為ωn，斜率為±40dB/dec過點：(ω0,L(ω0))第四十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

記ωmin為最小交接頻率,稱ω＜ωmin時為低頻段。開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線的繪制步驟：(1)開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；(2)確定一階、二階環(huán)節(jié)的各交接頻率，并標(biāo)注在ω軸上；(3)繪制低頻段漸近特性線由于一階、二階環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸近線在其交接頻率前斜率為0dB/dec，并在交接頻率處斜率發(fā)生變化。故在低頻段，開環(huán)幅頻漸近特性取決于比例和積分、微分環(huán)節(jié)。斜率為-20νdB/dec過點：(1,20lgK)若1>ωmin,則點(1,20lgK)在低頻漸近線的延長線上。(4)繪制ω≥ωmin頻段的漸近特性線第四十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三在ω≥ωmin頻段,系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性線為分段折線。每兩個相鄰交接頻率間為直線,交接頻率點處,斜率發(fā)生變化。過(非最小相位)慣性環(huán)節(jié)交接頻率，斜率減小20dB/dec過(非最小相位)一階微分環(huán)節(jié)交接頻率，斜率增加20dB/dec過(非最小相位)振蕩環(huán)節(jié)交接頻率，斜率減小40dB/dec過(非最小相位)二階微分環(huán)節(jié)交接頻率，斜率增加40dB/dec多個環(huán)節(jié)有相同交接頻率時，斜率的變化為各個環(huán)節(jié)對應(yīng)變化值的代數(shù)和。總體：以-20νdB/dec為起始直線，交接頻率處斜率變化的分段折線。第四十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三例5-6已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線。解：開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解形式為開環(huán)系統(tǒng)由六個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：非最小相位比例環(huán)節(jié)，兩個積分環(huán)節(jié),非最小相位一階微分,慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)。第四十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三1)確定各交接頻率ωi,i=1,2,3及斜率變化值最小交接頻率ωmin=ω1=1.2)繪制低頻段(ω<ωmin)漸近特性曲線

因為ν=2，則低頻漸近線斜率k=-20ν=-40dB/dec.K=1020lgK=20lg10=20故過點(1,20dB)第四十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三3)繪制ω≥ωmin頻段的漸近特性線系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖。第四十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三5傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定由實驗獲得Bode圖最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)逆問題

例5-7實驗獲得的某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線(實線)及其漸近特性曲線(虛線)，試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。ωr解1)低頻漸近線斜率-20vdB/dec，圖為+20dB/dec，故v=-1,有一個微分環(huán)節(jié)。2)有兩個交接頻率：ω1處：斜率變化-20dB/dec慣性環(huán)節(jié)ω2處：斜率變化-40dB/dec振蕩或重慣性環(huán)節(jié)有諧振，振蕩環(huán)節(jié)第四十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三故系統(tǒng)傳遞函數(shù)3)確定參數(shù)根據(jù)直線方程ωr點(1,0)代入K=1ω1,ω2,ζ,K待定低頻段方程直線上兩點(1,0)和(ω1,12)直線斜率20dB/dec再給直線上兩點(100,0)和(ω2,12)直線斜率-40dB/dec第四十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三本例中20lgMr=20-12=8(dB)解得ζ=0.204(舍去另一根ζ=0.979,因此時無諧振峰值)故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)確定為諧振頻率ωr處，振蕩環(huán)節(jié)諧振峰值ωr故有根據(jù)疊加性質(zhì)第五十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三5-3頻率域穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便，應(yīng)用廣泛。1奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(1)幅角原理

設(shè)s為復(fù)變量，F(xiàn)(s)為s的有理分式函數(shù)(即兩個s多項式比的形式)。對于s平面上任意一點s，經(jīng)復(fù)變函數(shù)F(s)的映射，在F(s)平面上可確定關(guān)于s的象。

將F(s)的零極點標(biāo)注在s平面上，并在s平面上任選一條閉合曲線Γ，Γ不通過F(s)的任一零點和極點。復(fù)變函數(shù)的幅角原理還要選擇輔助函數(shù)和閉合曲線第五十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三AF(A)幅角原理：設(shè)s平面閉合曲線Γ包圍F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿Γ順時針運(yùn)動一周時,在F(s)平面上閉合曲線ΓF包圍原點的圈數(shù)[F]平面[s]平面R<0和R>0分別表示ΓF順時針包圍和逆時針包圍F(s)平面的原點，R=0表示不包圍F(s)平面的原點。復(fù)變量s從閉合曲線Γ上任一點A起，順時針沿Γ運(yùn)動一周，再回到A點，則相應(yīng)地，F(xiàn)(s)平面上亦從點F(A)起，到F(A)點止亦形成一條閉合曲線ΓF

.第五十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(2)復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇穩(wěn)定性判定是在已知開環(huán)傳遞函數(shù)的條件下進(jìn)行的，故選擇F(s)特點：

1)F(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，F(xiàn)(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；

2)開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階次(n≥m)，故F(s)的零點和極點數(shù)相同；第五十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

3)s沿閉合曲線Γ運(yùn)動一周所產(chǎn)生的兩條閉合曲線ΓF和ΓGH只相差常數(shù)1，即閉合曲線ΓF可由ΓGH沿實軸正方向平移一個單位獲得。故閉合曲線ΓF包圍F(s)平面原點的圈數(shù)等于閉合曲線ΓGH包圍F(s)平面(-1,j0)點的圈數(shù)。F(s)選取上述形式的優(yōu)點:a.建立了開環(huán)極點和閉環(huán)極點與F(s)零極點間的聯(lián)系;b.建立了閉合曲線ΓF和ΓGH之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。為應(yīng)用幅角原理創(chuàng)造了條件。第五十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(3)s平面閉合曲線Γ的選擇閉環(huán)穩(wěn)定性取決于閉環(huán)極點即F(s)零點的位置，當(dāng)選擇s平面閉合曲線Γ包圍s平面的右半平面時，若z＝0，則閉環(huán)穩(wěn)定。根據(jù)幅角原理，要求閉合曲線Γ不通過F(s)的零極點，故?？扇∠铝袃煞N形式。①G(s)H(s)無虛軸上的極點閉合曲線Γ由兩部分組成第五十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三②G(s)H(s)在虛軸上有極點在前述的基礎(chǔ)上擴(kuò)展，構(gòu)成閉合曲線Γ1)開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)在原點附近，取ε為無窮小即圓心為原點，半徑為無窮小的半圓2)開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)在±jωn附近，取ε為無窮小即圓心為±jωn，半徑為無窮小的半圓(4)G(s)H(s)閉合曲線的繪制設(shè)G(s)H(s)的分子階次m，分母階次n則有第五十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三此處s→0，s→∞，均指其模而言

s平面上的Γ曲線為虛軸再加上半徑為∞的圓弧,而s平面上半徑為∞的半圓弧映射到F(s)平面上只是一個點,它對Γ

GH包圍某點的情況無影響，故只需考慮s平面jω軸經(jīng)G(s)H(s)映射到F(s)平面上的閉合軌跡曲線即可。因G(s)H(s)為實系數(shù)有理分式函數(shù),故閉合曲線ΓGH關(guān)于實軸對稱,因此只需繪制其在Ims≥0，s∈Γ對應(yīng)的曲線段，得到G(s)H(s)的半閉合曲線，稱為奈奎斯特曲線,仍記為ΓGH.故s平面上半徑∞的半圓映射到F(s)平面上為原點或?qū)嵼S上一點；s平面上原點映射到F(s)平面上為半徑∞的半圓弧。第五十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三1)若G(s)H(s)無虛軸上極點F(s)平面的半閉合曲線ΓGH即可認(rèn)為是開環(huán)幅相曲線。2)若G(s)H(s)有虛軸上極點開環(huán)幅相曲線應(yīng)作補(bǔ)充①當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含積分環(huán)節(jié)時從開環(huán)幅相曲線上對應(yīng)于ω=0+,即其起點G(j0+)H(j0+)起，用虛線逆時針補(bǔ)畫半徑為無窮大，v×90?的圓弧至G(j0)H(j0).設(shè)第五十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三②當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)時從開環(huán)幅相曲線上的G(jωn

+)H(jωn+)點起，用虛線逆時針補(bǔ)畫v1×180?，半徑為無窮大的圓弧至G(jωn-)H(jωn-)點。設(shè)第五十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

F(s)平面上的半閉合曲線ΓGH由開環(huán)幅相曲線和根據(jù)開環(huán)虛軸極點所補(bǔ)作的無窮大半徑的虛線圓弧兩部分組成。第六十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(5)閉合曲線ΓF包圍原點圈數(shù)R的計算

根據(jù)半閉合曲線ΓGH可獲得ΓF包圍原點的圈數(shù)R.設(shè)N為ΓGH穿越(-1,j0)點左側(cè)負(fù)實軸的次數(shù),N+表示正穿越的次數(shù)和(從上向下穿越),N-表示負(fù)穿越的次數(shù)和(從下向上穿越),則

R計算示例：(a)A點位于(-1,j0)點左側(cè)，ΓGH從下向上穿越。故N-=1，N+=0，R=-2N-=-2.(b)A點位于(-1,j0)點右側(cè)，N+=N-=0，R=0.說明兩者判斷結(jié)果一致第六十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(c)A,B點均位于(-1,j0)點左側(cè)，A點處一次負(fù)穿越，B點處一次正穿越,故N+=N-=1，R=0.(d)A,B點均位于(-1,j0)點左側(cè)，A點處一次負(fù)穿越，B點處ΓGH從上向下運(yùn)動到實軸并停止,為半次正穿越,故N-=1，N+=1/2,R=-1.(e)A,B點均位于(-1,j0)點左側(cè)，A點對應(yīng)ω=0,隨ω的增大,ΓGH離開負(fù)實軸,為半次負(fù)穿越，B點處為一次負(fù)穿越,故有N-=3/2,N+=0,R=-3.第六十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三2奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是隨著ω的增大，半閉合曲線ΓGH不穿過(-1,j0)點且逆時針包圍臨界點(-1,j0)點的圈數(shù)R等于開環(huán)正實部極點數(shù)P.說明：

1)系統(tǒng)閉環(huán)正實部極點數(shù)當(dāng)P≠R時,Z≠0,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

2)半閉合曲線ΓGH穿過(-1,j0)點，則有即閉環(huán)特征方程存在共軛純虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第六十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三例已知反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)幅相曲線并用奈氏判據(jù)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可知

本例的開環(huán)系統(tǒng)可分解為三個典型環(huán)節(jié):比例環(huán)節(jié)G1，兩個慣性環(huán)節(jié)G2和G3.第六十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三對于各典型環(huán)節(jié)有：故開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為：故開環(huán)幅相曲線的始點和終點：第六十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

任取ω(不含ω=0和ω→∞),Im[G(jω)H(jω)]<0,故幅相曲線與實軸沒有交點。與實虛軸的交點：

令Re[G(jω)H(jω)]=0,得ω=0.141,代入Im[G(jω)H(jω)]表達(dá)式,得到幅相曲線與虛軸的交點為(0,-j4.714).

開環(huán)系統(tǒng)的所有極點都在s的左半平面,P=0.而ΓGH穿越(-1,j0)點左側(cè)負(fù)實軸的次數(shù)N=0,故R=0.根據(jù)以上分析,作系統(tǒng)幅相曲線如圖。半閉合封閉曲線ΓGH不需補(bǔ)作虛線圓弧.根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)極點位于s的右半平面?zhèn)€數(shù)Z=P-R=0,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第六十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

例5-8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線(K=10,P=0,v=1)，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。解：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)幅相曲線與負(fù)實軸有三個交點，設(shè)交點處穿越頻率分別為ω1,ω2,ω3當(dāng)K=10時則K1=5時即K1=5時，幅相曲線在頻率ω1時穿越(-1,j0)點同理K2=20/3,K3=20時，曲線在頻率ω2和ω3時穿越(-1,j0)點.

分別取0<K<K1,K1<K<K2,K2<K<K3和K>K3，做開環(huán)幅相曲線，并按v補(bǔ)作虛圓弧得半閉合曲線ΓGH.第六十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性(P=0)：

開環(huán)傳遞函數(shù)的某參數(shù)改變時，閉環(huán)穩(wěn)定性將發(fā)生變化，稱條件穩(wěn)定系統(tǒng)。K1=5,K2=20/3,K3=20綜上，閉環(huán)穩(wěn)定時K的范圍為(0,5)和(20/3,20).第六十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三3對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)(奈氏判據(jù)在Bode圖應(yīng)用)截止頻率ωc奈氏判據(jù)閉合曲線ΓGH對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)曲線ΓL和Γ穿越(-1,j0)點左側(cè)負(fù)實軸L(ω)>0時,對數(shù)相頻曲線Γ穿越(2k+1)π線(1)等價關(guān)系(2)曲線Γ的確定1)開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上極點時，Γφ等于(ω)曲線2)開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)時，需從對數(shù)相頻特性曲線ω較小且L(ω)＞0的點處向上補(bǔ)作v×90°的虛直線第六十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三3)開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)，需從對數(shù)相頻特性曲線(ωn+)點起向上補(bǔ)作v1×180°的虛直線至(ωn-)處(ω)曲線和補(bǔ)作的虛直線共同構(gòu)成Γ(3)穿越次數(shù)的計算正穿越:在L(ω)>0時,Γ由下向上穿越(2k+1)π線負(fù)穿越:在L(ω)>0時,Γ由上向下穿越(2k+1)π線

正穿越半次：在L(ω)>0時,Γ由下向上止于或由下向上起于(2k+1)π線

負(fù)穿越半次：在L(ω)>0時,Γ由上向下止于或由上向下起于(2k+1)π線第七十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三奈氏判據(jù)和對數(shù)頻率判據(jù)的穿越方式ωc第七十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)極點在s的右半平面的個數(shù)P為開環(huán)極點在s的右半平面的個數(shù)；N為L(ω)>0的范圍內(nèi)，曲線Γ隨ω增大，穿越(2k+1)π(k=0,±1,±2,…)線的次數(shù)例設(shè)一個反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)系統(tǒng)有兩個積分環(huán)節(jié)，故在對數(shù)相頻曲線為0+處，向上補(bǔ)畫了2×90°=180°的虛直線，構(gòu)成曲線Γ解：系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，作出其Bode圖。第七十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三L()()c顯然在L()>0的頻段,曲線Γ隨著ω的增大,負(fù)穿越-180°線一次.根據(jù)G(s)H(s)表達(dá)式，P=0。Z=P-2N=2,故該系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程在右半s平面的根的個數(shù)為2.5-4穩(wěn)定裕度

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可判斷閉環(huán)穩(wěn)定性，還可反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定裕度。開環(huán)頻率特性靠近(-1,j0)點的程度表征了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第七十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三穩(wěn)定裕度包含相角裕度γ和幅值裕度Kg(或h)1相角裕度γ設(shè)ωc為系統(tǒng)的截止頻率,即A(ωc)=1則相角裕度幅相曲線中,從原點到單位圓和曲線交點的連線，與負(fù)實軸的夾角為γ

含義：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，若系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后γ度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。相角穩(wěn)定儲備γ從負(fù)實軸算起，逆時針方向為正，順時針為負(fù)。第七十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三2幅值裕度Kg(或h)幅相曲線與負(fù)實軸交點處的頻率穿越頻率ωg開環(huán)頻率特性在ωg處幅值的倒數(shù)

含義：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，若系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大Kg倍,則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。幅值穩(wěn)定儲備對數(shù)坐標(biāo)下(Bode圖中)，幅值裕度第七十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三a.正相角裕度和幅值裕度(γ>0,KgdB>0)b.負(fù)相角裕度和幅值裕度(γ<0,KgdB<0)求解方法：1圖解法2解析法第七十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三例5-12已知單位反饋系統(tǒng)K分別為4和10時，試求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性根據(jù)ωg和ωc定義K=4時第七十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三K=10時K=4和10的開環(huán)幅相曲線系統(tǒng)開環(huán)P=0，由奈氏判據(jù)知：Κ=4時,閉環(huán)穩(wěn)定Κ=10時,閉環(huán)不穩(wěn)定說明：

(1)最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相角裕度和幅值裕度(dB)都為正時,系統(tǒng)才穩(wěn)定。任何一個裕度為負(fù),都表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)為確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,須同時給出相角裕度和幅值裕度,只用其中一個性能指標(biāo)不足以確定穩(wěn)定性。即半閉合曲線ΓGγ>0,Kg>1,Kg(dB)>0γ<0,Kg<1,Kg(dB)<0-0.5-1.25第七十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

(3)相角和幅值裕度是開環(huán)頻域指標(biāo)，但描述的是閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，它與閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能密切相關(guān)。

(4)設(shè)計系統(tǒng)時，為了使系統(tǒng)具有較好的相對穩(wěn)定性，通常要求相角裕度為30°~70°，幅值裕度大于等于6dB.3開環(huán)對數(shù)頻率特性的三個頻段：定性討論1)低頻段

第一個交接頻率前的頻段(ω<ωmin)，完全由開環(huán)傳遞函數(shù)中的比例和積分、微分環(huán)節(jié)決定。第七十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三

低頻段的斜率絕對值越大(v越大)，位置越高(K越大)，則穩(wěn)態(tài)誤差越小,但要綜合考慮閉環(huán)穩(wěn)定性。2)中頻段截止頻率ωc附近的頻段中頻段反映閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。討論兩種典型情況：(1)中頻段斜率不同，且其占據(jù)頻率區(qū)間較寬時的比較低頻段的頻率特性決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。第八十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三①中頻段斜率為-20dB/dec，且中頻段相當(dāng)長近似開環(huán)L(ω)為-20dB/dec的直線則開環(huán)傳遞函數(shù)對單位負(fù)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)相當(dāng)于一階系統(tǒng)，階躍響應(yīng)沒有振蕩，有較好的穩(wěn)定性。調(diào)節(jié)時間為ts=3/ωc，截止頻率ωc越大，系統(tǒng)快速性越好。系統(tǒng)的γ近90°第八十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三②中頻段斜率為-40dB/dec，且中頻段相當(dāng)長近似開環(huán)L(ω)為-40dB/dec的直線則開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的γ很小對單位負(fù)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)相當(dāng)于零阻尼(ζ=0)的二階系統(tǒng)。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，動態(tài)過程持續(xù)等幅振蕩。中頻段斜率更小(如-60dB/dec),系統(tǒng)就難以穩(wěn)定。第八十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三(2)中頻段斜率相同，但其長度不同的比較

設(shè)二個最小相位系統(tǒng),其中頻段的斜率都是-20dB/dec，但長度不同，其余部分完全相同。(a)(b)線段較長的系統(tǒng)(a)的相角裕度大于短的系統(tǒng)(b)的相角裕度第八十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三綜上：中頻段斜率最好為-20dB/dec，且其長度盡可能長些，以確保有足夠的相角裕度。若中頻段的斜率為-40dB/dec，其占據(jù)的頻率范圍不宜過長,否則γ會很小。若中頻段斜率更小(如-60dB/dec)，系統(tǒng)就難以穩(wěn)定。截止頻率ωc越高,系統(tǒng)快速性也就越好。3)高頻段中頻段以后的頻段此頻段L(ω)<<0或A(ω)<<1故閉環(huán)幅值特性近似等于開環(huán)幅值特性高頻段反映系統(tǒng)對輸入端高頻干擾信號的抑制能力，其分貝數(shù)越低，抗干擾能力越強(qiáng)。第八十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三5-5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)1控制系統(tǒng)的頻帶寬度幅頻特性M(ω)下降到0.707M(0)(或ω=0時分貝值以下3分貝時)，對應(yīng)的頻率b稱為帶寬頻率?？刂葡到y(tǒng)的性能指標(biāo)：時域性能指標(biāo)和頻域性能指標(biāo)時域指標(biāo)直觀實際中,常用頻域指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)，易實現(xiàn)設(shè)Φ(jω)為閉環(huán)頻率特性20lgM(0)頻率范圍(0,b)稱為系統(tǒng)的帶寬含義:高于頻率b的輸入信號衰減大,低于b的信號很好地通過.第八十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三一階和二階系統(tǒng)，帶寬和系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系明確。設(shè)一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)幅頻且有則一階系統(tǒng)帶寬和時間常數(shù)T成反比第八十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)幅頻特性按帶寬定義則二階系統(tǒng)的帶寬與自然頻率n成正比，與阻尼比ζ成反比第八十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)頻帶越寬則響應(yīng)速度越快。對任意階次的系統(tǒng)此關(guān)系都成立。

帶寬是頻域中一項重要指標(biāo)。帶寬大的系統(tǒng)，響應(yīng)快，跟蹤控制信號的能力強(qiáng)；但抑制輸入端高頻干擾的能力弱。設(shè)計中應(yīng)折衷考慮開環(huán)指標(biāo)c和閉環(huán)指標(biāo)b密切相關(guān)兩系統(tǒng)穩(wěn)定程度相仿，c大的系統(tǒng)，b也大；反之亦然。c和系統(tǒng)響應(yīng)速度也成正比關(guān)系，故也常用c來衡量系統(tǒng)的響應(yīng)速度。第八十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三2確定閉環(huán)頻率特性的圖解法閉環(huán)頻率特性曲線可用開環(huán)頻率特性曲線及一些標(biāo)準(zhǔn)圖線（如Nichols圖線，等M圓圖和等N圓圖等）得到，然后利用它可進(jìn)一步對系統(tǒng)進(jìn)行分析和估算。(1)尼科爾斯圖線將單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式展開令等式兩端虛部相等第八十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三再根據(jù)按歐拉公式展開閉環(huán)幅頻特性解A的一元二次方程在上兩式中給定M和α就分別得到一條等M線和等α線。等M線簇和等α線簇構(gòu)成尼科爾斯圖線。第九十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期三等M線標(biāo)度上面20lgM值括號內(nèi)為M值

等M線和等α線關(guān)于的-180°線對稱，且每隔360°重復(fù)