正多邊形和圓 市賽獲獎

24.3正多邊形與圓問題1.什么樣的圖形是正多邊形？各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形.正多邊形定義想一想：菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？問題2.正多邊形與圓的關系正多邊形和圓的關系非常密切,只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓.例：如圖，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到正五邊形ABCDE.·ABCDEOABCDE證明：∵AB=BC=CD=DE=EA∴AB=BC=CD=DE=EA∵BCE=CDA=3AB∴∠A=∠B同理∠B=∠C=∠D=∠E又∵頂點A、B、C、D、E都在⊙O上，∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形.

⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒把一個圓分成n（n≥3）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓是這個正n邊形的外接圓。正多邊形和圓的關系定理

弦相等（多邊形的邊相等）弧相等—

圓周角相等（多邊形的角相等）把圓n等分可得到正n邊形ABCDE正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.O·中心角半徑R邊心距r一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的有關概念搶答題：1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的______圓與_____圓的圓心。2、OB叫正△ABC的______，它是正△ABC的______圓的半徑。3、OD叫作正△ABC的________，它是正△ABC的_____圓的半徑。ABC

OD外接內(nèi)切半徑外接邊心距內(nèi)切4、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的_____________5、正方形ABCD的內(nèi)切圓的半徑OE叫做正方形ABCD的_____________ABCD.OE中心邊心距6、⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，弦AB的弦心距OF叫正五邊形ABCDE的__________，它是正五邊形ABCDE的__________圓的半徑。7、∠AOB叫做正五邊形ABCDE的________角，它的度數(shù)是_________。DEABC.OF邊心距內(nèi)切中心72°8、圖中正六邊形ABCDEF的中心角是

，它的度數(shù)是

。9、你發(fā)現(xiàn)正六邊形ABCDEF的半徑與邊長具有什么數(shù)量關系？為什么？

BAEFCD.O∠AOB60°例有一個亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積（精確到0.1m2）.OABCDEFRPr練習1各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形？各角都相等的圓內(nèi)接多邊形呢？如果是，說明為什么；如果不是，舉出反例。練習2邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積341660°2120°290°90°842260°120°1211、正多邊形的各邊相等2、正多邊形的各角相等正多邊形的性質(zhì)3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的中心。4、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。正多邊形的畫法畫正多邊形的方法1.用量角器等分圓2.尺規(guī)作圖等分圓(1)正四、正八邊形的尺規(guī)作圖（2正六、正三、正十二邊形的尺規(guī)作圖問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形.120°用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．AOCB120°你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°ABCEDO72°用量角器度量，使∠AOE=72°在圓上依次截取與AE弧相等的弧，得到圓的五個分點，順次連接即可

問題2.你能尺規(guī)作出正四邊形、正八邊形嗎？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓內(nèi)接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

問題3.你能尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？OABCEF·D

由于正六邊形的半徑等于邊長，所以在圓上依次截取等于半徑的弦就可將圓六等分.先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………總結(jié):作正多邊形的方法有哪些?（2）用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形,用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形．

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；練習1.用等分圓周的方法畫出下列圖案2.正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是_________;每一個外角的度數(shù)是________；中心角是___________;正多邊形的中心角與外角的大小關系是____。設正n多邊形的邊長為a，半徑為R，它的周長為l＝____，邊心距r＝________，面積S＝____________。相等na3.已知一個正三角形和正六邊形的周長相等，則它們的面積比為______4.有一個邊長為

的正三角形鋼板，按照加工要求，要從鋼板上裁下一個最大的圓，則這個圓的半徑是______2：315.圓內(nèi)接正六邊形的一邊所對的圓周角等于____________。6.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD＝cm，求⊙O的半徑R。30°或150°57.如圖，已知多邊形ABCDE是由邊長為