正方形 省賽獲獎

義務教育教科書SHUXUE八年級下湖南教育出版社第2章四邊形正方形本課內容本節(jié)內容2.71、理解正方形的概念，以及正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關系。2、探索并證明正方形的性質定理。會判定一個四邊形是正方形。3、會運正方形的性質定理進行簡單的推理與計算。4、理解正方形是中心對稱圖形。正方形是軸對稱圖形。并探索正方形的中心對稱性質。平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形一個角是直角矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形一組鄰邊相等復習:或對角線互相垂直或對角線相等2023/6/11圖形邊角對角線對稱性平行四邊形

矩形

菱形請你完成平行四邊形、矩形和菱形的性質表對邊平行且相等對邊平行且相等對角相等四個角都是直角對角相等兩條對角線互相平分兩條對角線互相平分且相等兩條對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形中心對稱圖形溫故知新，我喜歡

對邊平行四條邊都相等2023/6/11

裝修房子鋪地板的磚（如下圖）大都是正方形的形狀，它是什么樣的四邊形呢？它與平行四邊形、矩形、菱形有什么關系？矩形呢？觀察圖2-57

正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.

正方形既是矩形又是菱形.

我們把有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.有一個角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形菱形正方形矩形圖2-58正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間的關系正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間的關系結論正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.正方形的對角線相等，且互相垂直平分.可以知道：正方形的性質2023/6/11瞿忠儀quzhongyi1958@163.com11邊對角線對邊平行四邊相等對角線相等

互相垂直平分每條對角線平分一組對角四個角相等且都是直角角:正方形性質∴∵正方形不僅是平行四邊形，而且是矩形、菱形結論

正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：既是中心對稱圖形軸對稱2023/6/11瞿忠儀quzhongyi1958@163.com13正方形的判定1、

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。2、既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。

定義法：矩形菱形法：

對角線法：3、兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。你能總結出正方形有哪些判定方法嗎？有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。平行四邊形有一個直角矩形一組鄰邊相等菱形一組鄰邊相等正方形有一個直角有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一個角為直角的菱形是正方形特殊的矩形特殊的菱形特殊的平行四邊形一組鄰邊相等有一個直角正方形的判定特殊的平行四邊形矩形菱形正方形定義有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形的性質性質邊角對角線四個角都是直角相等互相垂直且平分每一組對角判定四條邊都相等有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。四條邊都相等四個角都是直角互相垂直且相等，平分每一組對角1.有一角是直角的平行四邊形2.對角線相等的平行四邊形3.三個角都是直角的四邊形1.有一組鄰邊相等的平行四邊形2.對角線互相垂直的平行四邊形3.四條邊都相等的四邊形1.有一組鄰邊相等的矩形2.有一角是直角的菱形3.

一組鄰邊相等且有一直角的平行四邊形如圖2-59，點E是正方形ABCD的邊AB上任意一點，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F.求證：DE=DF.舉例例1∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.證明∵四邊形ABCD為正方形，∵DF⊥DE，∴

∠EDF=90°，

即∠1+∠3=90°，圖2-59又∵∠2+∠3=90°，∴

∠1=∠2.∴

△AED≌△CFD（ASA）.∴

DE=DF.圖2-59

觀察示意圖2-58，說一說如何判斷一個四邊形是正方形？說一說

可以先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等.

也可以先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角是直角.舉例例2如圖2-60，已知點A′，B′，C′，D′分別是正方形ABCD

四條邊上的點，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求證：四邊形是正方形.圖2-60證明∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=DA.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.圖2-60∴A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.∴四邊形是菱形.又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠D′A′B′=90°.∴四邊形是正方形.圖2-601.求證：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。已知：如圖四邊形ABCD中AC⊥BD于O點，且

AO=BO=CO=DO，求證：四邊形ABCD是正方形。2.求證：四邊相等且四個內角也相等的四邊形是正方形。ADCB已知：如圖四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D，求證：四邊形ABCD是正方形。練一練ABCDO

①、對角線相等的菱形是正方形

②、對角線互相垂直的矩形是正方形③、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形④四條邊都相等的四邊形是正方形⑤、四個角都相等的四邊形是正方形⑥、四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形.（）（）（）（）（）（）3.判斷下列命題哪些是真命題、哪些是假命題？

真真假假假真（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四邊形。（）√××√√4、判斷題：

練一練練一練5、在四邊形ABCD中O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A、AC=BD，AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO1.已知正方形的一條對角線長為4cm，求它的邊長和面積.答：邊長為面積為8cm2.練習2.如果一個矩形的兩條對角線互相垂直，那么這個矩形一定是正方形嗎？為什么？答：一定是.由兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得此矩形的四條邊都相等，即為正方形.課堂小結正方形的定義正方形的性質正方形的判定有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。邊：平行且相等角：四個角都是直角對角線：相等、互相垂直平分、每條對角線平分一組對角1、定義法2、矩形菱形法3、對角線法中考試題例1

如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是

（）

A.3cmB.4cm

C.5cm

D.6cmA解析因為四邊形MFEN是由四邊形AMND翻折得到，故DN=EN.又因為E是BC的中點，所以設CN=x，則DN=EN=8-x.在Rt△ECN中，由勾股定理得EN2=CN2+CE2，即(8-x)2=x2+42，解得x=3，故選A.x中考試題例2

如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求證：AF=BF+EF.解析∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°.∵

DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°.∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BA