解一元二次方程 省賽獲獎(jiǎng)

第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關(guān)問題.(重點(diǎn)）3.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方講授新課問題1.你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流配方的方法問題2.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？222323424歸納總結(jié)想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2配方的方法注意：完全平方式有（+）兩個(gè)所以p得取值······二次項(xiàng)系數(shù)為1的完全平方式：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.添加的常數(shù)項(xiàng)等于合作探究怎樣解方程:x2+6x+4=0(1)問題1

方程(1)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項(xiàng)

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項(xiàng)系數(shù)為1的完全平方式：

添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.用配方法解方程方法歸納在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.注意是在二次項(xiàng)系數(shù)為1的前提下進(jìn)行的.（系數(shù)化1）問題2

為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數(shù)行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要點(diǎn)歸納

像上面這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．要點(diǎn)歸納配方法解方程的基本步驟整①整理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式移②移項(xiàng)（左留二次項(xiàng)和一次項(xiàng)右留常數(shù)項(xiàng)化③二次項(xiàng)系數(shù)化為1配④配方（添加的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）解⑤轉(zhuǎn)化為直接開平方法解方程例1

解下列方程：解：（1）移項(xiàng)，得x2－8x=-1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15開平方，得即配方，得由此可得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得解：移項(xiàng)，得2x2－3x=－1,即移項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)化為1這兩個(gè)步驟能不能交換一下呢?配方，得因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，上式都不成立，所以原方程無實(shí)數(shù)根．解：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即思考1：用配方法解一元二次方程時(shí)，移項(xiàng)時(shí)要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項(xiàng)時(shí)需注意改變符號(hào).整①整理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式移②移項(xiàng)（左留二次項(xiàng)和一次項(xiàng)右留常數(shù)項(xiàng)化③二次項(xiàng)系數(shù)化為1配④配方（添加的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）解⑤轉(zhuǎn)化為直接開平方法解方程一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+n)2=p.①當(dāng)p>0時(shí),則,方程的兩個(gè)根為②當(dāng)p=0時(shí),則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個(gè)相同根為

x1=x2=-n③當(dāng)p<0時(shí),則方程(x+n)2=p無實(shí)數(shù)根.規(guī)律總結(jié)例2.試用配方法說明：不論k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式

k2－4k＋5的值必定大于零，并求其最小值。解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因?yàn)椋╧－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.配方法的應(yīng)用例3.若a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且

試判斷△ABC的形狀.解：對(duì)原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為直角三角形.

1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應(yīng)用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+12x-16的最大值.練一練C解：原式=2(x-

1)2+3當(dāng)x=1時(shí)有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4當(dāng)x=2時(shí)有最大值-4

類別

解題策略1.求最值或證明代數(shù)式的值為恒正（或負(fù)）對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，可知其最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個(gè)完全平方式，所以一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)數(shù)和的形式對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個(gè)完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各項(xiàng)均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.例4.讀詩詞解題：

（通過列方程，算出周瑜去世時(shí)的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物。而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5

x2=10(x-3)+x∴這個(gè)兩位數(shù)為36或25，∴周瑜去世的年齡為36歲.∵周瑜30歲官拜東吳大都督，1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.當(dāng)堂練習(xí)2.利用配方法證明：不論x取何值，代數(shù)式－x2－x－1的值總是負(fù)數(shù)，并求出它的最大值.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1所以－x2－x－1的值必定小于零.當(dāng)

時(shí)，－x2－x－1有最大值3.若，求(xy)z

的值.解：對(duì)原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知4.如圖，在一塊長(zhǎng)35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應(yīng)為多少？

解：設(shè)道路的寬為xm,根據(jù)題意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合題意，舍去）,x2=1.答：道路的寬為1m.5.已知a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且