2022高考數(shù)學一輪復習 第五章 第1講 平面向量的概念及線性運算知識點 新人教A版

PAGEPAGE1第1講平面向量的概念及線性運算最新考綱1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同．(×)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(3)向量eq\o(AB,\s\up8(→))與向量eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(×)(4)若a∥b，則?λ∈R使b＝λa.(×)2．(2015·東北三省四市聯(lián)考)在四邊形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，則四邊形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四邊形解析依題意得eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，因此BC∥AD，且BC＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形，故選D.答案D3．(2014·新課標全國Ⅰ卷)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up8(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(BC,\s\up8(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))解析設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，則eq\o(EB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b＋a，eq\o(FC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，從而eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\o(AD,\s\up8(→))，故選A.答案A4．設a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝________．解析由題意知，a＋λb＝k(2a－b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝2k，,λ＝－k，))所以k＝eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)5．(人教A必修4P92A12改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up8(→))＝______，eq\o(BC,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．解析如圖，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝－a－b.答案b－a－a－b考點一平面向量的有關概念【例1】給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的序號是()A．②③B．②④C．③④D．②③④解析①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|，eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))方向相同，因此，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當b＝0時，a，c可能不平行．綜上所述，正確命題的序號是②③.答案A規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．【訓練1】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯誤命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點與終點．②正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是任意向量．答案C考點二平面向量的線性運算【例2】(1)在△ABC中，AB邊的高為CD，若eq\o(CB,\s\up8(→))＝a，eq\o(CA,\s\up8(→))＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)bB.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)bD.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AO,\s\up8(→))，則λ＝________．解析(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(5)，CD＝eq\f(2\r(5),5)，∴BD＝eq\f(\r(5),5)，AD＝eq\f(4\r(5),5)，∴AD∶BD＝4∶1.∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.(2)因為ABCD為平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AO,\s\up8(→))，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AO,\s\up8(→))，故λ＝2.答案(1)D(2)2規(guī)律方法(1)解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化．(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果．【訓練2】(1)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b(2)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\o(FC,\s\up8(→))＝0解析(1)連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)a.(2)由題意知：eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(DF,\s\up8(→))，eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(ED,\s\up8(→))，而eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(ED,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝0.答案(1)D(2)A考點三共線向量定理的應用【例3】設兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)．∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共線，又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)解∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.規(guī)律方法(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線．【訓練3】(1)已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up8(→))＝ni＋j.若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應該滿足的條件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)(2014·南京模擬)如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OQ,\s\up8(→))＝neq\o(OB,\s\up8(→))，m，n∈R，則eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值為________．解析(1)由A，B，D共線可設eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AD,\s\up8(→))，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.(2)設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，由題意知eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up8(→))＝eq\o(OQ,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\o(OG,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，由P，G，Q三點共線得，存在實數(shù)λ，使得eq\o(PQ,\s\up8(→))＝λeq\o(PG,\s\up8(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.答案(1)C(2)3微型專題方程思想在平面向量的線性運算中的應用數(shù)形結合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關問題時，多數(shù)習題要結合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．【例4】如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))，AD與BC相交于點M，設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b.試用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up8(→)).點撥(1)既然eq\o(OM,\s\up8(→))能用a，b表示，那我們不妨設出eq\o(OM,\s\up8(→))＝ma＋nb.(2)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解．解設eq\o(OM,\s\up8(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.又∵A，M，D三點共線，∴eq\o(AM,\s\up8(→))與eq\o(AD,\s\up8(→))共線．∴存在實數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up8(→))＝teq\o(AD,\s\up8(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)).∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C，M，B三點共線，∴eq\o(CM,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))共線．∴存在實數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up8(→))＝t1eq\o(CB,\s\up8(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋b))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得4m＋n＝1. ②由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.點評(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的難度．(2)易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解．(3)如本題易忽視A，M，D三點共線和B，M，C三點共線這個幾何特征．(4)方程思想是解決本題的關鍵，要注意體會.[思想方法]1．向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關的結論．2．對于向量共線定理及其等價定理，關鍵要理解向量a與b共線是指a與b所在的直線平行或重合．3．要證明三點共線或直線平行都是先探索有關的向量滿足向量等式b＝λa，再結合條件或圖形有無公共點證明幾何位置．[易錯防范]1．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．2．在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤．基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．把平面上所有的單位向量平移到相同的起點上，那么它們的終點所構成的圖形是 ()A．一條線段 B．一段圓弧C．兩個孤立點 D．一個圓解析由單位向量的定義可知，如果把平面上所有的單位向量平移到相同的起點上，則所有的終點到這個起點的距離都等于1，所有的終點構成的圖形是一個圓．答案D2．設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結論中正確的是 ()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析對于A，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小．答案B3．設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|解析eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量，eq\f(b,|b|)表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，觀察選項易知C滿足題意．答案C4．(2014·福州質量檢測)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c，則下列等式成立的是 ()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)解析依題意得eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝2(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故選D.答案D5．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，eq\o(AN,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，則λ＋μ的值為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D．1解析∵M為BC上任意一點，∴可設eq\o(AM,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))(x＋y＝1)．∵N為AM的中點，∴eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).答案A二、填空題6．向量e1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up8(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結論的序號為________．解析由eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up8(→))，且eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上．答案④7．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．解析由eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，得4eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(AC,\s\up8(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．設a，b是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________．解析∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a－b，又A，B，D三點共線，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BD,\s\up8(→))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－1三、解答題9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．10.在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，BE與CF相交于G點，設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up8(→)).解eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BG,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋λeq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,2)b.又eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋meq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝(1－m)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(m,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(m,2)a＋(1－m)b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(m,2)，,1－m＝\f(λ,2)，))解得λ＝m＝eq\f(2,3)，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.能力提升題組(建議用時：25分鐘)11．已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))，則 ()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上解析因為2eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))，所以2eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，所以點P在線段AB的反向延長線上，故選B.答案B12．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心解析作∠BAC的平分線AD.∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up8(→)),|\o(AD,\s\up8(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up8(→))|)·eq\o(AD,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(AD,\s\up8(→)).∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．答案B13．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|，則△ABC的形狀為________．解析eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．答案直角三角形14．若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？解設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝tb－a.要使A，B，C三點共線，只需eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a與b為不共線的非零向量，∴有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴當t＝eq\f(1,2)時，三向量終點在同一直線上.

第2講平面向量基本定理及坐標表示最新考綱1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．(×)(2)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角為∠ABC.(×)(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.((4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)2．(2014·北京卷)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝()A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)解析2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．答案A3．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，則實數(shù)m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0解析由a∥b，得1×2－m2＝0，所以m2＝2，即m＝±eq\r(2).答案C4．(人教A必修4P101A3改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________．解析設D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))答案(1，5)5．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))，則eq\f(|\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(AB,\s\up8(→))|)＝________．解析∵eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))，∴eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\f(|\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(AB,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)

考點一平面向量基本定理的應用【例1】(1)在△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up8(→))＝a，eq\o(CA,\s\up8(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up8(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b(2)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up8(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up8(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up8(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．解析(1)法一因為CD平分∠ACB，由角平分線定理，得eq\f(AD,DB)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(|b|,|a|)＝2，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→)).深度思考角平分線定理你知道嗎？若知道的話可結合平面向量基本定理解決；若不知道的話可用特殊三角形解決，不妨試試．所以eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.法二(特殊值法)構造直角三角形，令CB＝1，CA＝2，AB＝eq\r(3)，則∠DCB＝30°，所以BD＝eq\f(\r(3),3).故eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(2)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案(1)B(2)eq\f(1,2)規(guī)律方法(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．【訓練1】(2014·長沙模擬)如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若eq\o(AD,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，則x＝________，y＝________．解析如圖，過點D作DF⊥AB于F，設AB＝AC＝1，則BC＝DE＝eq\r(2).∵∠DEB＝60°，∴BD＝DE·sin60°＝eq\f(\r(6),2).由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2).∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＋eq\o(FD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴x＝1＋eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)考點二平面向量的坐標運算【例2】(1)(2014·北京海淀區(qū)模擬)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)(2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，3)，則eq\o(BD,\s\up8(→))＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3，5)D．(2，4)解析(1)因為eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(－1，2)．(2)由題意得eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－2eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．答案(1)D(2)B規(guī)律方法向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．【訓練2】(1)(2014·揭陽二模)已知點A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝3a，則點B的坐標為()A．(7，4)B．(7，14)C．(5，4)D．(5，14)(2)在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PC,\s\up8(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up8(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up8(→))＝(1，5)，則eq\o(BC,\s\up8(→))等于()A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析(1)設點B的坐標為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x＋1，y－5)．由eq\o(AB,\s\up8(→))＝3a，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6，,y－5＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝14.))(2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(PC,\s\up8(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PA,\s\up8(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up8(→))－3eq\o(PA,\s\up8(→))＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．答案(1)D(2)B考點三向量共線的坐標表示【例3】平面內(nèi)給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝eq\r(5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x－4）－2（y－1）＝0，,（x－4）2＋（y－1）2＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d的坐標為(3，－1)或(5，3)．規(guī)律方法(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，則b＝λa.(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．【訓練3】(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標為________．(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，則k＝________．解析(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→)).設點D的坐標為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up8(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點D的坐標為(2，4)．(2)依題意得a－c＝(3－k，－6)，由(a－c)∥b，得－6＝3(3－k)，解得k＝5.答案(1)(2，4)(2)5[思想方法]1．對平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎．(2)平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組．(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式，是向量線性運算知識的延伸．2．向量共線的作用向量共線常常用來解決交點坐標問題和三點共線問題，向量共線的充要條件用坐標表示為x1y2－x2y1＝0.[易錯防范]1．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標，當向量的起點是原點時，其終點坐標就是向量坐標．.2．向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2014·福建卷)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析由題意知，A選項中e1＝0，C，D選項中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B.答案B2．(2014·沈陽質量監(jiān)測)已知在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(2，8)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，4)，對角線AC與BD相交于點M，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝ ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－6)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－6)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6))解析因為在?ABCD中，有eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，所以eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)×(－1，12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))，故選B.答案B3．(2014·青島質量檢測)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 ()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件，故選A.答案A4．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，則c等于 ()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析設c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案B

5.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，則 ()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由題意知eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))，又eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A二、填空題6．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值為________．解析因為a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．又因為u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．若三點A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．解析eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________．解析以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up8(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up8(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.答案4三、解答題9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CA,\s\up8(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up8(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up8(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up8(→))的坐標．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設O為坐標原點，∵eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20)．又∵eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up8(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝(9，－18)．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知eq\o(AM,\s\up8(→))＝c，eq\o(AN,\s\up8(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→)).解法一設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則a＝eq\o(AN,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))， ①b＝eq\o(AM,\s\up8(→))＋eq\o(MD,\s\up8(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)). ②將②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)， ③將③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d)．∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．法二設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b.因M，N分別為CD，BC的中點，所以eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)（2d－c），,b＝\f(2,3)（2c－d），))即eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．能力提升題組(建議用時：25分鐘)11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為 ()A．30° B．60° C．90° D．120°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案B12．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C為坐標平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))，則λ＋μ＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)解析因為|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案A13．已知向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________．解析由題意得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2－m，1－m)，若A，B，C能構成三角形，則eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共線，則－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)14.如圖，已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．解如圖所示，以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種情況：①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC.設D的坐標為(x，y)，①若是?ABCD，則由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，得(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D點的坐標為(0，－4)(如圖中所示的D1)．②若是?ADBC，由eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，得(0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)，即(1，4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.∴D點的坐標為(2，4)(如圖中所示的D2)．③若是?ABDC，則由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，得(0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)，即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴D點的坐