中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第10講 三角形與全等三角形（壓軸題組）（教師版）

第10講三角形與全等三角形（壓軸題組）1．（2021·江西贛州·九年級(jí)期中）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°，得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC（2）如圖2，連接HG和GF，其中HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△AQG為等腰三角形？【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②EH=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；【詳解】（1）證明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴AB=AC，∵線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°，得到AG，∴AH=AG，∠HAD=90°，∴∠BAH+∠HAF=∠HAF+∠CAG=90°，∴∠BAH=∠CAG，在△ABH和△ABG中，SKIPIF1<0，∴△ABH≌△ABG（SAS），（2）①證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴AE=SKIPIF1<0，AF=SKIPIF1<0，EF∥BC，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=SKIPIF1<0，在△AEH和△AFG中，SKIPIF1<0，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFE+∠AFG=45°+45°=90°，∴∠HFG＝90°；②解：∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，根據(jù)勾股定理SKIPIF1<0，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF=SKIPIF1<0，∵△AQG為等腰三角形分三種情況當(dāng)AQ=GQ時(shí)，∵AH=AG，∠HAG=90°，∴∠AHG=∠AGH=SKIPIF1<0，∴∠QAG=∠QGA=45°，∴∠AQG=180°-∠QAG-∠QGA=90°，∴HG⊥AC，∴∠HAQ=90°-∠QAG=90°-45°=45°，∴∠EAH=90°-∠HAQ=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，AE=AF，∴EH=HF=SKIPIF1<0當(dāng)AG=GQ=AH，∠AGQ=45°，∴∠GAQ=∠GQA=SKIPIF1<0，∴∠EAH=∠QAG=67.5，∴∠AHE=180°-∠AEH-∠EAH=180°-45°-67.5°=67.5°∴∠EAH=∠EHA=67.5°∴EH=AE=SKIPIF1<0；當(dāng)AQ=QG時(shí)，過(guò)A作AM⊥HG于M，∵∠AQG是△AQM的外角，∴∠AQG＞∠AMQ=90°＞∠AGQ=45°，∴AQ=AG不成立．綜合得EH=SKIPIF1<0或2．2．（2021·北京市第三十一中學(xué)九年級(jí)期中）四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，EC．（1）如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出EG與GC的位置關(guān)系及SKIPIF1<0的值；（2）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示位置，在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖1中的△BEF，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0（0°＜SKIPIF1<0＜90°），若BE＝1，AB＝SKIPIF1<0，當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長(zhǎng)．【答案】（1）EG⊥CG，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，（2）結(jié)論還成立，證明見(jiàn)解析，（3）SKIPIF1<0﹣1．【詳解】解：（1）EG⊥CG，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，延長(zhǎng)EG交CD延長(zhǎng)線于H，∵EF∥DC，∴∠FEG＝∠DHG，在△EFG和△HDG中SKIPIF1<0∴△EFG≌△HDG，∴DH＝EF=BE，EG＝GH，∵∠DCB＝90°，BC＝CD，∴CE＝CH，∴EG＝GC，EG⊥GC，即△EGC是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；（2）結(jié)論還成立，理由是：如圖2，延長(zhǎng)EG到H，使EG＝GH，連接CH、EC，過(guò)E作BC的垂線EM，延長(zhǎng)CD，∵在△EFG和△HDG中SKIPIF1<0∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，∴EF∥DH，又∵ER∥CD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3＝∠4，∴∠EBC＝180°﹣∠4＝180°﹣∠1＝∠HDC，在△EBC和△HDC中SKIPIF1<0∴△EBC≌△HDC．∴CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，∴∠ECH＝∠DCH+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G為EH的中點(diǎn)，∴EG⊥GC，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，（3）連接BD，∵AB＝SKIPIF1<0，正方形ABCD，∴BD＝2，∵BE＝FE＝1，∴SKIPIF1<0，∴DF＝DE﹣EF＝SKIPIF1<0﹣1．3．（2021·湖北青山·九年級(jí)期中）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜120），得到線段CE，連接ED、ED或其延長(zhǎng)線交∠BCE的角平分線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若α＝20，直接寫(xiě)出∠E與∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若60＜α＜120．求證：EF﹣DF＝CF；（3）如圖3，若AB＝6，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，連接BG，則DC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG的最大值為．

【答案】（1）∠E=80゜，∠CFE=60゜；（2）見(jiàn)解析；（3）SKIPIF1<0【詳解】（1）∵CE由CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°而得到∴CE=CD，∠DCE=α゜∴SKIPIF1<0，∠BCE=∠BCD+∠DCE=60゜+α゜當(dāng)α=20時(shí)，SKIPIF1<0∵CF平分∠BCE∴SKIPIF1<0在△CFE中，SKIPIF1<0（2））如圖，在EF上取點(diǎn)H，且使EH=DF，連接CH在△CEH和△CDF中SKIPIF1<0∵△CEH≌△CDF∴CH=CF由（1）知，∠CFE=60゜∴△CFH是等邊三角形∴CF=FH∴SKIPIF1<0（3）連接AC、BD、BF，作△BCD的外接圓⊙O，設(shè)⊙O交AC于點(diǎn)M，連接GM、BM，OF∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=60゜∴BC=BD，∴△BCD是等邊三角形∵CF平分∠BCE∴∠BCF=∠ECF∵CB=CD=CE，CF=CF∴△BCF≌△ECF∴∠BFC=∠CFE=60゜∴點(diǎn)F在⊙O上∵AC垂直平分BD∴O點(diǎn)在AC上∵等邊三角形外接圓的半徑為SKIPIF1<0等邊三角形的邊長(zhǎng)∴OC=SKIPIF1<0∵菱形ABCD的對(duì)角線SKIPIF1<0∴AM=MO=OC=SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵∠BMC=∠BDC=60゜，∠BAM=30゜∴在△AMB中，∠ABM=30゜∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴BG的最大值為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<04．（2021·福建安溪·九年級(jí)期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，∠EDF的兩邊分別交AB、AC所在直線于E、F兩點(diǎn)，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如圖1，若n＝1，則DEDF；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）連接EF．①如圖2，沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)A落在邊BC上的D點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值（含n的式子表示）；②如圖3，EFSKIPIF1<0BC，且SKIPIF1<0，求出n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△ABC是等腰直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與△BED中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0△BEDSKIPIF1<0故答案為：=（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0折疊SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．（2021·陜西蓮湖·九年級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化．問(wèn)題提出（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，CE與CB的位置關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個(gè)邊長(zhǎng)為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對(duì)角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計(jì)劃在BD延長(zhǎng)線上（包括D點(diǎn)）取點(diǎn)P，以AP為邊長(zhǎng)修建一個(gè)等邊△APE的娛樂(lè)區(qū)，放置各類(lèi)運(yùn)動(dòng)娛樂(lè)設(shè)施，從娛樂(lè)區(qū)頂點(diǎn)E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計(jì)劃在BE中點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)直飲水點(diǎn)F，求飲水點(diǎn)F到C點(diǎn)的最短距離．【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）結(jié)論成立，證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（3）SKIPIF1<0m【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.理由：連接.∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴△ABC，SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△BAP≌△CAE，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）結(jié)論仍然成立.理由：如圖2，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，∴△ABC，SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△BAP≌△CAE，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3）根據(jù)題目，為了使SKIPIF1<0到SKIPIF1<0點(diǎn)的距離最短，在SKIPIF1<0固定的情況下，SKIPIF1<0越小，SKIPIF1<0越短，SKIPIF1<0越小，點(diǎn)SKIPIF1<0距離點(diǎn)SKIPIF1<0越小，即SKIPIF1<0邊長(zhǎng)越小，即當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小,如圖所示：SKIPIF1<0且四邊形SKIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0位于線段SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)A為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴△ABC為等邊三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0點(diǎn)的最短距離為SKIPIF1<0m．6．（2021·陜西·交大附中分校九年級(jí)期中）問(wèn)題研究，如圖，在等腰△ABC中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為底邊SKIPIF1<0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)與SKIPIF1<0相似的三角形，這個(gè)三角形是__________；

（2）若SKIPIF1<0，分別過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積；

問(wèn)題解決（3）如圖所示，有一個(gè)矩形倉(cāng)庫(kù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，現(xiàn)計(jì)劃在倉(cāng)庫(kù)的內(nèi)部的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩處分別安裝監(jiān)控?cái)z像頭，其中點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上．設(shè)計(jì)要求SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？

【答案】（1）△DAE；（2）四邊形的面積為SKIPIF1<0；（3）CE的長(zhǎng)為SKIPIF1<0米．【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△DAE∽△ABE，故答案為：△DAE；（2）如圖所示：把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到△ACH，連接EH，

∴△ABD≌△ACH，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△HAE和△DAE中，SKIPIF1<0，∴△HAE≌△DAE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0于點(diǎn)G，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，在△DEM中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即四邊形的面積為SKIPIF1<0；（3）如圖，延長(zhǎng)AD到S，延長(zhǎng)BC到G，使SKIPIF1<0，連接SG，延長(zhǎng)AF交SG于點(diǎn)H，連接EH，延長(zhǎng)GS到T，使SKIPIF1<0，連接AT，則四邊形ABGS為正方形，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△ABE和△AST中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△AST，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，，∴SKIPIF1<0，在△ATH和△AEH中，SKIPIF1<0，∴△ATH≌△AEH，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵DFSKIPIF1<0SH，∴△ADF∽△ASH，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在Rt△ADF中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），即CE的長(zhǎng)為SKIPIF1<0米．7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y＝kx＋3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，∠BAO＝45°．（1）求直線AB的解析式；（2）點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接CB，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線交x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△BAP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)BC至Q，使BQ＝BP，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段CQ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BQ的垂線交BD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，若EF＝SKIPIF1<0，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y＝－x＋3；（2）SKIPIF1<0；（3）Q（－3，－6）【詳解】解：（1）將x＝0代入y＝kx＋3得：y＝3，∴OB＝3，∵∠BAO＝45°，∠BOA＝90°，∴∠OBA＝90°－∠BAO＝45°＝∠BAO，∴OA＝OB＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），將x＝3，y＝0代入y＝kx＋3得：0＝3k＋3，解得：k＝－1，∴直線AB的解析式為y＝－x＋3；（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴OP＝t，∴AP＝OP－OA＝t－3，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴S與t之間的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥QD于點(diǎn)M，作FN⊥x軸于點(diǎn)N，連接FQ，F(xiàn)C，∵BP⊥BC，∴∠PBC＝90°，∴∠PBO＋∠QBH＝90°，∵QH⊥y軸，∠BOP＝90°，∴∠QHB＝∠BOP＝90°，∴∠PBO＋∠BPO＝90°，∴∠BPO＝∠QBH，在△QBH與△BPO中，SKIPIF1<0，∴△QBH≌△BPO，∴QH＝OB＝3，∵QH⊥y軸，QD⊥x軸，∠DOH＝90°，∴四邊形QDOH為矩形，∴OD＝QH＝OB＝3，又∵∠DOB＝90°，∴∠ODB＝∠OBD＝45°，∴∠FDN＝∠ODB＝45°，又∵∠QDN＝90°，∴∠FDM＝90°－∠FDN＝45°＝∠FDN，∴FD平分∠MDN，又∵FM⊥QD，F(xiàn)N⊥x軸，∴FM＝FN，∠FNC＝∠FMQ＝90°，∵點(diǎn)E為線段CQ的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥CQ，∴FC＝FQ，在Rt△FNC與Rt△FMQ中，SKIPIF1<0，∴Rt△FNC≌Rt△FMQ，∴∠NFC＝∠MFQ，∴∠NFC＋∠MFC＝∠MFQ＋∠MFC，即∠NFM＝∠CFQ，∵∠FNC＝∠FMQ＝∠MDN＝90°，F(xiàn)M＝FN，∴四邊形MDNF為正方形，∴∠CFQ＝∠NFM＝90°，F(xiàn)M＝DM，∵∠CFQ＝90°，點(diǎn)E為線段CQ的中點(diǎn)，EF＝SKIPIF1<0，∴EQ＝EC＝EF＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OD＝OB＝3，∠DOB＝90°，∴SKIPIF1<0，設(shè)FM＝DM＝m，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠CFQ＝90°，F(xiàn)C＝FQ，∴∠FQC＝∠FCQ＝45°，∴∠FQC＝∠OBD，∵QD⊥x軸，y軸⊥x軸，∴QDSKIPIF1<0y軸，∴∠DQC＝∠OBC，∴∠FQC－∠DQC＝∠OBD－∠OBC，即∠FQM＝∠FBE，又∵∠FMQ＝∠FEB＝90°，∴△FMQ∽△FEB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不符合題意，舍去），∴FM＝DM＝2，∴SKIPIF1<0，∴QD＝DM＋MQ＝6，又∵點(diǎn)Q在第三象限，OD＝3，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－3，－6）．8．（2021·河南·金明中小學(xué)九年級(jí)期中）把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）如圖1，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是___________，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是___________；（2）如圖2，（1）中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0___________．（4）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0__________時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】解：（1）如圖：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是相等，理由如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是垂直，理由如下：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0；（2）成立：理由分別如下：如圖：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，∴△ABD≌△ACE，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，如下圖：由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△AGB∽△FGC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）由題意知，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，在SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0為底時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，故如圖所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．9．（2021·北京·景山學(xué)校九年級(jí)期中）在△ABC中，AB＝2SKIPIF1<0，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝SKIPIF1<0．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是線段AB中點(diǎn)時(shí)，①AC的長(zhǎng)為；②延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得CE＝AC，此時(shí)CE與CB的數(shù)量關(guān)系為，∠BCE與∠A的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)∠BCE（點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線BC的異側(cè)），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，連接AE．①按要求補(bǔ)全圖形；②求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①作圖見(jiàn)解析部分，②SKIPIF1<0【詳解】解：（1）①如圖1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．②連接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）①圖形如圖2所示：②如