分析力學(xué)課件答案 作業(yè)

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)能場(chǎng)U(r)中運(yùn)動(dòng)，在笛卡爾坐標(biāo)系中寫出其拉格朗日方程。解：拉格朗日方程為：L為拉格朗日函數(shù)笛卡爾坐標(biāo)中的坐標(biāo)變量為 ，那么所以，帶入拉格朗日方程得到這就是笛卡爾坐標(biāo)系中的拉格朗日方程即牛頓第二定律柱坐標(biāo) 與笛卡爾坐標(biāo)的關(guān)系是如圖．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在軸對(duì)稱勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，寫出其拉格朗日方程。解：由柱坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)的關(guān)系可知等式兩邊同時(shí)除以dt那么，系統(tǒng)的動(dòng)能為那么，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為所以帶入拉格朗日方程，則有：長(zhǎng)度為l的細(xì)繩系一小球，懸掛點(diǎn)按照 方式運(yùn)動(dòng)，如下圖，小球被限制在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，時(shí)懸線鉛直向下。〔a〕求懸線和豎直線偏離所對(duì)應(yīng)的虛位移〔b〕在這一時(shí)刻的角速度為，求經(jīng)過時(shí)間后的位移。問：當(dāng)時(shí)，與有何差異？〔a〕在任意時(shí)刻，約束所容許的位移為虛位移，途中的小球，受到細(xì)繩的和自身重力的約束，在這個(gè)時(shí)刻，解：小球只能圍繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)偏離角為時(shí)，對(duì)應(yīng)的虛位移為。〔b〕小球經(jīng)過時(shí)間后的位移，可以看作由兩局部組成：〔1〕小球繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移〔2〕小球隨O點(diǎn)一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移所以，小球的位移為和的區(qū)別如下圖：虛位移和實(shí)際位移的主要區(qū)別在于虛位移只和約束有關(guān)。實(shí)際位移除了和約束有關(guān)以外，還和物體當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。長(zhǎng)度同為l的輕棒四根，相互連接成一個(gè)可以無摩擦的改變頂角的菱形ABCD，AB和AD兩棒無摩擦的支于處于同一水平線上且相距2a的兩根釘上，BD之間用一根輕質(zhì)棒連接，在連接點(diǎn)〔B和D處〕，各棒之間可以無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)上系有一重物W，C點(diǎn)和重物受到約束，只能上下運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)兩棒之間的夾角為,試用虛功原理求平衡時(shí)聯(lián)結(jié)棒BD中的張力，討論的方向與

的大小的關(guān)系。問：在什么情況下有，說明其意義。4.虛功原理解：為了求棒中的張力，可將棒的約束予以“釋放〞，以張力作為主動(dòng)力代替棒。此時(shí)系統(tǒng)的自由度為1，系統(tǒng)受3個(gè)外力作用：作用于B的張力，作用于D的張力，作用于C點(diǎn)的W。坐標(biāo)系：兩根釘連線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連線所在直線為x軸〔向右為正〕，垂直連線為y軸〔向下為正〕，并取為廣義坐標(biāo)。B、D點(diǎn)的x坐標(biāo)：C點(diǎn)的y坐標(biāo)：最后可得：即有：杠對(duì)B的作用力向外杠對(duì)B的作用力向內(nèi)杠對(duì)B無作用力9．質(zhì)量為M的斜面可以無摩擦地在水平桌面上滑動(dòng)。斜面上無摩擦地放一滑塊m，如下圖。寫出拉格朗日方程，并求斜面的加速度和滑塊相對(duì)于斜面的加速度。解：系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為即有：解之得：帶入拉氏方程：滑塊的能量斜面的能量系統(tǒng)的總能量K系〔桌面坐標(biāo)系〕K’系〔沿X方向以速度V相對(duì)于桌面運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系〕P34第5題系統(tǒng)的能量在k系和系之間的變換方程10．直接用拉格朗日方程[1.1.2(2.21)式]證明，由相差一廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)的時(shí)間全導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)拉格朗日函數(shù)L`

和L[1.1.3(3.13)式]得到的運(yùn)動(dòng)方程相同。證明：L和L’相差一個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間的全微分那么將拉格朗日方程代入上式那么由L`

和L得到的運(yùn)動(dòng)方程相同。12．一維運(yùn)動(dòng)自由質(zhì)點(diǎn)的拉氏量是(a)證明：當(dāng)按真實(shí)運(yùn)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用量是(b)設(shè)，求；并任意假定一種非真實(shí)的運(yùn)動(dòng)方式，計(jì)算相應(yīng)的作用量，驗(yàn)證。解：按真實(shí)情況運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為常數(shù)。將帶入得到將帶入得到〔b〕假設(shè)自由質(zhì)點(diǎn)不做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么速度為時(shí)間的函數(shù)，且滿足：那么υ平方的平均值大于υ平均值的平方。分析力學(xué)作業(yè)講解

第二章守恒律1.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的拉格朗日L=T-U其中是坐標(biāo)和速度的函數(shù)(a)證明：整個(gè)系統(tǒng)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度

對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量不再是如§1.2.3(16)式，而是(b)在電磁場(chǎng)中電荷為e的粒子，其中和A是電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)，求廣義動(dòng)量。解：由廣義動(dòng)量的定義：可得上式的第一項(xiàng)已在課本中求出，那么將值代入即得(b)將帶電粒子的勢(shì)能表達(dá)式代入上式可得：2.質(zhì)量為半徑為的半球形碗，放在光滑的水平桌面上，如圖1。有一個(gè)質(zhì)量為的滑塊沿碗的內(nèi)壁無摩擦地滑下。用表示滑塊位置與球心連線和豎直方向的夾角。整個(gè)系統(tǒng)起始時(shí)靜止且。求滑塊滑到時(shí)的值。解：系統(tǒng)的拉格朗日為：那么那么對(duì)應(yīng)的拉格朗日方程為yx建立如下圖坐標(biāo)系，選取ox軸所在平面為零勢(shì)能面將上面第二式寫成再帶入第一式得注意到等式左邊是一個(gè)全微分，積分即得利用，即得解法1化簡(jiǎn)可得即：當(dāng)時(shí)顯然X為循環(huán)坐標(biāo)，系統(tǒng)在水平方向上的動(dòng)量守恒：再由能量守恒得到解法23.質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能是證明這一質(zhì)點(diǎn)由區(qū)域經(jīng)過分界面進(jìn)入?yún)^(qū)域的運(yùn)動(dòng)軌跡等同于光線從空氣入射到折射率為的介質(zhì)所受到的折射。其中，是質(zhì)點(diǎn)在區(qū)域中的動(dòng)能。又系統(tǒng)具有水平面內(nèi)的平移對(duì)稱性，所以動(dòng)量在水平方向上守恒，證明：系統(tǒng)的能量守恒，那么有那么，那么有4.求半徑為

，圓心角為2θ的均勻扇形薄片的質(zhì)心。解：以均勻薄片的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系。由對(duì)稱性可知其質(zhì)心一定在x軸上所以扇形的質(zhì)心在其角平分線距圓心2asinθ/(3θ)處。xyor7.寫出角動(dòng)量的笛卡爾分量和它的平方用球坐標(biāo)表示的表達(dá)式。解：由代入得8.在以下場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，動(dòng)量P的什么分量守恒？角動(dòng)量的什么分量守恒？(a)．無窮大均勻平面所產(chǎn)生的場(chǎng)；(b)．無窮長(zhǎng)均勻柱所產(chǎn)生的場(chǎng)；(c)．兩個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)；(d)．均勻圓環(huán)所產(chǎn)生的場(chǎng)；(e)．均勻圓球所產(chǎn)生的場(chǎng)。解：根據(jù)空間的平移對(duì)稱性導(dǎo)致動(dòng)量守恒，空間的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒可知：(a)．無窮大均勻平面所產(chǎn)生的場(chǎng)：(無限大平面為xy平面〕(b)．無窮長(zhǎng)均勻柱所產(chǎn)生的場(chǎng)：(均勻柱的軸為z軸)(c)．兩個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)：(兩點(diǎn)連線為z軸〕(d)．均勻圓環(huán)所產(chǎn)生的場(chǎng)：(圓環(huán)軸為z軸)(e)．均勻圓球所產(chǎn)生的場(chǎng)：L(空間旋轉(zhuǎn)球?qū)ΨQ)分析力學(xué)作業(yè)講解〔三〕第三章有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1、質(zhì)點(diǎn)受到的有心力為：證明：由比耐公式其中，A為積分常數(shù)。將F帶入可得：其中，試證明其軌道方程為那么令，帶入可得其通解為：我們總是可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得，帶入可得2、一質(zhì)點(diǎn)在有心引力作用下沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，力心在此圓的圓周上。求證這一有心力與距離的五次方成反比。證明：設(shè)置點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡圓周的半徑為a，那么其軌跡方程為：那么：帶入比耐公式：整理之后可得：所以有心力與距離的五次方成反比。系統(tǒng)的拉格朗日為所以3、在一個(gè)頂角為的圓錐形光滑杯中放置一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。圓錐的軸沿豎直方向，杯口向上。求證當(dāng) 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)水平圓環(huán)之間的杯壁上運(yùn)動(dòng)，并寫出決定這兩個(gè)圓環(huán)半徑的方程。解：系統(tǒng)的約束方程為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔1〕由〔4〕式可得帶入〔3〕式可得利用，可得解之系統(tǒng)的總能量所以，C=2E/m，帶入可得當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)或者最高點(diǎn)時(shí)，那么這個(gè)方程有三個(gè)解，兩正一負(fù)，顯然負(fù)數(shù)解應(yīng)舍棄。設(shè)余下的兩根為，那么〔如圖〕顯然只有當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度才為實(shí)數(shù)，所以質(zhì)點(diǎn)只能在之間運(yùn)動(dòng)。4、由橢圓的焦點(diǎn)F引一條線段，以均勻的角速度繞F點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求證此線段與橢圓的交點(diǎn)M的速度為，其中a和b是橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸。解：由橢圓的極坐標(biāo)方程而所以所以5、(a).有心力勢(shì)能為。分別對(duì)于，和。畫出有效勢(shì)能的曲線，并分別討論這三種情況下的各種可能的運(yùn)動(dòng)方式。(b).證明只有當(dāng)時(shí)，粒子才能落到力心上。說明其物理原因。并對(duì)計(jì)算落到力心上的截面。解：(a)等效勢(shì)能為：根據(jù)和的關(guān)系，三種情況下的的曲線如下：〔黑：；紅：；綠：〕在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的能量為我們?cè)谟懻摿Ｗ釉诓煌膭?shì)能中運(yùn)動(dòng)，只考慮束縛運(yùn)動(dòng)和無限運(yùn)動(dòng)。判斷粒子能否作無限運(yùn)動(dòng)，只需看當(dāng)時(shí)，粒子的速度〔動(dòng)能〕能否一直保持為正的非零值。(2)、當(dāng)時(shí)，粒子的有效勢(shì)能：當(dāng)時(shí)，上式的第二項(xiàng)是主要局部。那么粒子不能落到力心。只有當(dāng)，勢(shì)能足夠快速地趨向，質(zhì)點(diǎn)才可能“落到”場(chǎng)的中心。由不等式r可能趨于零的條件是及U〔r〕應(yīng)該趨向-∞，或者像下面計(jì)算粒子落到力心的截面：設(shè)粒子的瞄準(zhǔn)距離為b，n=2滿足條件的質(zhì)點(diǎn)才能落到力心，而下面計(jì)算粒子落到力心的截