備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué)糾錯(cuò)筆記系列專(zhuān)題05平面向量理

PAGE1專(zhuān)題05平面向量易錯(cuò)點(diǎn)1忽略了零向量的特殊性給出下列命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等.②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反.③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同.④零向量與任意數(shù)的乘積都為零.其中不正確命題的序號(hào)是.【錯(cuò)解】④【錯(cuò)因分析】解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．【參考答案】②④解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注六點(diǎn)：（1）正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.（2）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（3）共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.（5）非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量.（6）向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小.1．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1C．2 D．3【答案】D易錯(cuò)點(diǎn)2忽視平行四邊形的多樣性失誤已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).【錯(cuò)解】設(shè)A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－5）.【錯(cuò)因分析】此題的錯(cuò)解原因?yàn)樗季S定勢(shì)，錯(cuò)誤的認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)了漏解.實(shí)際上，題目的條件中只給出了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，并沒(méi)有給出相應(yīng)的順序，故可能有三種不同的情形.【試題解析】如圖所示，設(shè)A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.若四邊形ABCD1為平行四邊形，則=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.1．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)，當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)．2．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(2,4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴，解得.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．錯(cuò)點(diǎn)3忽視兩向量夾角的范圍已知向量（1）若為銳角，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【錯(cuò)因分析】（1）利用向量夾角公式即可得出，注意去掉同方向情況；（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．.【試題解析】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.當(dāng)時(shí)，同向,.即若為銳角，的取值范圍是{x|且}.【參考答案】（1）{x|且}；（2）或.1.兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．2.兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.3.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．3．若非零向量a，b滿足|a|=|b|，且（a－b）⊥（3a＋2b），則a與b的夾角為A. B. C. D.【答案】A【解析】∵（a－b）⊥（3a＋2b），∴（a－b）·（3a＋2b）=0?3|a|2－a·b－2|b|2=0?3|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉－2|b|又∵|a|=|b|，∴|b|2－|b|2cos〈a，b〉－2|b|2=0.∴cos〈a，b〉=.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉=，故選A.1．在求的三邊所對(duì)應(yīng)向量的夾角時(shí)，要注意是三角形的內(nèi)角還是外角．如在等邊三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120°而不是60°.2．在平面向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．實(shí)際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.3．實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c.4．實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．易錯(cuò)點(diǎn)4三角形的“四心”的概念混淆不清已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，λ∈（0，＋∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【錯(cuò)解】A【錯(cuò)因分析】對(duì)三角形“四心”的意義不明，向量關(guān)系式的變換出錯(cuò)，向量關(guān)系式表達(dá)的向量之間的相互位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤等.【參考答案】C三角形的“四心”與平面向量1.重心.若點(diǎn)G是的重心，則0或（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）.反之，若0，則點(diǎn)G是的重心.2.垂心.若H是的垂心，則或.反之，若，則點(diǎn)H是的垂心.3.內(nèi)心.若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則有=0.反之，若=0，則點(diǎn)I是的內(nèi)心.4.外心.若點(diǎn)O是的外心，則=0或.反之，若，則點(diǎn)O是的外心.4．G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若，則角A．90° B．60°C．45° D．30°【答案】D【解析】因?yàn)镚是的重心，所以有.又，所以a∶b∶eq\f(\r(3),3)c＝1∶1∶1，設(shè)c＝eq\r(3)，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(1＋3－1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°，故選D.向量與三角形的交匯是高考常見(jiàn)題型，解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問(wèn)題或三角恒等變形問(wèn)題或解三角形問(wèn)題．一、平面向量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念2．向量的線性運(yùn)算3．共線向量定理及其應(yīng)用向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．二、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.（3）平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.（4）向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.三、平面向量的數(shù)量積1.平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.（2）幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b=b·a（交換律）.（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（結(jié)合律）.（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.（2）模：|a|==.（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|==.（4）夾角：cosθ==.（5）已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0，a∥b?a·b=±|a||b|.（6）|a·b|≤|a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）?|x1x2＋y1y2|≤.|a|=，|a＋b|=四、平面向量的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用若a=（x1，y1），b=（x2，y2），（1）a∥b?a=λb（b≠0）?x1y2－x2y1=0.（2）a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.（3）cosθ==.2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用向量與三角的交匯是高考常見(jiàn)題型，解題思路是用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問(wèn)題或三角恒等變形問(wèn)題或解三角形問(wèn)題.3.向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述.進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答.4.向量在物理中的應(yīng)用物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解、合成與向量的加減法相似，因此可以用向量的知識(shí)來(lái)解決某些物理問(wèn)題.1．向量a=(2,-1)A．6 B．5C．1 D．-6【答案】A【解析】因?yàn)閍=(2,-1),b2．已知平面向量a,b的夾角為600,A．2 B．7C．27 D．【答案】D3．已知a=(1,3),A．-1 B．C．-3 D．【答案】D【解析】因?yàn)閍//b，所以k-3=0

4．已知向量a=(1,2),b=(x,4)A．-2 B．-4C．-8 D．-16【答案】C【解析】因?yàn)閍=(1,2),b=(x,4),且5．（2017年高考北京卷）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A6．雙曲線x2-y2b2=1的左，右焦點(diǎn)分別為FA．3 B．5C．26 D．【答案】B【解析】由雙曲線方程可得a=1,因?yàn)镻為右支上一點(diǎn),所以PF因?yàn)镻F1?所以|P則c=5,則雙曲線的離心率e=5．7．已知向量m=(1,2)，n=(2,3)，則m在A．13 B．8C．855 D【答案】D【解析】因?yàn)閙=(1,2)，n=(2,3)，所以m在n方向上的投影為8．在中，∠ABC=120°，BA=2，A．659 B．11C．419 D．【答案】B9．如圖，在中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD=3AE，則用向量ABA．CE=29AB+C．CE=29AB【答案】B【解析】由題意可得，CE=CA10．（2017年高考浙江卷）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，，，則A． B．C． D．【答案】C【名師點(diǎn)睛】平面向量的計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過(guò)所給條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，，進(jìn)而得到．11．（2017新課標(biāo)II理）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【名師點(diǎn)睛】平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．12．（2017新課標(biāo)Ⅲ理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【名師點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.13．平面向量a、b滿足a+b?2a-b=【答案】π【解析】a+b?2a-b得2×22+2×4×cos<a,b>-14．已知向量a=(cos(π3+α),1)【答案】715．（2017新課標(biāo)I理）已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=___________．【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下圖形，可以判斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)，一夾角為60°的菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，則為.【名師點(diǎn)睛】平面向量中涉及有關(guān)模長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，常用到的通法是將模長(zhǎng)進(jìn)行平方，利用向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個(gè)工具型的知識(shí)，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)加快解題速度.16．如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是___________．【答案】C17．（2017年高考天津卷）在中，，，．若，，且，則的值為_(kāi)__________．【答案】【解析】由題可得，則．【名師點(diǎn)睛】根據(jù)平面向量基本定理，利用表示平面向量的一組基底可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點(diǎn)公式表示向量，則可獲解．本題中已知模和夾角，作為基底易于計(jì)算數(shù)量積．18．在中，∠A=π2，AB=1，AC=2，M【答案】2【解析】由題意，得(λAB+μAC)2=AM2=14，即19．（2017年高考山東卷）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是___________．【答案】【名師點(diǎn)睛】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：.（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直等有關(guān)的問(wèn)題．（3）本題主要利用向量的模與向量運(yùn)算的靈活轉(zhuǎn)換，應(yīng)用平面向量的夾角公式，建立關(guān)于的方程求解.20．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【名師點(diǎn)睛】本題通過(guò)設(shè)向量的夾角為，結(jié)合模長(zhǎng)公式，可得，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求．21．（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則_________．【答案】3【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以．【名師點(diǎn)睛】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題．（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題．通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域的問(wèn)題，是此類(lèi)問(wèn)