高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的周期性

高中數(shù)學(xué)——函數(shù)的周期性一、知識回顧2．最小正周期：如果在周期函數(shù)f<x>的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f<x>的最小正周期．3．關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論<1>若滿足,則,所以是函數(shù)的一個周期<>；<2>若滿足,則＝,所以是函數(shù)的一個周期<>；<3>若函數(shù)滿足,同理可得是函數(shù)的一個周期<>.〔4〕如果是R上的周期函數(shù),且一個周期為T,那么．〔5〕函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱．〔6〕函數(shù)圖像關(guān)于中心對稱．〔7〕函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,關(guān)于中心對稱．二、方法規(guī)律技巧1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法,形如y＝Asin<ωx＋φ>,用公式T＝計算．遞推法：若f<x＋a>＝－f<x>,則f<x＋2a>＝f[<x＋a>＋a]＝－f<x＋a>＝f<x>,所以周期T＝2a.換元法：若f<x＋a>＝f<x－a>,令x－a＝t,x＝t＋a,則f<t>＝f<t＋2a>,所以周期T＝2a．。2．判斷函數(shù)的周期只需證明f<x＋T>＝f<x><T≠0>便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．4.關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題,關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．三、例題講解：1、設(shè)定義在上的函數(shù)滿足,若,則．2、已知f〔x〕是R上的奇函數(shù),對x∈R都有f〔x+4〕=f〔x〕+f〔2〕成立,若f〔﹣1〕=﹣2,則f〔2013〕等于〔〕A．2B．﹣2C．﹣1D．20133、定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且對任意的實數(shù)x都有f<x>＝－f,f<－1>＝1,f<0>＝－2,則f<1>＋f<2>＋…＋f<2013>＝<>A．0B．－2C．1D．－44、已知周期函數(shù)f<x>的定義域為R,周期為2,且當(dāng)－1<x≤1時,f<x>＝1－x2.若直線y＝－x＋a與曲線y＝f<x>恰有2個交點,則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為<>A．{a|a＝2k＋或2k＋,k∈Z}B．{a|a＝2k－或2k＋,k∈Z}C．{a|a＝2k＋1或2k＋,k∈Z}D．{a|a＝2k＋1,k∈Z}5、設(shè)f<x>是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[－1,1]上,f<x>＝,其中a,b∈R.若f＝f,則a＋3b的值為________．四、新題變式探究[變式一]已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；①對任意的,都有；②對任意的；③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.則下列結(jié)論正確的是<>A.B.C.D.[變式二]設(shè)g<x>是定義在R上,以1為周期的函數(shù),若函數(shù)f<x>=x+g<x>在區(qū)間[0,1]上的值域為[-2,5],則f<x>在區(qū)間[0,3]上的值域為.[綜合點評]充分利用周期函數(shù)的定義將所求函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的求值問題是解題關(guān)鍵．五、易錯試題常警惕易錯典例1：若函數(shù)f<x>＝在定義域上為奇函數(shù),則實數(shù)k＝________.易錯典例2：定義在R上的函數(shù)f<x>既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),T是它的一個正周期．若將方程f<x>＝0在閉區(qū)間[－T,T]上的根的個數(shù)記為n,則n可能為<>A．0B．1C．3D．5[變式]設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時,是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之和為<>A．－3B．3C．－8D．8練習(xí)：A基礎(chǔ)測試1.[##省##市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研]設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,.若,則實數(shù)的值為.2.[2014屆##市普通高中高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)檢測]給出下列函數(shù)①②③④,其中是奇函數(shù)的是〔〕A.①②B.①④C.②④D.③④3.[虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題]已知是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則滿足的實數(shù)的X圍是．4.[##市普通中學(xué)2013-2014學(xué)年度高中畢業(yè)班摸底測試理],若,則〔〕A.0B.3C.-1D.-25.[##省示X高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕]已知偶函數(shù)對任意均滿足,且當(dāng)時,,則的值是.B能力提升訓(xùn)練1.[##省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試理科數(shù)學(xué)]已知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)時,,則函數(shù)的零點個數(shù)是〔〕A．9B．10C．11D．122.[##省##一中、康杰中學(xué)、##一中、##二中四校2014屆高三第二次聯(lián)考]定義在R上的奇函數(shù)滿足,且不等式在上恒成立,則函數(shù)=的零點的個數(shù)為〔〕A.4B.3C.2D.13.[##省##市一中2014屆高三第二次統(tǒng)測]奇函數(shù)滿足對任意都有成立,且,則的值為〔〕A．2B．4C．6D．84.[##省##市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)理試題]已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),若對于任意的實數(shù),都有,且當(dāng)時,,則的值為〔〕5．[2014屆##省日照市高三校際聯(lián)考]已函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上時〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式;〔Ⅱ〕解不等式．C思維擴展訓(xùn)練1.[####高中2014屆高三年級九月調(diào)研考試]已知是定義在R上周期為4的奇函數(shù),且時,則時,=_________________2.[2014屆##一中##中學(xué)高三年級聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理