新教材2023版高中數(shù)學(xué)章末質(zhì)量檢測五第六章立體幾何初步北師大版必修第二冊

章末質(zhì)量檢測(五)第六章立體幾何初步一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)Q是棱DD1上的動點(diǎn)，則過A，Q，B1三點(diǎn)的截面圖形不可能的是()A．等邊三角形B．矩形C．等腰梯形D．正方形3．若圓柱的軸截面是一個正方形，其面積為4S，則它的一個底面面積是()A．4SB．4πSC．πSD．2πS4．如果一個正四面體(各個面都是正三角形)的體積為9cm3，則其表面積為()A．18eq\r(3)cm2B．18cm2C．12eq\r(3)cm2D．12cm25．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直線m⊥平面β，還需要補(bǔ)充的條件是()A．m?αB．m∥αC．m⊥lD．m?α且m⊥l6．一個四面體共一個頂點(diǎn)的三條棱兩兩互相垂直，其長分別為1,eq\r(6)，3，其四面體的四個頂點(diǎn)在一個球面上，則這個球的表面積為()A．16πB．32πC．36πD．64π7.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(16,3)C．4D．58．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在的直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，下列說法錯誤的是()A．無論翻折到什么位置，A、C兩點(diǎn)都不可能重合B．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°C．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°D．存在某個位置，使得直線AB與直線CD所成的角為90°二、多項(xiàng)選擇題(大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．已知α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()A．若m∥n，m⊥α，則n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nC．若m⊥α，m⊥β，則α∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥β10．已知m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個不重合的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥βC．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥β11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是()A．在棱AD上存在點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P-BC-A的大小為45°D．BD⊥平面PAC12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(diǎn)(不包括兩個端點(diǎn))，M為線段AP的中點(diǎn)，則()A．CM與PN是異面直線B．CM＞PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．過P、A、C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為________，體積為________．14．已知正四棱錐的側(cè)棱長為2eq\r(3)，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該四棱錐的高為________．15．設(shè)α，β，γ是三個不同平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b?β；(3)b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確的序號填上)．16.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)證明：D1A∥平面C1BD；(2)求異面直線D1A與BD所成的角．18．(12分)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求：(1)三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′-BC′D的體積．19．(12分)在如圖的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，點(diǎn)E，G，F(xiàn)分別為棱MB，PB，PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.求證：(1)平面EFG∥平面PMA；(2)平面PDC⊥平面EFG.20．(12分)如圖平行四邊形ABCD中，BD＝2eq\r(3)，AB＝2，AD＝4，將△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE.(2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積．21．(12分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．(1)求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．22．(12分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝1，AA1＝BC＝2，點(diǎn)D在側(cè)棱AA1上．(1)若D為AA1的中點(diǎn)，求證：C1D⊥平面BCD；(2)若A1D＝eq\r(2)，求二面角B-C1D-C的大小．章末質(zhì)量檢測(五)第六章立體幾何初步1．解析：A錯誤．如圖1所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．C錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．D正確．答案：D2．解析：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖(1)；當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖(2)；當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D、D1重合時，令Q、R分別為DD1、C1D1的中點(diǎn)，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖(3)．D是不可能的．答案：D3．解析：由題意知圓柱的母線長為底面圓的直徑2R，則2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面積為πR2＝πS.答案：C4．解析：設(shè)正四面體的棱長為acm，則底面積為eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高為eq\f(\r(6),3)acm，則體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其表面積為4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．答案：A5．解析：選項(xiàng)A，B，C的條件都不能得到直線m⊥平面β.而補(bǔ)充選項(xiàng)D后，可以得到直線m⊥平面β.理由如下：若兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．故選D.答案：D6．解析：將四面體可補(bǔ)形為長方體，此長方體的對角線即為球的直徑，而長方體的對角線長為eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半徑為2，故這個球的表面積為4πr2＝16π.答案：A7．解析：V多面體P-BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B8．解析：在A中，點(diǎn)A與點(diǎn)C一定不重合，故A正確；在B中，存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，當(dāng)平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF時，直線AF與直線CE垂直，故C正確；在D中，直線AB與直線CD不可能垂直，故D錯誤．故選D.答案：D9．解析：若m⊥α，則?a，b?α且a∩b＝P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，則n⊥a，n⊥b，由線面垂直的判定定理得n⊥α，故A對；若m∥α，α∩β＝n，如圖，設(shè)m＝AB，平面A1B1C1D1為平面α，m∥α，設(shè)平面ADD1A1為平面β，α∩β＝A1D1＝n，則m⊥n，故B錯；垂直于同一條直線的兩個平面平行，故C對；若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故D對；故選ACD.答案：ACD10．解析：若m∥α，n∥β且α∥β，則可以m∥n，m，n異面，或m，n相交，故A錯誤；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；若m∥n，n⊥α，則m⊥α，α⊥β，則m∥β或m?β，D錯誤．故選BC.答案：BC11．解析：對于A，取AD的中點(diǎn)M，連PM，BM，則∵側(cè)面PAD為正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正確．對于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，設(shè)AB＝1，則BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小為45°，故C正確．對于D，因?yàn)锽D與PA不垂直，所以BD與平面PAC不垂直，故D錯誤．故選ABC.答案：ABC12．解析：C、N、A共線，即CN、PM交于點(diǎn)A，共面，因此CM、PN共面，A錯誤；記∠PAC＝θ，則PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋eq\f(1,4)AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋eq\f(1,4)AP2－AP·ACcosθ，又AP＜AC，CM2－PN2＝eq\f(3,4)(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN，B正確；由于正方體中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN?平面PAN，從而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正確；取C1D1中點(diǎn)K，連接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方體中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK、AC共面，PKCA就是過P、A、C三點(diǎn)的正方體的截面，它是等腰梯形，D正確．故選BCD.答案：BCD13．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得2πr＝2π，解得r＝1，根據(jù)勾股定理，得圓錐的高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的表面積S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，體積V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：3πeq\f(\r(3),3)π.14.解析：如圖，過點(diǎn)S作SO⊥平面ABCD，連接OC，則∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3.答案：315．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，舉出反例如下：使β∥γ，b?γ，a?β，則此時能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；(2)a∥γ，b?β，可以，由a∥γ得a與γ沒有公共點(diǎn)，由b?β，α∩β＝a，b?γ知，a，b在面β內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，故平行；(3)b∥β，a?γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b無公共點(diǎn)，再由a?γ，b?γ，可得兩直線平行．綜上可知滿足的條件有(2)和(3)．答案：(2)(3)16．解析：對于①，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故①正確．對于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，故②不正確．對于③，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點(diǎn)，從而BC與平面PAE有公共點(diǎn)，所以直線BC與平面PAE不平行，故③不正確．對于④，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故④正確．綜上①④正確．答案：①④17．解析：(1)證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴AD1∥BC1，∵AD1?平面C1BD，BC1?平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD.(2)由(1)知，AD1∥BC1，∴異面直線D1A與BD所成的角即為∠C1BD.易知△C1BD為等邊三角形，∴∠C1BD＝60°，即異面直線D1A與BD所成的角為60°.18．解析：(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方體，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱錐A′-BC′D的表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方體的表面積為6a2，故三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值為eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱錐A′-ABD，C′-BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′是完全一樣的．故V三棱錐A′-BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′-ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).19．證明：(1)∵點(diǎn)E、G、F分別為棱MB、PB、PC的中點(diǎn)，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵PM?平面PMA，EG?平面PMA，∴EG∥平面PMA.∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵AD?平面PMA，GF?平面PMA，∴GF∥平面PMA.又∵EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，∴平面PDC⊥平面EFG.20．解析：(1)證明：∵AB＝2，BD＝2eq\r(3)，AD＝4，∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，且平面EBD∩平面ABD＝BD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而折疊后DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3)，又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.又∵AD?平面ABD，∴ED⊥AD.∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4.綜上，三棱錐E-ABD的側(cè)面積S＝8＋2eq\r(3).21．解析：(1)如圖(1)，取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM.∵E是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，∴EM∥AD.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1，從而∠EBM為直線BE與平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝eq\r(AB2＋AM2＋ME2)＝eq\r(22＋22＋12)＝3.在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)