必修五預(yù)科學(xué)生版

第一章解三角 第一節(jié)正弦定 第二節(jié)余弦定 第三節(jié)解三角形應(yīng)用問題（包含面積 第四節(jié)解三角形綜合應(yīng) 第二章數(shù) 第一節(jié)數(shù) 第二節(jié)等差數(shù) 第三節(jié)等比數(shù) 二【引入 第四節(jié)數(shù)列綜 第三章不等 第一節(jié)不等式關(guān)系與不等 第二節(jié)均值不等 第三節(jié)一元二次不等 第四節(jié)不等式實際應(yīng) 第五節(jié)簡單的線性規(guī) 第一章解三角形第一節(jié)正弦定理S2.誘導(dǎo)檢1：sin45= ;sinB1

則B

cosB

3,則B 22：已知cosB1求sin3檢3：sin() 檢4：sin(AB) 檢5：sin2B sinAacsinBcasin

sin

又sinC1asin

sin

正弦定理：

2RR為三角形外接圓半徑sin CDasinBCDbsinA所以asinBbsin即 sin 同理，在ABCc 得 sin sin 解三解形：一般地，把三角形的三個角B,C和它們的對邊abc叫做三角形的元素，已

代

,得sinB1Bsin 【例2】在ABC中，A60，a ，b3，則ABC解的情況 A.無 B.有一 C.有兩 D.不能確 代入得sinB 1無解sin 1【練習(xí)2】在ABC中，a1，b2，cosC ，則c 4【練習(xí)3】在ABC中，已知bc8，B30，C45，則b ，c答案：1.C30,AC63,BC6 3.b8(21),c8(2a2Rsinb2Rsinc2Rsin例1：在△ABC中，若sinAsinB，則A與B的大小關(guān)系為 A B.AC.A D.AB例2：已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，則a:b:c 例3：已知ABC中，A60，a 3，則 ab = sinAsinBsin4：在ABCasinAbsinBcsinC，則ABC例5:在△ABC中，若acosAbcosB，則△ABC的形狀是（ 例6：在△ABC中，周長為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列結(jié)論：56①a:b:c4:5:6 ②a:b:c2 56④A:B:C4:5:6 其中成立的個數(shù)是 A．0 B．1 C．2 D．3sinAsin(BC)sinBsin(AC)sinCsin(A例1：在△ABC中，若b2asinB，則A等于 2.在ABC中，c6,A45a2,求b和3.在ABCsinC2sin(BCcosB，則ABC4在ABCcosC3ac，求cos 在ABC中，已知a,b,AA為鈍角或直角時，必須ab如果ab如果ab若absinA若absinA若absinA已知邊a,b和 B1H無

有兩個 僅有一個例1：在△ABC中，已知a3，b ，B45，求A,C和c①a=4，b10，A②a6，b10，A③a6，b10，A④a12，b10，A⑤a+b+c=4，A30，B A.①④ B.①②③ C.④⑤ D.①②⑤例3.在△ABC中，bsinAab，則此三角形有（ A、一 C、無 D、不確4.在ABCaxcmb2cmB45在△ABC中，若tanA

1，C3

，BC1，則AB 在ABC中，角ABC所對的邊分別為a、b、c若a,c3,C 則A= 33ABCA，B，C的對邊分別為a，b，c，a2bsinAB的大小44.在△ABC中，已知AC2，BC3，cosA 45求sinB 6求sin2B 的值6 在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（ △ABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C，則△ABC是 A.銳角三角 B.直角三角 C.鈍角三角 D.等腰三角 a=2bsinA，則∠B為 A. B. C.π或 D.π或 1在ABC中，若a1，c ，C40，則符合題意的b的值 個2在ABCacosBbcosA2bsinC，求B在ABCa2tanBb2tanA，則ABC第二節(jié)余弦定理S1.S2.誘導(dǎo)檢1：sin60 ;sinB 則B 2

cosB

3,B22：已知cosB3sin()4sin(AB5sin2B6:ab

2求sin3在ABCABBC、CA的長分別為ca、b∵ACABACAC(AB∴b2a2c22accos a2b2c22bccosc2a2b2

C 1】△ABCa33c2B150，求b【解析】b2a2c22accosB2】在ABC中，若a2b2c2bc【解析】a2b2c22bccosA23【練習(xí)1】在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則 A．

【練習(xí)2在△ABC中已知 ∠A＝120° 【答案】cosAb2c2【知識要點一 變形cosBa2c2cosCa2b2【例1：△ABC中，a2，b ，c 1，求A【例2】在△ABC中，已知三邊長a3，b4，c 【例3：邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為 A. B. C. D.4：在ABCa2b2c2bc，求tan例5.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是 5 x 555C． 556.ABC中，a4b4c42c2a2b2,求例1：在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC等 .3.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin2BCcos2A7 若a ，b+c=3，求b和c的值 面 :S absinC acsinB bcsin 例1.在△ABC中，b=8，c= ，則∠A等于 A.30 B. C.30o或 D.60o或例2：△ABC中，若其面積S=1(a2+b2-c2)，則∠C 43：在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8ABBC的值 _，外接圓半徑 5.在ABCAB,C的對邊分別為abc，且2acosAbcosCccosB若a6,bc8，求ABC1.在△ABC中 ，c＝2，那么B等于 A. 在ABCa、b、c1absinCa2b2 已知a，b，c是△ABC三邊的長，若滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab，則∠C的大小 A. B. C. D.已知△ABC的三邊長a3,b5,c6，則△ABC的面積為 B. 在△ABC中，若sinA∶sinBsinC78∶13，則Ca，b，c為△ABC的三邊，其面積 在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊的長分別為a,b,c,已知b5，sinA 4

157.（I）求c的值；（II）sinC的值48在ABCAB,C所對的邊分別為a,bc，滿足sinA

5，且ABC的面積為2 求bc若bc6，求a第三節(jié)解三角形應(yīng)用問題（包含面積（1（2） sinA sinB sinCS1bcsinA21acsinB21absin2 bsin 分析：先由sin 可進一步求出B；則C=180°-(A+B),從而 sina2=b2+c2A是直角△ABCa2＞b2+c2A是鈍角△ABCa2＜b2+cA是銳角 （注意：A是銳角 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bcsinA＝2sinBcosC，試確定△ABC的形1sinCa＝2,2sinA＝sinCbcA．45°135°2，則B等于( 在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是() 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2kk的取值范圍是() C.－ D. 是β、α(β<α)．則A點離地面的高AB等于()asinαsin asinαsinasinαcos acosαcos在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面積為2203，那么BC的長度為 C．49 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，則A等于( a在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，則sin

可用“偏”多少度來表示，這里第一個“”是“北”或“南”，第二個”是“東”或“西”如圖所示：OA、OB、OC、OD的方向角分別表示北偏東600、北偏西300、西南方向、南偏東200．A D AB 如圖所示，把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比，用字母i表示，即ih．ll（角形；（4）距離(精確到0.1m)C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出ACBC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。千米后，到A的距離縮短了10千米．問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？2、ABB不可到達的一個建筑物，Aβ=50°1′BC27.3m,CD(1m).4、如圖,一輛汽車在一條水平的公向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在 達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1°,距離精確到0.01n 巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該船？7A38BA在船的南繼續(xù)向南航行，有無觸礁的？度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，t的式子表示t第二章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列S1找規(guī)律1：

明要吃多少包辣條？不要問怎樣吃的，有錢就是這么！ 前n項和：Sna1a2an及數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：Saaaa (n

(n【解析】每一項都表示一個偶數(shù)，第一項是21，第二項是22，第三項是23，第項是2n所以an2nn

}的通 ,寫出前5項，

11 n=2a222 3所以a33

a

a 即a1=4；a2=5=4+1=a1+1； 依此類推：an=an-1+1(2≤n【答案】an4n3,n(1)an(1)n(2)an前5項分別為

22,2

32,3

42,4

52532 (1)，，，()，，43 12 ，( 1(3)2,1，()，23 (4)，，()，2

式 例3.已知{an}中，a1＝1，a＝，則數(shù)列{an}的 式是 n

C．a(chǎn)n＝

下列說法中，正確的是 n數(shù)列 n 已知數(shù)列3，3，15，21，33，…，32n－1，…，則9是這個數(shù)列的( A．第12項 B．第13項 C．第14項 D．第15項在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于 項 已知數(shù)列{a}滿足a

n

a＝(n∈N)，則數(shù)列{an} 在遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是 第二節(jié)等差數(shù)列S1觀察數(shù)列，寫出一個通檢2：數(shù)列1,3,6,10,15，…的遞推是n≥2做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示④如果等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項為ana1n1)d該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)a2a1da2a1a3a2d即：a3a2da12da4a3da4a3da13d等差數(shù)列的前n項和

n(a1an2na1n(n1)2

an

(n

對于2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函等差中項:aAbAa與bAab22Aa等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第m項，mnd，則有anam(nm)dana1(n ama1(m

an-am(nm)danam(nm)d對于等差數(shù)列an，若nmpq，則anamapaqana1(n1)dama1(m1)dapa1(p1)daqa1(q1)danamapa1ana2an1a3an2【例1】數(shù)列{an}的通式an＝2n＋5，則此數(shù)列)A2數(shù) 列．答案【例2】等差數(shù)列的前三項依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通式為)．A．a(chǎn)n＝2n－5 下列說法正確的是列．答案C 【練習(xí)2】5．首項為－24的等差數(shù)列，從第10．

a 333B．± D．－ 例2：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S7＝35，則a4等于 在△ABCA，B，CB等于)．A．30° 已知數(shù)列的 式：an (n為偶數(shù) C．3是數(shù)列中的

2 ，5，22 ，…則25是這個數(shù)列的 2第6 B．第7 C．第8 D．第9nn已知數(shù)列{an}nS=3+2nann，則第三節(jié)等比數(shù)列S1等差數(shù)列的定義1：【答案】由a18,d5825 n=20，得a208(201)(3)【答案】由a15,d9(5) 得數(shù)列 式為：an54(n ②1，

， ④100001.0198， ， ，100001.01984觀察：請仔細觀察一下，看看以上①、②、③、④四個數(shù)列有什么共同特征？數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.q表示a（q0a

a)a｛

｝成等比數(shù)列an1=q（nNn2隱含：任一項an0且q3q=1時，{an}a2a1q

ana1qn1(a1qaaq(aq)qaq2 aaq(aq2)qaq3 ………………anan1qa1qn1(a1q 式2:anamqm1(a1q4 4 ．－2B．－2 式可知，aaq3 【解析】根據(jù) 式aaq8，a 【答案】a=a2=5,aa 【答案】根據(jù)等比數(shù)列通式可知，ana1qn123n1，選等比數(shù)列的前nS

(qa(1q aa (q 1 1等比數(shù)列{an}的前n項和Sna1a2a3 an①當(dāng)q1時，ana1，Sna1a2a3 anna1②當(dāng)q1時，由ana1qn1Saaqaq2 aqn2a qSaqaq2aq3 aqn1a (1q)Saaqnaaqa（1 naa a(1qnn∴

1

11

(q即 a(1q aa (q 1 1

an根據(jù)等比性質(zhì)，有a2a3anSna1q(1q)Saaa1a2

Sn

aa a(1qnq∴當(dāng)q1Snq1

或Sn11

2

可求出n，ana 11S5

a1(1q5)311 A.

D.

1

2 1 2 C.8如果三個數(shù)a、G、b成等比數(shù)列，那么稱數(shù)G為a與b的等比中項.其中G 例1：等比數(shù)列{an}中，a1＝1，q＝2，則a4與a8的等比中項是( 8 C． ①若mnpqN，且mnpq,則amanapaq特別地，當(dāng)mn2p時aaa2 1、{am}mNm是常數(shù))、ab

n{n

④連續(xù)k項和（不為零）仍是等比數(shù)列.SkS2kSkS3kS2k，…成等比數(shù)列.4.等比數(shù)列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10.練習(xí)4：若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為 例5：在和 。

例6．已知數(shù)列{a}的首項為a2,

, a n nnn比數(shù)列7．已知數(shù)列{an}中a11,an2an130(n2判斷數(shù)列{an1}是等比數(shù)列，并說明8．設(shè)an是公比為qq1，令bnan1n1

，若數(shù)列bn1.已知aa2

1,則公比q為 , 2

22在等比數(shù)列{an}中，若a48，q2，則a7的值為 在等比數(shù)列anN中，若a1,a1，則該數(shù)列的前10項和為 2 在等比數(shù)列an中，a11，公比q1.若ama1a2a3a4a5，則m 設(shè)等比數(shù)列{a}的公比q2，前n項和為S， a2a B. 設(shè)f(n)22427210 23n10(nN)，則f(n)等于

已知等比數(shù)列{a}滿足a0,n1, ，且a 22n(n3)，則當(dāng)n1時 2nlog2a1log2a3 log2an21 A.n(2n B.(n C. D.(n第四節(jié)數(shù)列綜合【知識要點一】數(shù)列求Sn的方法求數(shù)列的前n項和的幾種常用方法1、法：和求和；1 式為ann(n1)的數(shù)列求和. 1

1 )n(n

n

②若{a}為等差數(shù)列，且公差d不為0，首項也不為0，則 ) a d ③若{an} an(AnB)(AnC)CB(AnBAnC)nn nnk

n)分等等，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或者等比數(shù)列等可求和的數(shù)列分別進行求和.例如對通式為an=2n+3n的數(shù)列求和.積組成的，求和的時候可以采用錯位相減法.即錯位相減法適用于通項為anbncn（前n項和S.例如對通式為a(2n1)2n的數(shù)列求和. Snb1c1b2c2bn1cn1 qSnb1c2 所以有(1q)Snb1c1(c2c3cn)d n(n123n 2135 (2n1)122232n2n(n1)(2n1)6設(shè)數(shù)列a的通項為a2n7(nN*則|a||a|……+|a n求和：Slnxlnx3lnx5 lnx2n1n求和Sn12x3x24x3 nxn1（xR已知數(shù)列annSnSnn21求和1 (1 已知數(shù)列xx3x2npnq（nN*pq是常數(shù)xx

6．已知數(shù)列{an}的前nSn1591317211)n1(4n3)S15S22的值任意數(shù)列{an}的前n項和Sna1a2 a

(n S

(n以用一個來表示，那么這個就叫做這個數(shù)列的遞推，簡稱遞推式.例7.在數(shù)列{a}中，S是其前n項和，若a ＝1S(n≥1)，則a 3

3n式19:已知數(shù)列{an}的前nSnSn3(an1)nN*)1（1）求a1a2（2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列

210annSn，若對于nNSnnan1Sn例11：在數(shù)列{an}中，已知a11,前n項和Sn與通項an2Sn22anSnan(n2,3...)，求這個數(shù)列的 1已知an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，且9S3S6,則數(shù)列 1an求和Ssin21sin2 sin2891234,,n,的前nS248 求0.90.990.999 221

133

n n，…n n求和:1

1

12

12

22 32 42 (n1)2221321421，…(n1)21n項的和Sn

1求和122438nn 2 1

1 1求和x

(x0) x x2 xn求12223242，…(1)nn2，…50項之和S50以及前nSn326498326498 若數(shù)列b滿足：ba(1)nlna，求數(shù)列b的前2n項和 3(1)數(shù)列{an}的通式；＋…＋a2n 在等差數(shù)列{an}中，a1＝1nSn滿足條件Sn＝n＋1(1)求數(shù)列{an}的通式； a1，以后每r(r＞0)n年末，第一年所交納的儲備金就a(1＋r)n－1a(1＋r)n－2，…Tn

第三章不等式ab0abab0abab0a=x2x=x22xx2xx性質(zhì)2.如果ab,bc那么ac推論2.如果a>b0,則anbn(nNn1】已知abab0求證11 ab1又a1b 11 2】已知:如果a>b0,dc0,求證dc0，有例1知1

a>b0a1b ab 1】比較(a3)(a5)與(a2)(a4)【答案】（取差）(a3)(a5)(a2)(a(a22a15)(a22a8)7∴(a3)(a5)<(a2)(a2ama（其中ba0m0）b 【答案】（取差）bbmm(b a a(a∵ba∴當(dāng)bab>b a3】已知abdc,求證acb ∴c a acbc(acbd)(abca

ab0上式 c

cda0,b

ab

a2b2

1：(x5)(x7)與(x6)2xx xx3a2b2c2abbcca4：x0,比較(x21)2x4x21例1：設(shè)a1b1,則下列不等式中恒成立的是 1

1

a

a2(1若ab0，bcad0cd0；(2)若ab0c

0，則bcad若bcad0c

0，則ab A. B. C. D.例3：設(shè)a,bR，若ab0，則下列不等式中正確的是 A.ba B.a3b3 C.ba D.a2b2例4：設(shè)a，b是非零實數(shù)，若ab，則下列不等式成立的是（ Ａ．a(chǎn)2 Ｂ．a(chǎn)b2 Ｃ． Ｄ．b a 例5：若a、b、c ab，則下列不等式成立的是 （A）11 （B）a2b2 （C） .（D）a|c|b|c| c2 c2設(shè)a,b,c,dR.且ab,cd，且下列結(jié)論中正確的是 A.acb B.acb C.ac D. : A. B. C. D.（3）a2b22(ab1)．其中正確的個數(shù)為（ 給出下列條件①1ab0ab10a1b．log1b

1a

1

a,b0b1baeab0cd0e0，ea

e b設(shè)a,b,cR，abc0,abc 求證111 第二節(jié)均值不等式(ab)20（完全平方大于等于零1：比較a2b2與2ab解：a2b2(ab)2a2b2如果a，bR那么a+b

a【例1】證明：如果a,b是正數(shù)，那 2

（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=）【答案】證明：∵(a)2(b)2 ∴ab2

當(dāng)且僅當(dāng)ab ab21

x

∴x1 x∴x x

=x1 x1x

1 1211】已知0x

，則x(13x)取最大值時x的值是 3

(ab)2aba2 (ab a2

a2

a

)2 a2b2ab(ab

yx4x【練習(xí)4】若實數(shù)a,b滿足ab1，則3a3b的最小值是 3 31】已知a,bxyRab1xy 2】若4x1

x22x2x

【例2xyR且2xy111 .設(shè)0ab，則下列不等式中正確的是（aab 2aC.a b2

aa 2aab2若a,bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是

ab

11

已知x,y是正數(shù)，且191，則xy的最小值是 .已知正數(shù)x,y滿足xy1，則12的最小值 22 B.3 22已知log2alog2b1，則3a9b的最小值 設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2y2xy1,則xy的最大值 若實數(shù)x,y滿足x2y2xy1，則xy的最大值 8yloga(x3)1(a0,a1)AA在直線mxny1上，其中mn0,12 fxx22x3fx0xax2bxc0可以看做一元二次不等式的條件a0yax2bx（a0）yax2bxyax2bxyax2bxax2bxcx1,x2(x1x2xx ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx bxxR 2aax2bxc0(a0)xxxx 若A0，則xx1或若A0，則x1xx2若A0，則xx0 =0x＝x＝x若A0，則x若A0，則xx 1：下面哪些不等式是一元二次不等式？（其中a、b、c、m為常數(shù) xx25；⑵ax22；⑶x35x60；⑷mx25y0 ax22x30；⑵2x2ax20；⑶mx2ny22：求不等式4x24x10的解集2：求不等式x22x30的解集x20x2x5ax22x35x60mx25y0ax2bxc0.其中是一元二次不等式的有（）個 不等式x12x0的解集為（ 已知x25x60,Mx25x6，則M的取值范圍是 M （C）20M （D）0M已知二次不等式ax2bx10的解集為x2x1，則a,b的值為 （A）a1,b2 （C）a1,b （D）ab2若關(guān)于x的不等式mx28mx210的解集為x7x1，則實數(shù)m的取值范圍 （D）函數(shù)y x2x12的定義域x2m3xm0有兩不等個實根，則實數(shù)m 不等式axbx20的解集是x x ，試確定ab的值 檢2：已知x，y是正數(shù)，如果xy是常數(shù)p，則x＋y有最 值，且這個值是 如果x＋y是常數(shù)S，則xy有最 3：不等式－6x2－x＋20 =x,x=20時等號成立abbabbcaabacbcabcdacbabc0acbcabc0acbcab0cd0acbd 倒數(shù)法則：ab,ab0 開方法則：ab0 nb(nN*且n一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0yax2bx（a0）yax2bxyax2yax2bx（a0）yax2bxyax2bxyax2bxax2bxcx1,x2(x1x2xx ax2bxc0(a