誤差合成與分配

誤差合成與分配第一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三本章重點和難點★函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機誤差的概念★隨機誤差的合成★未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成★誤差分配★微小誤差取舍準則★最佳測量方案的確定重點掌握：函數(shù)誤差的計算方法；掌握：誤差和成方法及系統(tǒng)誤差與隨機誤差的異同點；了解：誤差分配的基本步驟。第二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)函數(shù)誤差

前面討論的主要是直接測量的誤差計算問題，但在有些情況下，由于被測對象的特點，不能進行直接測量，或者直接測量難以保證測量精度，需要采用間接測量。間接測量是通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計算出被測的量。因此間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數(shù)，而間接測量誤差則是各個直接測得值誤差的函數(shù)，故稱這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容，實質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題，而對于這種具有確定關(guān)系的誤差計算，也有稱之為誤差合成。第三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)誤差的概念間接測量

函數(shù)誤差

間接測得的被測量誤差也應是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差

通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)系計算出被測量第四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算間接測量的數(shù)學模型

與被測量有函數(shù)關(guān)系的各個直接測量值

y間接測量值求上述函數(shù)y的全微分，其表達式為：（3-1）

第五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三

若已知各個直接測量值的系統(tǒng)誤差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn

由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差⊿y的計算公式（3-2）和的量綱或單位不相同，則起到誤差單位換算的作用和的量綱或單位相同，則起到誤差放大或縮小的作用為各個輸入量在該測量點處的誤差傳遞系數(shù)函數(shù)系統(tǒng)誤差計算公式

若已知各個直接測量值的系統(tǒng)誤差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差⊿y的計算公式第六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三線性函數(shù)的系統(tǒng)誤差計算函數(shù)形式為線性關(guān)系的函數(shù)系統(tǒng)誤差為（3-3）

線性關(guān)系的函數(shù)式中的各個誤差傳遞系數(shù)ai為常數(shù)。當函數(shù)為各測量值之和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和第七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三正弦函數(shù)的系統(tǒng)誤差計算公式

函數(shù)系統(tǒng)誤差因則有（3-5）（3-6）同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式。

第八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例1

用弓高弦長法間接測量大直徑D

如圖所示，直接測得其弓高h和弦長s，然后通過函數(shù)關(guān)系計算出直徑D。若弓高與弦長的測得值及其系統(tǒng)誤差為求測量結(jié)果。第九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三求解：1.建立函數(shù)關(guān)系式若不考慮測得值的系統(tǒng)誤差，則計算出的直徑D0為2.計算直徑D0值3.計算直徑D的系統(tǒng)誤差直徑D的系統(tǒng)誤差公式為第十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三4.計算各誤差傳遞系數(shù)值將已知各誤差值及誤差傳遞系數(shù)代入直徑的系統(tǒng)誤差式，得5.計算系統(tǒng)誤差值6.給出測量結(jié)果通過修正可消除所求得的直徑系統(tǒng)誤差△D，則被測直徑的實際尺寸為第十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例２用量塊組做標準件的測量相對測量時需用54.255mm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸如下：已知各尺寸偏差及其測量極限誤差分別為試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差？第十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三解：量塊組尺寸的系統(tǒng)誤差為故量塊組按基本尺寸使用時的修正值為－0.4μm使用該量塊組做相對測量帶來的測量誤差為故量塊組結(jié)相對測量帶來的測量誤差不會超出±0.５１μm第十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三二、函數(shù)隨機誤差計算

隨機誤差是用表征其取值分散程度的標準差來評定的，對于函數(shù)的隨機誤差，也是用函數(shù)的標準差來進行評定。因此，函數(shù)隨機誤差計算，就是研究函數(shù)y的標準差與各測量值的標準差之間的關(guān)系。若以各測量值的隨機誤差δ1，δ2，…．δn代替各微分量dx1，dx2，…，dxn只能得到函數(shù)的隨機誤差δy，而得不到函數(shù)的標準差σy。對于式(3—1)第十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)隨機誤差的數(shù)學模型數(shù)學模型

變量中只有隨機誤差泰勒展開，并取其一階項作為近似值函數(shù)的一般形式得到即：可得：第十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)標準差計算或第i個直接測得量的標準差第i個測量值和第j個測量值之間的相關(guān)系數(shù)第i個直接測得量對間接量在該測量點處的誤差傳遞系數(shù)第i個測量值和第j個測量值之間的協(xié)方差第十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三相關(guān)系數(shù)的討論若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，且當N適當大時，相關(guān)項若定義則有ρ

ij=0第十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三相互獨立的函數(shù)標準差計算令若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關(guān)項或（3-14）

則（3-15）

由于各測量值隨機誤差間互不相關(guān)的情況較為常見，且當各相關(guān)系數(shù)很小時，也可近似地作不相關(guān)處理，因此式(3—14)或式(3—15)是較常用的函數(shù)隨機誤差公式。第十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)的極限誤差公式當各個測量值的隨機誤差都為正態(tài)分布時，標準差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式第i個直接測得量的極限誤差（3-16）

第十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三ai＝1情況下，函數(shù)的標準差和極限誤差計算公式在多數(shù)情況下，ai＝1，且函數(shù)形式較簡單，即則函數(shù)的標準差為函數(shù)的極限誤差為（3-17）

（3-18）

第二十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三三角函數(shù)的隨機誤差計算公式1）正弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機誤差公式為：2）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機誤差公式為：3）正切函數(shù)形式為:函數(shù)隨機誤差公式為：4）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機誤差公式為：第二十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三解：由誤差傳遞公式因f1、f2的測量值的隨機誤差是相互獨立的，所以相關(guān)系數(shù)ρf1f2＝0

則有第二十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三標準差放大率Ｄ的計算值（不含隨機誤差）為測量結(jié)果為置信概率？第二十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例２用弓高弦長法間接測量大直徑D若已知求直徑的最后結(jié)果求解：1.建立函數(shù)關(guān)系式2.計算直徑D0值第二十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三4.求直徑的極限誤差3.計算直徑D的系統(tǒng)誤差第二十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三5.給出測量結(jié)果第二十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例３用雙圓球法檢定高精度內(nèi)錐角已知：測得尺寸及系統(tǒng)誤差為求檢定結(jié)果。各測得值的標準差為第二十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三求解：１.建立函數(shù)關(guān)系式根據(jù)圖所示的測量方法，可得函數(shù)關(guān)系為式中2.計算角度值得第二十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三3.計算系統(tǒng)誤差因根據(jù)式（３－６），有式中各個誤差傳遞函數(shù)為第二十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三代入角度的系統(tǒng)誤差式，得4.求角度的標準差第三十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三５.求極限誤差取置信系數(shù)t＝３，得６.給出測量結(jié)果第三十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三三、誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)

在函數(shù)誤差及其他誤差的合成計算時，各誤差間的相關(guān)性對計算結(jié)果有直接影響。當各誤差間相關(guān)或相關(guān)性不能忽略時，必須先求出各個誤差間的相關(guān)系數(shù)，然后才能進行誤差合成計算。因此，正確處理誤差間的相關(guān)問題，有其重要意義。例如，當ρij=1時，函數(shù)隨機誤差別具有線性的傳遞關(guān)系：（3-23）

式(3—23)表明，當ρij

＝1時，函數(shù)隨機誤差別具有線性的傳遞關(guān)系。第三十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三1．誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指它們具有線性依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系有強有弱。聯(lián)系最強時，在平均意義上，一個誤差的取值完全決定了另一個誤差的取值。此時兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。當兩誤差間的線性依賴關(guān)系最弱時，一個誤差的取值與另一個誤差的取值無關(guān)，這是互不相關(guān)的情況。

一般兩誤差間的關(guān)系是處于上述兩種極端情況之間，既有聯(lián)系而又不具有確定性關(guān)系。此時，線性依顏關(guān)系是指在平均意義上的線性關(guān)系，即一個誤差值隨另一個誤差值的變化具有線性關(guān)系的傾向，但兩者取值又不服從確定的線性關(guān)系，而具有一定的隨機性。

第三十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三2．相關(guān)系數(shù)兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強弱由相關(guān)系數(shù)來反映，在誤差合成時應求得相關(guān)系數(shù)，并計算出相關(guān)項大小。若兩誤差ζ與η之間的相關(guān)系數(shù)為ρ，根據(jù)概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范圍是－1≤ρ≤+1

當0＜ρ＜1時，兩誤差ζ與η正相關(guān)，即一誤差增大時，另一誤差的取值平均地增大：

當－1＜ρ＜0時，兩誤差ζ與η負相關(guān)，即一誤差增大時，另一誤差的取值平均地減少；第三十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三

當ρ＝+1時，稱為完全正相關(guān)；P＝－1時，稱為完全負相關(guān)。此時兩誤差ζ與η之間存在著確定的線性函數(shù)關(guān)系；

當ρ＝0時，兩誤差間無線性關(guān)系或稱不相關(guān)，即一誤差增大時，另一誤差取值可能增大，也可能減小。

值得注意的是，相關(guān)系數(shù)只表示兩誤差的線性關(guān)系的密切程度，當ρ很小甚至等于0時，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示它們之間不存在其他的函數(shù)關(guān)系。第三十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三3.確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)的方法確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)是比較困難的，通?？刹捎靡韵聨追N方法。

1．直接判斷法通過兩誤差之間關(guān)系的分析，直接確定相關(guān)系數(shù)ρ。如兩誤差不可能有聯(lián)系或聯(lián)系微弱時，則確定ρ＝0；如一個誤差增大，另一個誤差成比例地增大，則確定P＝1。

2．試驗觀察和簡略計算法在某些情況下可直接測量兩誤差的多組對應值(ζi，ηi)，用觀察或簡略計算法求得相關(guān)系數(shù)。

3．理論計算法有些誤差間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求出。

第三十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三(1)觀察法

作圖與標準圖形比對，看它與哪一圖形相近，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。第三十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三(2)簡單計算法簡單計算法是將點陣分為四部分(上下,左右均分)，計算簡單計算法的作圖（3-25）

第三十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三(3)直接計算法

按相關(guān)系數(shù)的定義直接計算（3-26）

第三十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)隨機誤差的合成隨機誤差具有隨機性，其取值是不可預知的，并用測量的標準差或極限誤差來表征其取值的分散程度。隨機誤差的合成是采用方和根的方法，同時還要考慮到各個誤差傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。

第四十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三一、標準差的合成

根據(jù)方和根的運算方法，各個標準差合成后的總標準差為（3-28）

若各個誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ρij＝0，則有（3-29）

式中，σi,ai分別為各單項誤差的標準差和對應的誤差傳遞系數(shù)。第四十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三二、極限誤差的合成在測量實踐中，各個單項隨機誤差和測量結(jié)果的總誤差也常以極限誤差的形式來表示，因此極限誤差的合成也較常見。用極限誤差來表示隨機誤差，有明確的概率意義。極限誤差合成時，各單項權(quán)限誤差應取同一置信概率。按方和根法合成的總極限誤差為（3-30）

式中ai——各極限誤差傳遞系數(shù)；ρij——任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)第四十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三應用極限誤差合成公式時，應注意：根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成各個置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機誤差的分布有關(guān)對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)也不相同ij為第i個和第j個誤差項之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。第四十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三置信概率不同時的處理

一般情況下，已知的各單項極限誤差的置信概率可能不相同，不能按式(3—30)進行極限誤差合成。應根據(jù)各單項誤差的分布情況，引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標準差，再按極限誤差合成。

一般的極限誤差合成公式為（3-34）

第四十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時的情況當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各個置信系數(shù)完全相同，且當各個誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ρij＝0，則有（3-36）

式(3—36)具有十分簡單的形式。由于各單項誤差大多服從正態(tài)分布或假設(shè)近似服從正態(tài)分布，而且它們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，因此式(3—36)是較為廣泛使用的極限誤差合成公式。

第四十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成

系統(tǒng)誤差的大小是評定測量準確度高低的標志，系統(tǒng)誤差越大，準確度越低；反之，準確度越高。系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律，不論其變化規(guī)律如何，根據(jù)對系統(tǒng)誤差的掌握程度，可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。由于兩種系統(tǒng)誤差的特征不同，其合成方法也不相同。第四十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三一、已定系統(tǒng)誤差的合成在測量過程中，若有r個單項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為Δl，Δ2，…，Δr相應的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2,…，ar，則按代數(shù)和法進行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為（3-37）

在實際測量中，有不少已定系統(tǒng)誤差在測量過程中均已消除，由于某些原因末予消除的己定系統(tǒng)誤差也只是有限的少數(shù)幾項，它們按代數(shù)和法合成后，還可以從測量結(jié)果中修正，故最后的測量結(jié)果中一般不再包含有已定系統(tǒng)誤差。第四十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三二、未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差在測量實踐中較為常見，對于某些影響較小的已定系統(tǒng)誤差，為簡化計算，也可不對其進行誤差修正，而將其作未定系統(tǒng)誤差處理，因此未定系統(tǒng)誤差的處理是測量結(jié)果處理的重要內(nèi)容之一。若測量過程中存在若干項未定系統(tǒng)誤差，應正確地將這些未定系統(tǒng)誤差進行合成，以求得最后結(jié)果。第四十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三未定系統(tǒng)誤差的特征未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，或不必化費過多精力去掌握，而只能或只需估計出其不致超過某一極限范圍±ei的系統(tǒng)誤差。也就是說，在一定條件下客現(xiàn)存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計的誤差區(qū)間(－ei，ei)內(nèi)的一個取值,其相應的取值在誤差區(qū)間(－ei，ei)內(nèi)服從某一概率分布。第四十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于未定系統(tǒng)誤差的概率分布理論上此概率分布是可知的，但實際上常常較難求得。目前對未定系統(tǒng)誤差的概率分布，主要采用兩種假設(shè)：一種是按正態(tài)分布處理；另一種是按均勻分布處理。這兩種假設(shè)，在理論上與實踐上往往缺乏根據(jù)，因此對未定系統(tǒng)誤差的概率分布尚屬有待于作進一步研究的問題。第五十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三對未定系統(tǒng)誤差的評定未定系統(tǒng)誤差在測量條件不變時有一恒定值，多次重復測量時其值固定不變，因而不具有抵償性，利用多次重復測量取算術(shù)平均值的辦法不能減小它對測量結(jié)果的影響，這是它與隨機誤差的重要差別。但由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機性，并且服從一定的概率分布，這些特征均與隨機誤差相同，因而評定它對測量結(jié)果的影確也應與隨機誤差相同，即采用標準差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。用標準差或極限誤差來評定其取值的分散程度。第五十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三未定系統(tǒng)誤差的合成用隨機誤差的合成公式進行處理由于未定系統(tǒng)誤差的取值具有隨機性，并且服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似．因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以用隨機誤差的合成公式進行處理，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。對于某一項誤差，當難以嚴格區(qū)分為隨機誤差或未定系統(tǒng)誤差時，因不論作哪一種誤差處理，最后總誤差的合成結(jié)果均相同，故可將該項誤差任作一種誤差來處理。第五十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三1．標準差的合成

若測量過程中有s個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準差分別為ui，相應的誤差傳遞系數(shù)為ai，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差為（3-38）

當ρij＝0時，則有（3-39）

第五十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三2．極限誤差的合成因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為（3-41）

按單項未定系統(tǒng)誤差的標準差合成則有按單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差合成（3-42）

（3-43）

第五十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三當各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且ρij＝0時，則有（3-44）

第五十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成

當測量過程中存在各種不同性質(zhì)的多項系統(tǒng)誤差與隨機誤差，應將其進行綜合，以求得最后測量結(jié)果的總誤差。常用極限誤差來表示，也可用標準差來表示。第五十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三一、按極限誤差合成

若測量過程中有r個單項已定系統(tǒng)誤差，s個單項未定系統(tǒng)誤差，q個單項隨機誤差，并設(shè)各個誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的極限誤差為（3-45）

式中R——各個誤差間協(xié)方差之和。第五十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關(guān)時，則式（3-45）可簡化為（3-46）

一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，超量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根，即（3-47）

由式(3—46)和式(3—47)可以看出，當多項未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差合成時，對某一項誤差不論作哪一種誤差處理，其最后合成結(jié)果均相同。第五十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三對多次重復測量時的處理對于單次測量，可直接按上式求得最后結(jié)果的總誤差，但對多次重復測量，由于隨機誤差具有抵償性，而系統(tǒng)誤差則固定不變，因此總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù)n，即測量結(jié)果平均值的總極限誤差公式為（3-48）

由式(3—48)可知，在單次測量的總誤差合成中，不需嚴格區(qū)分各個單項誤差為未定系統(tǒng)誤差或隨機誤差，而在多次重復測量的總誤差合成中，則必需嚴格區(qū)分各個單項誤差的性質(zhì)。

第五十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三二、按標準差合成若用標準差來表示系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成公式，則只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成問題。為計算方便，設(shè)各個誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的標準差為（3-49）

式中R為各個誤差間協(xié)方差之和，當各個誤差間互不相關(guān)時，則式(3—49)可簡化為（3-50）

第六十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三對多次重復測量時的處理與極限誤差合成的理由相同，對單次測量，可直接按上式求得最后結(jié)果的總標準差，但對n次重復測量，測量結(jié)果平均值的總標準差公式則為（3-51）

第六十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例3—5在萬能工具顯微鏡上用影象法測量某一平面工件的長度共兩次，測得結(jié)果分別為

l1＝50.026mm，l2＝50.025mm，已知工件的高度H＝80mm，求測量結(jié)果及其極限誤差。解：兩次測量結(jié)果的平均值為第六十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三誤差分析

1.已定系統(tǒng)誤差根據(jù)萬工顯光學刻線尺的刻度誤差表，查得在50mm范圍的誤差Δ＝0.0008mm，此項誤差為已定系統(tǒng)誤差，現(xiàn)予修正，則測量結(jié)果為在萬工顯上用影象法測量平面工件尺寸，其主要誤差分析計算如下

2.隨機誤差該項誤差由讀數(shù)誤差和工件瞄準誤差所引起，其極限誤差分別為①讀數(shù)誤差δ1＝±0.8μm;②瞄準誤差δ2＝±1μm。第六十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三3.未定系統(tǒng)誤差該項誤差由阿貝誤差等所引起,其極限誤差分別為①阿貝誤差②光學刻尺刻度誤差③溫度誤差第六十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三④光學刻尺的檢定誤差上列各誤差式中，L為被測長度，H為被測工件的測量面高出平臺玻璃面的距離，兩者單位均為mm，而求得的誤差單位為μm。這四項誤差在測量中都不具有抵償性，也不隨測量次數(shù)的增加而減小，故都屬系統(tǒng)誤差。但它們給出的數(shù)值只是一個范圍，而不是確定的數(shù)值，因此它們又應屬未定系統(tǒng)誤差。第六十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三各項誤差匯總表

第六十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三測量結(jié)果設(shè)各誤差都服從正態(tài)分布且互不相關(guān)，則測量結(jié)果(兩次測量的平均值)的極限誤差為當末修正刻尺刻度誤差時的極限誤差

測量結(jié)果應表示為

第六十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三當已修正刻尺刻度誤差時的極限誤差

測量結(jié)果應表示為第六十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三小結(jié)：在實際工作中遇到的誤差合成問題是非常復雜的。如果要提高測量結(jié)果的精度要求，需要解決的問題包括有以下幾個方面：（1）誤差性質(zhì)的確定。（2）誤差所遵循分布規(guī)律的確定。（3）各分項誤差相關(guān)程度的確定。（4）分項誤差的劃分和項數(shù)的確定。第六十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第五節(jié)誤差分配

任何測量過程皆包含有多項誤差，而測量結(jié)果的總誤差則由各單項誤差的綜合影響所確定。現(xiàn)在要討論的是關(guān)于上述事實的一個逆命題問題，即給定測量結(jié)果總誤差的允差，要求確定各個單項誤差。在進行測量工作前，應根據(jù)給定測量總誤差的允差來選擇測量方案，合理進行誤差分配，確定各單項誤差，以保證測量精度。

第七十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三誤差分配應考慮測量過程中所有誤差組成項的分配問題。為便于說明誤差分配原理，這里只研究間接測量的函數(shù)誤差分配，但其基本原理也適用于一般測量的誤差分配。對于函數(shù)的已定系統(tǒng)誤差，可用修正方法來消除，不必考慮各個測量值已定系統(tǒng)誤差的影響，而只需研究隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差的分配問題。根據(jù)式(3—47)和式(3—50)，這兩種誤差在誤差合成時可同等看待，因此在誤差分配時也可同等看待，其誤差分配方法完全相同。

問題背景第七十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三

問題背景現(xiàn)設(shè)各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關(guān)，由式(3—14)可得式中Di——函數(shù)的部分誤差若巳給定σy

，需確定Di或相應的σi

，使?jié)M足（3-53）

顯然，式中Di可以是任意值，為不確定解第七十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三一、按等作用原則分配誤差等作用原則認為各個部分誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即（3-54）

由此可得（3-55）

或用極限誤差表示

（3-56）

式中δ——函數(shù)的總極限誤差；δi——各單項誤差的極限誤差第七十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三二、按可能性調(diào)整誤差

按等作用原則分配誤差可能會出現(xiàn)不合理情況，這是因為計算出來的各個部分誤差都相，對于其中有的測量值，要保證它的測量誤差不超出允許范圍較為容易實現(xiàn)，而對于其中有的測量值則難以滿足要求，若要保證它的測量精度，勢必要用昂貴的高精度儀器，或者要付出較大的勞動。另一方而，由式(3—55)、式(3—56)可以看出，當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳遞系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，其相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。由于存在上述兩種情況，對按等作用原則分配的誤差，必須根據(jù)具體情況進行調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)測量的誤差項盡可能縮小，而對其余誤差項不予調(diào)整。

第七十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三三、驗算調(diào)整后的總誤差

誤差分配后，應按誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項再予縮小誤差。若實際總誤差較小，可適當擴大難以測量的誤差項的誤差。按等作用原則分配誤差需注意，當有的誤差已經(jīng)確定而不能改變時(如受測量條件限制．必須采用某種儀器測量某一項目時)，應先從給定的允許總誤差中除掉，然后再對其余誤差項進行誤差分配。第七十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三例3—7采用間接測量圓柱直徑D及高度h來測量一圓柱體的體積。若要求測量體積的相對誤差為1％，試確定直徑D及高度h的測量精度?

已知直徑和高度的公稱值為

并把π看作常數(shù)，取值為3.1416

間接測量函數(shù)式第七十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三解：1.計算出體積v。

2.體積的絕對誤差

3.進行誤差分析，并初步分配測量項目有兩項，即n＝2

按等作用原則分配誤差

第七十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三按等作用原則分配誤差測量直徑D與高度h的極限誤差為顯然，測量直徑D的精度需要高些，而測量高度h的精度可低些。

第七十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三4.按等作用原則分配誤差的測量方案選擇若用量具測量，由各種量具的極限誤差表查得，直徑可用2級千分尺測量，在20mm測量范圍內(nèi)的極限誤差為±0.013mm。高度只需用分度值為0.10mm的游標卡尺測量，在50mm測量范圍內(nèi)的根限誤差為±0.150mm。

用這兩種量具測量的體積極限誤差為5.根據(jù)所選方案，計算體積極限誤差第七十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三6.方案優(yōu)化因為顯然，用這兩種量具測量不夠合理，需進行調(diào)整，可選用精度較低的量具?，F(xiàn)改用分度值為0.05mm的游標卡尺來測量直徑和高度，在50mm測量范圍內(nèi)，其極限誤差為±0.08mm，這時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允差，但可從測量高度允差的多余部分得到補償。第八十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三7.根據(jù)優(yōu)化方案，計算體積極限誤差調(diào)整后的實際測量極限誤差為

因為故調(diào)整以后用一把游標卡尺測量即能保證測量精度。第八十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三第六節(jié)微小誤差取舍準則測量過程包含有多種誤差時，往往有的誤差對測量結(jié)果總誤差的影響較小。當這種誤差數(shù)值小到一定程度后，計算測量結(jié)果總誤差時可不予考慮，則稱這種誤差為微小誤差。為了確定誤差數(shù)值小到什么程度才能作為微小誤差而予以舍去．這就需要給出一個微小誤差的取舍準則。

第八十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三微小誤差定義若已知測量結(jié)果的標準差σy，將其中的部分誤差Dk取出后的標準差為σy′，

若有則稱Dk為微小誤差，在計算測量結(jié)果總誤差時可予舍去。第八十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去準則根據(jù)有效數(shù)字運算準則，對一般精度的測量，測量誤差的有效數(shù)字取一位。在此情況下，若將某項部分誤差舍去后，滿足（3-57）

則對測量結(jié)果的誤差計算沒有影響。換算為測量誤差有一般可取

（3-58）

（3-59）

對一般精度的測量第八十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去準則對比較精密的測量對于比較精密的測量，誤差的有效數(shù)字可取二位，則有換算為測量誤差有

一般可取

第八十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去的意義

對于隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準則是被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果總標準差的1/3至l/10。微小誤差取舍準則在總誤差計算和選擇高一級標準量等方面都有實際意義。計算總誤差或誤差分配時，若發(fā)現(xiàn)有微小誤