誤差合成與分配

誤差合成與分配第一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三本章重點(diǎn)和難點(diǎn)★函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的概念★隨機(jī)誤差的合成★未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成★誤差分配★微小誤差取舍準(zhǔn)則★最佳測(cè)量方案的確定重點(diǎn)掌握：函數(shù)誤差的計(jì)算方法；掌握：誤差和成方法及系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的異同點(diǎn)；了解：誤差分配的基本步驟。第二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第一節(jié)函數(shù)誤差

前面討論的主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問題，但在有些情況下，由于被測(cè)對(duì)象的特點(diǎn)，不能進(jìn)行直接測(cè)量，或者直接測(cè)量難以保證測(cè)量精度，需要采用間接測(cè)量。間接測(cè)量是通過直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)的量。因此間接測(cè)量的量是直接測(cè)量所得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)，而間接測(cè)量誤差則是各個(gè)直接測(cè)得值誤差的函數(shù)，故稱這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題，而對(duì)于這種具有確定關(guān)系的誤差計(jì)算，也有稱之為誤差合成。第三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三函數(shù)誤差的概念間接測(cè)量

函數(shù)誤差

間接測(cè)得的被測(cè)量誤差也應(yīng)是直接測(cè)得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測(cè)量的誤差為函數(shù)誤差

通過直接測(cè)得的量與被測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量第四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型

與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值

y間接測(cè)量值求上述函數(shù)y的全微分，其表達(dá)式為：（3-1）

第五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三

若已知各個(gè)直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn

由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差⊿y的計(jì)算公式（3-2）和的量綱或單位不相同，則起到誤差單位換算的作用和的量綱或單位相同，則起到誤差放大或縮小的作用為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn)處的誤差傳遞系數(shù)函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算公式

若已知各個(gè)直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn由y的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差⊿y的計(jì)算公式第六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性函數(shù)的系統(tǒng)誤差計(jì)算函數(shù)形式為線性關(guān)系的函數(shù)系統(tǒng)誤差為（3-3）

線性關(guān)系的函數(shù)式中的各個(gè)誤差傳遞系數(shù)ai為常數(shù)。當(dāng)函數(shù)為各測(cè)量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測(cè)量值系統(tǒng)誤差之和第七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三正弦函數(shù)的系統(tǒng)誤差計(jì)算公式

函數(shù)系統(tǒng)誤差因則有（3-5）（3-6）同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式。

第八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1

用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大直徑D

如圖所示，直接測(cè)得其弓高h(yuǎn)和弦長(zhǎng)s，然后通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算出直徑D。若弓高與弦長(zhǎng)的測(cè)得值及其系統(tǒng)誤差為求測(cè)量結(jié)果。第九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三求解：1.建立函數(shù)關(guān)系式若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)誤差，則計(jì)算出的直徑D0為2.計(jì)算直徑D0值3.計(jì)算直徑D的系統(tǒng)誤差直徑D的系統(tǒng)誤差公式為第十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.計(jì)算各誤差傳遞系數(shù)值將已知各誤差值及誤差傳遞系數(shù)代入直徑的系統(tǒng)誤差式，得5.計(jì)算系統(tǒng)誤差值6.給出測(cè)量結(jié)果通過修正可消除所求得的直徑系統(tǒng)誤差△D，則被測(cè)直徑的實(shí)際尺寸為第十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例２用量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件的測(cè)量相對(duì)測(cè)量時(shí)需用54.255mm的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸如下：已知各尺寸偏差及其測(cè)量極限誤差分別為試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差？第十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：量塊組尺寸的系統(tǒng)誤差為故量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值為－0.4μm使用該量塊組做相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差為故量塊組結(jié)相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差不會(huì)超出±0.５１μm第十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算

隨機(jī)誤差是用表征其取值分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定的，對(duì)于函數(shù)的隨機(jī)誤差，也是用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行評(píng)定。因此，函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算，就是研究函數(shù)y的標(biāo)準(zhǔn)差與各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。若以各測(cè)量值的隨機(jī)誤差δ1，δ2，…．δn代替各微分量dx1，dx2，…，dxn只能得到函數(shù)的隨機(jī)誤差δy，而得不到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σy。對(duì)于式(3—1)第十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三函數(shù)隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型

變量中只有隨機(jī)誤差泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值函數(shù)的一般形式得到即：可得：第十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算或第i個(gè)直接測(cè)得量的標(biāo)準(zhǔn)差第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的相關(guān)系數(shù)第i個(gè)直接測(cè)得量對(duì)間接量在該測(cè)量點(diǎn)處的誤差傳遞系數(shù)第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差第十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三相關(guān)系數(shù)的討論若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)，相關(guān)項(xiàng)若定義則有ρ

ij=0第十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算令若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng)或（3-14）

則（3-15）

由于各測(cè)量值隨機(jī)誤差間互不相關(guān)的情況較為常見，且當(dāng)各相關(guān)系數(shù)很小時(shí)，也可近似地作不相關(guān)處理，因此式(3—14)或式(3—15)是較常用的函數(shù)隨機(jī)誤差公式。第十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三函數(shù)的極限誤差公式當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式第i個(gè)直接測(cè)得量的極限誤差（3-16）

第十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三ai＝1情況下，函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和極限誤差計(jì)算公式在多數(shù)情況下，ai＝1，且函數(shù)形式較簡(jiǎn)單，即則函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為函數(shù)的極限誤差為（3-17）

（3-18）

第二十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三三角函數(shù)的隨機(jī)誤差計(jì)算公式1）正弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：2）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：3）正切函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：4）余弦函數(shù)形式為:函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：第二十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：由誤差傳遞公式因f1、f2的測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，所以相關(guān)系數(shù)ρf1f2＝0

則有第二十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)差放大率Ｄ的計(jì)算值（不含隨機(jī)誤差）為測(cè)量結(jié)果為置信概率？第二十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例２用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大直徑D若已知求直徑的最后結(jié)果求解：1.建立函數(shù)關(guān)系式2.計(jì)算直徑D0值第二十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.求直徑的極限誤差3.計(jì)算直徑D的系統(tǒng)誤差第二十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三5.給出測(cè)量結(jié)果第二十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例３用雙圓球法檢定高精度內(nèi)錐角已知：測(cè)得尺寸及系統(tǒng)誤差為求檢定結(jié)果。各測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差為第二十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三求解：１.建立函數(shù)關(guān)系式根據(jù)圖所示的測(cè)量方法，可得函數(shù)關(guān)系為式中2.計(jì)算角度值得第二十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.計(jì)算系統(tǒng)誤差因根據(jù)式（３－６），有式中各個(gè)誤差傳遞函數(shù)為第二十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三代入角度的系統(tǒng)誤差式，得4.求角度的標(biāo)準(zhǔn)差第三十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三５.求極限誤差取置信系數(shù)t＝３，得６.給出測(cè)量結(jié)果第三十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)

在函數(shù)誤差及其他誤差的合成計(jì)算時(shí)，各誤差間的相關(guān)性對(duì)計(jì)算結(jié)果有直接影響。當(dāng)各誤差間相關(guān)或相關(guān)性不能忽略時(shí)，必須先求出各個(gè)誤差間的相關(guān)系數(shù)，然后才能進(jìn)行誤差合成計(jì)算。因此，正確處理誤差間的相關(guān)問題，有其重要意義。例如，當(dāng)ρij=1時(shí)，函數(shù)隨機(jī)誤差別具有線性的傳遞關(guān)系：（3-23）

式(3—23)表明，當(dāng)ρij

＝1時(shí)，函數(shù)隨機(jī)誤差別具有線性的傳遞關(guān)系。第三十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三1．誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指它們具有線性依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系有強(qiáng)有弱。聯(lián)系最強(qiáng)時(shí)，在平均意義上，一個(gè)誤差的取值完全決定了另一個(gè)誤差的取值。此時(shí)兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。當(dāng)兩誤差間的線性依賴關(guān)系最弱時(shí)，一個(gè)誤差的取值與另一個(gè)誤差的取值無關(guān)，這是互不相關(guān)的情況。

一般兩誤差間的關(guān)系是處于上述兩種極端情況之間，既有聯(lián)系而又不具有確定性關(guān)系。此時(shí)，線性依顏關(guān)系是指在平均意義上的線性關(guān)系，即一個(gè)誤差值隨另一個(gè)誤差值的變化具有線性關(guān)系的傾向，但兩者取值又不服從確定的線性關(guān)系，而具有一定的隨機(jī)性。

第三十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三2．相關(guān)系數(shù)兩誤差間有線性關(guān)系時(shí)，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來反映，在誤差合成時(shí)應(yīng)求得相關(guān)系數(shù)，并計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)大小。若兩誤差ζ與η之間的相關(guān)系數(shù)為ρ，根據(jù)概率論可知，相關(guān)系數(shù)的取值范圍是－1≤ρ≤+1

當(dāng)0＜ρ＜1時(shí)，兩誤差ζ與η正相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差的取值平均地增大：

當(dāng)－1＜ρ＜0時(shí)，兩誤差ζ與η負(fù)相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差的取值平均地減少；第三十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三

當(dāng)ρ＝+1時(shí)，稱為完全正相關(guān)；P＝－1時(shí)，稱為完全負(fù)相關(guān)。此時(shí)兩誤差ζ與η之間存在著確定的線性函數(shù)關(guān)系；

當(dāng)ρ＝0時(shí)，兩誤差間無線性關(guān)系或稱不相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一誤差取值可能增大，也可能減小。

值得注意的是，相關(guān)系數(shù)只表示兩誤差的線性關(guān)系的密切程度，當(dāng)ρ很小甚至等于0時(shí)，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示它們之間不存在其他的函數(shù)關(guān)系。第三十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)的方法確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)是比較困難的，通?？刹捎靡韵聨追N方法。

1．直接判斷法通過兩誤差之間關(guān)系的分析，直接確定相關(guān)系數(shù)ρ。如兩誤差不可能有聯(lián)系或聯(lián)系微弱時(shí)，則確定ρ＝0；如一個(gè)誤差增大，另一個(gè)誤差成比例地增大，則確定P＝1。

2．試驗(yàn)觀察和簡(jiǎn)略計(jì)算法在某些情況下可直接測(cè)量?jī)烧`差的多組對(duì)應(yīng)值(ζi，ηi)，用觀察或簡(jiǎn)略計(jì)算法求得相關(guān)系數(shù)。

3．理論計(jì)算法有些誤差間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求出。

第三十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三(1)觀察法

作圖與標(biāo)準(zhǔn)圖形比對(duì)，看它與哪一圖形相近，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。第三十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)簡(jiǎn)單計(jì)算法簡(jiǎn)單計(jì)算法是將點(diǎn)陣分為四部分(上下,左右均分)，計(jì)算簡(jiǎn)單計(jì)算法的作圖（3-25）

第三十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三(3)直接計(jì)算法

按相關(guān)系數(shù)的定義直接計(jì)算（3-26）

第三十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值是不可預(yù)知的，并用測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征其取值的分散程度。隨機(jī)誤差的合成是采用方和根的方法，同時(shí)還要考慮到各個(gè)誤差傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。

第四十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、標(biāo)準(zhǔn)差的合成

根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為（3-28）

若各個(gè)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ρij＝0，則有（3-29）

式中，σi,ai分別為各單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差和對(duì)應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)。第四十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、極限誤差的合成在測(cè)量實(shí)踐中，各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差和測(cè)量結(jié)果的總誤差也常以極限誤差的形式來表示，因此極限誤差的合成也較常見。用極限誤差來表示隨機(jī)誤差，有明確的概率意義。極限誤差合成時(shí)，各單項(xiàng)權(quán)限誤差應(yīng)取同一置信概率。按方和根法合成的總極限誤差為（3-30）

式中ai——各極限誤差傳遞系數(shù)；ρij——任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)第四十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成各個(gè)置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同ij為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。第四十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三置信概率不同時(shí)的處理

一般情況下，已知的各單項(xiàng)極限誤差的置信概率可能不相同，不能按式(3—30)進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項(xiàng)誤差的分布情況，引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。

一般的極限誤差合成公式為（3-34）

第四十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)的情況當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各個(gè)置信系數(shù)完全相同，且當(dāng)各個(gè)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù)ρij＝0，則有（3-36）

式(3—36)具有十分簡(jiǎn)單的形式。由于各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或假設(shè)近似服從正態(tài)分布，而且它們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，因此式(3—36)是較為廣泛使用的極限誤差合成公式。

第四十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成

系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志，系統(tǒng)誤差越大，準(zhǔn)確度越低；反之，準(zhǔn)確度越高。系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律，不論其變化規(guī)律如何，根據(jù)對(duì)系統(tǒng)誤差的掌握程度，可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。由于兩種系統(tǒng)誤差的特征不同，其合成方法也不相同。第四十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、已定系統(tǒng)誤差的合成在測(cè)量過程中，若有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為Δl，Δ2，…，Δr相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2,…，ar，則按代數(shù)和法進(jìn)行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為（3-37）

在實(shí)際測(cè)量中，有不少已定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中均已消除，由于某些原因末予消除的己定系統(tǒng)誤差也只是有限的少數(shù)幾項(xiàng)，它們按代數(shù)和法合成后，還可以從測(cè)量結(jié)果中修正，故最后的測(cè)量結(jié)果中一般不再包含有已定系統(tǒng)誤差。第四十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量實(shí)踐中較為常見，對(duì)于某些影響較小的已定系統(tǒng)誤差，為簡(jiǎn)化計(jì)算，也可不對(duì)其進(jìn)行誤差修正，而將其作未定系統(tǒng)誤差處理，因此未定系統(tǒng)誤差的處理是測(cè)量結(jié)果處理的重要內(nèi)容之一。若測(cè)量過程中存在若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，應(yīng)正確地將這些未定系統(tǒng)誤差進(jìn)行合成，以求得最后結(jié)果。第四十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三未定系統(tǒng)誤差的特征未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，或不必化費(fèi)過多精力去掌握，而只能或只需估計(jì)出其不致超過某一極限范圍±ei的系統(tǒng)誤差。也就是說，在一定條件下客現(xiàn)存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計(jì)的誤差區(qū)間(－ei，ei)內(nèi)的一個(gè)取值,其相應(yīng)的取值在誤差區(qū)間(－ei，ei)內(nèi)服從某一概率分布。第四十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三關(guān)于未定系統(tǒng)誤差的概率分布理論上此概率分布是可知的，但實(shí)際上常常較難求得。目前對(duì)未定系統(tǒng)誤差的概率分布，主要采用兩種假設(shè)：一種是按正態(tài)分布處理；另一種是按均勻分布處理。這兩種假設(shè)，在理論上與實(shí)踐上往往缺乏根據(jù)，因此對(duì)未定系統(tǒng)誤差的概率分布尚屬有待于作進(jìn)一步研究的問題。第五十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)未定系統(tǒng)誤差的評(píng)定未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量條件不變時(shí)有一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而不具有抵償性，利用多次重復(fù)測(cè)量取算術(shù)平均值的辦法不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。但由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并且服從一定的概率分布，這些特征均與隨機(jī)誤差相同，因而評(píng)定它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影確也應(yīng)與隨機(jī)誤差相同，即采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來評(píng)定其取值的分散程度。第五十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三未定系統(tǒng)誤差的合成用隨機(jī)誤差的合成公式進(jìn)行處理由于未定系統(tǒng)誤差的取值具有隨機(jī)性，并且服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似．因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以用隨機(jī)誤差的合成公式進(jìn)行處理，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來很大方便。對(duì)于某一項(xiàng)誤差，當(dāng)難以嚴(yán)格區(qū)分為隨機(jī)誤差或未定系統(tǒng)誤差時(shí)，因不論作哪一種誤差處理，最后總誤差的合成結(jié)果均相同，故可將該項(xiàng)誤差任作一種誤差來處理。第五十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三1．標(biāo)準(zhǔn)差的合成

若測(cè)量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為ui，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為ai，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差為（3-38）

當(dāng)ρij＝0時(shí)，則有（3-39）

第五十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三2．極限誤差的合成因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為（3-41）

按單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差合成則有按單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差合成（3-42）

（3-43）

第五十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且ρij＝0時(shí)，則有（3-44）

第五十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成

當(dāng)測(cè)量過程中存在各種不同性質(zhì)的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，應(yīng)將其進(jìn)行綜合，以求得最后測(cè)量結(jié)果的總誤差。常用極限誤差來表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)差來表示。第五十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、按極限誤差合成

若測(cè)量過程中有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，并設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為（3-45）

式中R——各個(gè)誤差間協(xié)方差之和。第五十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，則式（3-45）可簡(jiǎn)化為（3-46）

一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，超量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根，即（3-47）

由式(3—46)和式(3—47)可以看出，當(dāng)多項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差合成時(shí)，對(duì)某一項(xiàng)誤差不論作哪一種誤差處理，其最后合成結(jié)果均相同。第五十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)多次重復(fù)測(cè)量時(shí)的處理對(duì)于單次測(cè)量，可直接按上式求得最后結(jié)果的總誤差，但對(duì)多次重復(fù)測(cè)量，由于隨機(jī)誤差具有抵償性，而系統(tǒng)誤差則固定不變，因此總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n，即測(cè)量結(jié)果平均值的總極限誤差公式為（3-48）

由式(3—48)可知，在單次測(cè)量的總誤差合成中，不需嚴(yán)格區(qū)分各個(gè)單項(xiàng)誤差為未定系統(tǒng)誤差或隨機(jī)誤差，而在多次重復(fù)測(cè)量的總誤差合成中，則必需嚴(yán)格區(qū)分各個(gè)單項(xiàng)誤差的性質(zhì)。

第五十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成若用標(biāo)準(zhǔn)差來表示系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成公式，則只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成問題。為計(jì)算方便，設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測(cè)量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差為（3-49）

式中R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和，當(dāng)各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，則式(3—49)可簡(jiǎn)化為（3-50）

第六十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)多次重復(fù)測(cè)量時(shí)的處理與極限誤差合成的理由相同，對(duì)單次測(cè)量，可直接按上式求得最后結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差，但對(duì)n次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差公式則為（3-51）

第六十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例3—5在萬能工具顯微鏡上用影象法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)度共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為

l1＝50.026mm，l2＝50.025mm，已知工件的高度H＝80mm，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。解：兩次測(cè)量結(jié)果的平均值為第六十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三誤差分析

1.已定系統(tǒng)誤差根據(jù)萬工顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在50mm范圍的誤差Δ＝0.0008mm，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，現(xiàn)予修正，則測(cè)量結(jié)果為在萬工顯上用影象法測(cè)量平面工件尺寸，其主要誤差分析計(jì)算如下

2.隨機(jī)誤差該項(xiàng)誤差由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)誤差所引起，其極限誤差分別為①讀數(shù)誤差δ1＝±0.8μm;②瞄準(zhǔn)誤差δ2＝±1μm。第六十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.未定系統(tǒng)誤差該項(xiàng)誤差由阿貝誤差等所引起,其極限誤差分別為①阿貝誤差②光學(xué)刻尺刻度誤差③溫度誤差第六十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三④光學(xué)刻尺的檢定誤差上列各誤差式中，L為被測(cè)長(zhǎng)度，H為被測(cè)工件的測(cè)量面高出平臺(tái)玻璃面的距離，兩者單位均為mm，而求得的誤差單位為μm。這四項(xiàng)誤差在測(cè)量中都不具有抵償性，也不隨測(cè)量次數(shù)的增加而減小，故都屬系統(tǒng)誤差。但它們給出的數(shù)值只是一個(gè)范圍，而不是確定的數(shù)值，因此它們又應(yīng)屬未定系統(tǒng)誤差。第六十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三各項(xiàng)誤差匯總表

第六十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三測(cè)量結(jié)果設(shè)各誤差都服從正態(tài)分布且互不相關(guān)，則測(cè)量結(jié)果(兩次測(cè)量的平均值)的極限誤差為當(dāng)末修正刻尺刻度誤差時(shí)的極限誤差

測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為

第六十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)已修正刻尺刻度誤差時(shí)的極限誤差

測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為第六十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三小結(jié)：在實(shí)際工作中遇到的誤差合成問題是非常復(fù)雜的。如果要提高測(cè)量結(jié)果的精度要求，需要解決的問題包括有以下幾個(gè)方面：（1）誤差性質(zhì)的確定。（2）誤差所遵循分布規(guī)律的確定。（3）各分項(xiàng)誤差相關(guān)程度的確定。（4）分項(xiàng)誤差的劃分和項(xiàng)數(shù)的確定。第六十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第五節(jié)誤差分配

任何測(cè)量過程皆包含有多項(xiàng)誤差，而測(cè)量結(jié)果的總誤差則由各單項(xiàng)誤差的綜合影響所確定。現(xiàn)在要討論的是關(guān)于上述事實(shí)的一個(gè)逆命題問題，即給定測(cè)量結(jié)果總誤差的允差，要求確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。在進(jìn)行測(cè)量工作前，應(yīng)根據(jù)給定測(cè)量總誤差的允差來選擇測(cè)量方案，合理進(jìn)行誤差分配，確定各單項(xiàng)誤差，以保證測(cè)量精度。

第七十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三誤差分配應(yīng)考慮測(cè)量過程中所有誤差組成項(xiàng)的分配問題。為便于說明誤差分配原理，這里只研究間接測(cè)量的函數(shù)誤差分配，但其基本原理也適用于一般測(cè)量的誤差分配。對(duì)于函數(shù)的已定系統(tǒng)誤差，可用修正方法來消除，不必考慮各個(gè)測(cè)量值已定系統(tǒng)誤差的影響，而只需研究隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的分配問題。根據(jù)式(3—47)和式(3—50)，這兩種誤差在誤差合成時(shí)可同等看待，因此在誤差分配時(shí)也可同等看待，其誤差分配方法完全相同。

問題背景第七十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三

問題背景現(xiàn)設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，由式(3—14)可得式中Di——函數(shù)的部分誤差若巳給定σy

，需確定Di或相應(yīng)的σi

，使?jié)M足（3-53）

顯然，式中Di可以是任意值，為不確定解第七十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、按等作用原則分配誤差等作用原則認(rèn)為各個(gè)部分誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即（3-54）

由此可得（3-55）

或用極限誤差表示

（3-56）

式中δ——函數(shù)的總極限誤差；δi——各單項(xiàng)誤差的極限誤差第七十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、按可能性調(diào)整誤差

按等作用原則分配誤差可能會(huì)出現(xiàn)不合理情況，這是因?yàn)橛?jì)算出來的各個(gè)部分誤差都相，對(duì)于其中有的測(cè)量值，要保證它的測(cè)量誤差不超出允許范圍較為容易實(shí)現(xiàn)，而對(duì)于其中有的測(cè)量值則難以滿足要求，若要保證它的測(cè)量精度，勢(shì)必要用昂貴的高精度儀器，或者要付出較大的勞動(dòng)。另一方而，由式(3—55)、式(3—56)可以看出，當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳遞系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，其相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。由于存在上述兩種情況，對(duì)按等作用原則分配的誤差，必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)盡可能縮小，而對(duì)其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。

第七十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差

誤差分配后，應(yīng)按誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再予縮小誤差。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以測(cè)量的誤差項(xiàng)的誤差。按等作用原則分配誤差需注意，當(dāng)有的誤差已經(jīng)確定而不能改變時(shí)(如受測(cè)量條件限制．必須采用某種儀器測(cè)量某一項(xiàng)目時(shí))，應(yīng)先從給定的允許總誤差中除掉，然后再對(duì)其余誤差項(xiàng)進(jìn)行誤差分配。第七十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三例3—7采用間接測(cè)量圓柱直徑D及高度h來測(cè)量一圓柱體的體積。若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1％，試確定直徑D及高度h的測(cè)量精度?

已知直徑和高度的公稱值為

并把π看作常數(shù)，取值為3.1416

間接測(cè)量函數(shù)式第七十六頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：1.計(jì)算出體積v。

2.體積的絕對(duì)誤差

3.進(jìn)行誤差分析，并初步分配測(cè)量項(xiàng)目有兩項(xiàng)，即n＝2

按等作用原則分配誤差

第七十七頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三按等作用原則分配誤差測(cè)量直徑D與高度h的極限誤差為顯然，測(cè)量直徑D的精度需要高些，而測(cè)量高度h的精度可低些。

第七十八頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.按等作用原則分配誤差的測(cè)量方案選擇若用量具測(cè)量，由各種量具的極限誤差表查得，直徑可用2級(jí)千分尺測(cè)量，在20mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為±0.013mm。高度只需用分度值為0.10mm的游標(biāo)卡尺測(cè)量，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的根限誤差為±0.150mm。

用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為5.根據(jù)所選方案，計(jì)算體積極限誤差第七十九頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三6.方案優(yōu)化因?yàn)轱@然，用這兩種量具測(cè)量不夠合理，需進(jìn)行調(diào)整，可選用精度較低的量具?，F(xiàn)改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來測(cè)量直徑和高度，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)，其極限誤差為±0.08mm，這時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允差，但可從測(cè)量高度允差的多余部分得到補(bǔ)償。第八十頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三7.根據(jù)優(yōu)化方案，計(jì)算體積極限誤差調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為

因?yàn)楣收{(diào)整以后用一把游標(biāo)卡尺測(cè)量即能保證測(cè)量精度。第八十一頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則測(cè)量過程包含有多種誤差時(shí)，往往有的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響較小。當(dāng)這種誤差數(shù)值小到一定程度后，計(jì)算測(cè)量結(jié)果總誤差時(shí)可不予考慮，則稱這種誤差為微小誤差。為了確定誤差數(shù)值小到什么程度才能作為微小誤差而予以舍去．這就需要給出一個(gè)微小誤差的取舍準(zhǔn)則。

第八十二頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三微小誤差定義若已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差σy，將其中的部分誤差Dk取出后的標(biāo)準(zhǔn)差為σy′，

若有則稱Dk為微小誤差，在計(jì)算測(cè)量結(jié)果總誤差時(shí)可予舍去。第八十三頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去準(zhǔn)則根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算準(zhǔn)則，對(duì)一般精度的測(cè)量，測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位。在此情況下，若將某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足（3-57）

則對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算沒有影響。換算為測(cè)量誤差有一般可取

（3-58）

（3-59）

對(duì)一般精度的測(cè)量第八十四頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去準(zhǔn)則對(duì)比較精密的測(cè)量對(duì)于比較精密的測(cè)量，誤差的有效數(shù)字可取二位，則有換算為測(cè)量誤差有

一般可取

第八十五頁(yè)，共九十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三微小誤差舍去的意義

對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1/3至l/10。微小誤差取舍準(zhǔn)則在總誤差計(jì)算和選擇高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)量等方面都有實(shí)際意義。計(jì)算總誤差或誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤