復(fù)數(shù)的幾何意義

7.1.2

復(fù)數(shù)的幾何意義課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解復(fù)平面的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(邏輯推理)3.掌握復(fù)數(shù)模的概念,會(huì)求復(fù)數(shù)的模.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥我們知道,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),也就是說(shuō),數(shù)軸可以看成實(shí)數(shù)的一個(gè)幾何模型.那么,能否為復(fù)數(shù)找一個(gè)幾何模型呢?怎樣建立起復(fù)數(shù)與幾何模型中點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面(1)復(fù)平面:建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;(2)實(shí)軸:坐標(biāo)系中的x軸叫做實(shí)軸,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);(3)虛軸:坐標(biāo)系中的y軸叫做虛軸,除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng):激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提是向量的起點(diǎn)為原點(diǎn),否則,不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)復(fù)數(shù)z=3-5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(3,-5)

B.(3,5)C.(3,-5i) D.(3,5i)(2)若OZ=(0,-3),則OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(

)A.等于0B.等于-3C.在虛軸上D.既不在實(shí)軸上,也不在虛軸上解析:(1)復(fù)數(shù)z=3-5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-5).(2)向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3i,在虛軸上.答案:(1)A

(2)C

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的模3.模的幾何意義:復(fù)數(shù)z的模就是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)(0,0)的距離.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)復(fù)數(shù)4-2i的模等于(

)A.2

B.2

C.25

D.20答案:C(2)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①?gòu)?fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).(

)②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,它們的模一定相等,反之也成立.(

)答案:①×

②×

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)三、共軛復(fù)數(shù)一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).名師點(diǎn)析

設(shè)z1=a+bi,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1(a,b),Z2=a-bi,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z2(a,-b),點(diǎn)Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.微練習(xí)已知復(fù)數(shù)z=3+4i,則z的共軛復(fù)數(shù)的模為

.

答案:5探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1當(dāng)復(fù)數(shù)

+(a2-2a-15)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件時(shí),求a的取值范圍.(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi);(2)點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)的實(shí)軸上方.分析確定z的實(shí)部、虛部→列方程(不等式組)→解參數(shù)值(范圍)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的解題步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).(2)根據(jù)已知條件,確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中題設(shè)條件不變,求當(dāng)復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在實(shí)軸上時(shí),實(shí)數(shù)a的值.解:點(diǎn)Z在實(shí)軸上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5時(shí),點(diǎn)Z在實(shí)軸上.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)例2在復(fù)平面上,點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+4i,-3i,2,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).分析根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化(1)對(duì)應(yīng):復(fù)數(shù)z與向量

是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.(2)轉(zhuǎn)化:復(fù)數(shù)的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題求解.2.解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的主要思想方法(1)轉(zhuǎn)化思想:復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化;(2)數(shù)形結(jié)合思想:利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決;(3)整體化思想:利用復(fù)數(shù)的特征整體處理.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用例3若復(fù)數(shù)z=(a+2)-2ai的模等于,求實(shí)數(shù)a的值.分析根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.反思感悟

1.計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí),應(yīng)先確定其實(shí)部與虛部,再套用公式計(jì)算.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,其模必相等,反之,兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等,這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定相等.3.兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能夠比較大小,但兩個(gè)復(fù)數(shù)的模一定可以比較大小.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上,且|z|=,則復(fù)數(shù)z=

.

解析:依題意可設(shè)復(fù)數(shù)z=a+2ai(a∈R),解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:1+2i或-1-2i探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例4(2019全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限分析先由定義寫出

,再由復(fù)數(shù)的幾何意義求解.答案:C反思感悟

共軛復(fù)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容對(duì)共軛復(fù)數(shù)的要求有兩點(diǎn):一是會(huì)利用定義寫出已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);二是明確互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=1+i,則

的實(shí)部與虛部之差為(

)A.1 B.0 C.-2 D.2解析:=1-i,實(shí)部為1,虛部為-1,所以實(shí)部與虛部之差為1-(-1)=2.答案:D探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)模的意義典例已知|x|=3,對(duì)于下列條件,這個(gè)方程對(duì)應(yīng)的圖形各是什么?(1)在數(shù)軸上;(2)在復(fù)平面內(nèi),x∈C.分析分別利用絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模的幾何意義解答.解:(1)在數(shù)軸上,|x|=3表示到原點(diǎn)的距離為3的兩個(gè)點(diǎn)3和-3.(2)在復(fù)平面內(nèi),|x|=3表示到原點(diǎn)的距離為3的復(fù)數(shù)的集合,即以原點(diǎn)為圓心,以3為半徑的圓.方法點(diǎn)睛

復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,也可以類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來(lái)加深理解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若復(fù)數(shù)z=-2+i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

=-2-i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-1),位于第三象限.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.已知復(fù)數(shù)z=(m-3)+(m