線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述演示文稿

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述演示文稿當(dāng)前第1頁\共有130頁\編于星期二\13點（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述當(dāng)前第2頁\共有130頁\編于星期二\13點教學(xué)要求：正確理解線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，狀態(tài)空間的基本概念。熟練掌握狀態(tài)空間的表達(dá)式，線性變換。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法，了解線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法。當(dāng)前第3頁\共有130頁\編于星期二\13點重點內(nèi)容：狀態(tài)空間表達(dá)式的建立，狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)方程的求解，線性變換的基本性質(zhì)，傳遞函數(shù)矩陣的定義。要求熟練掌握通過傳遞函數(shù)、微分方程和結(jié)構(gòu)圖建立電路、機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)變量圖，以及可控、可觀、對角和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)前第4頁\共有130頁\編于星期二\13點2.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)描述中常用的基本概念系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述1.輸入、輸出描述2.松弛性:若系統(tǒng)的輸出由輸入當(dāng)前第5頁\共有130頁\編于星期二\13點System當(dāng)前第6頁\共有130頁\編于星期二\13點唯一確定,則稱系統(tǒng)在是松弛的。算子，在不存儲能量：瞬時系統(tǒng)無記憶系統(tǒng)當(dāng)前第7頁\共有130頁\編于星期二\13點對時刻松弛的系統(tǒng)：對初始松弛的系統(tǒng)：3.因果性:若系統(tǒng)在t時刻的輸出僅取決于在t時刻之前輸入，而與t時刻之后的輸入無關(guān)，則稱系統(tǒng)具有因果性。對具有因果性的松弛系統(tǒng)：當(dāng)前第8頁\共有130頁\編于星期二\13點4.線性:一個松弛系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對任何輸入及任意常數(shù),均有(可加性),(齊次性),則該系統(tǒng)稱為線性的，否則為非線性。5.定常性（時不變性）:1)定義:-位移算子當(dāng)前第9頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第10頁\共有130頁\編于星期二\13點2)一個松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對任何輸入u和任意實數(shù),均有則稱系統(tǒng)是定常的。2.2狀態(tài)空間的基本概念1.狀態(tài):表征系統(tǒng)運動的信息和行為。2.狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小一組變量。3.狀態(tài)向量：當(dāng)前第11頁\共有130頁\編于星期二\13點4.狀態(tài)空間：以n個狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間.5.狀態(tài)方程：

6.輸出方程：7.狀態(tài)空間表達(dá)式(動態(tài)方程)：{A，B，C，D}

當(dāng)前第12頁\共有130頁\編于星期二\13點線性時變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng)當(dāng)前第13頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第14頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第15頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)空間分析法舉例例1求圖示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式外力

位移

牛頓力學(xué)定律令---彈性系數(shù)阻尼系數(shù)當(dāng)前第16頁\共有130頁\編于星期二\13點動態(tài)方程如下當(dāng)前第17頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)空間表達(dá)式為：

例2求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)前第18頁\共有130頁\編于星期二\13點解：以作為中間變量，列寫該回路的微分方程

選當(dāng)前第19頁\共有130頁\編于星期二\13點

為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣—向量的形式為：

當(dāng)前第20頁\共有130頁\編于星期二\13點令為狀態(tài)向量則：當(dāng)前第21頁\共有130頁\編于星期二\13點例3.試求用電樞電壓控制的他激電動機的狀態(tài)空間表達(dá)式解：由電壓定理：由轉(zhuǎn)矩平衡定律：

轉(zhuǎn)動慣量，粘性摩擦常數(shù)，電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)，電勢常數(shù)當(dāng)前第22頁\共有130頁\編于星期二\13點令當(dāng)前第23頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第24頁\共有130頁\編于星期二\13點例4.一長度為l，質(zhì)量為m的單倒立擺，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上，小車受電機操縱，，在水平方向施加控制力u，相對參考坐標(biāo)系產(chǎn)生位移x。要求建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。當(dāng)前第25頁\共有130頁\編于星期二\13點設(shè)小車瞬時位置為擺心瞬時位置為在水平方向，由牛頓第二定律即：在垂直方向：慣性力矩與重力矩平衡當(dāng)前第26頁\共有130頁\編于星期二\13點即:

則有：聯(lián)立求解：當(dāng)前第27頁\共有130頁\編于星期二\13點消元后：選取狀態(tài)變量：當(dāng)前第28頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第29頁\共有130頁\編于星期二\13點2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖求{A，B，C，D}1.由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項當(dāng)前第30頁\共有130頁\編于星期二\13點選?。籂顟B(tài)空間表達(dá)式：當(dāng)前第31頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第32頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第33頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第34頁\共有130頁\編于星期二\13點例1

設(shè)

求（A，B，C，D）

解：選

當(dāng)前第35頁\共有130頁\編于星期二\13點則：當(dāng)前第36頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)空間表達(dá)式為當(dāng)前第37頁\共有130頁\編于星期二\13點2）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項如果單輸入—單輸出系統(tǒng)的微分方程為：一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項，可以選擇如下的一組狀態(tài)變量。設(shè)，選?。寒?dāng)前第38頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第39頁\共有130頁\編于星期二\13點即：當(dāng)前第40頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第41頁\共有130頁\編于星期二\13點將代入得：當(dāng)前第42頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第43頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第44頁\共有130頁\編于星期二\13點選擇，使得上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)都等于0，即可解得：當(dāng)前第45頁\共有130頁\編于星期二\13點令上式中u的系數(shù)為，則：最后可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

當(dāng)前第46頁\共有130頁\編于星期二\13點

可寫成向量-矩陣的形式：

即：當(dāng)前第47頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第48頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第49頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖當(dāng)前第50頁\共有130頁\編于星期二\13點例2：試寫出它的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：則：當(dāng)前第51頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)空間表達(dá)式為當(dāng)前第52頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第53頁\共有130頁\編于星期二\13點

2.傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)單輸入/輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

當(dāng)前第54頁\共有130頁\編于星期二\13點嚴(yán)格真分式傳函前饋系數(shù)上式中的系數(shù)用長除法得到：

當(dāng)前第55頁\共有130頁\編于星期二\13點（1）串聯(lián)分解的形式當(dāng)前第56頁\共有130頁\編于星期二\13點選取狀態(tài)變量當(dāng)前第57頁\共有130頁\編于星期二\13點則狀態(tài)方程為：當(dāng)前第58頁\共有130頁\編于星期二\13點輸出方程為：寫成向量-矩陣形式為：當(dāng)前第59頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第60頁\共有130頁\編于星期二\13點這樣的A陣又稱友矩陣，若狀態(tài)方程中的A，b具有這種形式，則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)時，A，b不變。系統(tǒng){A，b，C，D}稱為G（s）的可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。當(dāng)前第61頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第62頁\共有130頁\編于星期二\13點例：試求的可控標(biāo)準(zhǔn)形。解：該系統(tǒng)傳遞函數(shù)：當(dāng)前第63頁\共有130頁\編于星期二\13點串聯(lián)分解并引入中間變量當(dāng)前第64頁\共有130頁\編于星期二\13點令則：當(dāng)前第65頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)變量圖：

可控標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前第66頁\共有130頁\編于星期二\13點

可觀標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前第67頁\共有130頁\編于星期二\13點可觀標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前第68頁\共有130頁\編于星期二\13點并聯(lián)分解（對角標(biāo)準(zhǔn)形）把傳遞函數(shù)展開成部分分式求取狀態(tài)空間表達(dá)式只含單實極點，設(shè)可分解為：其中為系統(tǒng)的單實極點則：當(dāng)前第69頁\共有130頁\編于星期二\13點其中：

為極點的留數(shù)當(dāng)前第70頁\共有130頁\編于星期二\13點

a.選取狀態(tài)變量:將上式整理，并進行拉氏變換，可得狀態(tài)方程再將代入：展開：當(dāng)前第71頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第72頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第73頁\共有130頁\編于星期二\13點特點：傳函極點全1

對應(yīng)極點的留數(shù)

b.選取狀態(tài)變量:當(dāng)前第74頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第75頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第76頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)變量圖（并聯(lián)結(jié)構(gòu)）

對角標(biāo)準(zhǔn)形(a)當(dāng)前第77頁\共有130頁\編于星期二\13點對角標(biāo)準(zhǔn)形(b)當(dāng)前第78頁\共有130頁\編于星期二\13點b.含重實極點為了簡單起見，設(shè)g(s)只有r重極點，則傳遞函數(shù)的部分式展開式為：當(dāng)前第79頁\共有130頁\編于星期二\13點其中當(dāng)前第80頁\共有130頁\編于星期二\13點選取狀態(tài)變量的拉氏變換為：當(dāng)前第81頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第82頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第83頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第84頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第85頁\共有130頁\編于星期二\13點化為狀態(tài)變量的一階微分方程，則有當(dāng)前第86頁\共有130頁\編于星期二\13點.當(dāng)前第87頁\共有130頁\編于星期二\13點.輸入方程當(dāng)前第88頁\共有130頁\編于星期二\13點.狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)前第89頁\共有130頁\編于星期二\13點..

當(dāng)前第90頁\共有130頁\編于星期二\13點.狀態(tài)變量圖當(dāng)前第91頁\共有130頁\編于星期二\13點例：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：分母三重極點用部分分式為：當(dāng)前第92頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第93頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)前第94頁\共有130頁\編于星期二\13點2.4線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

離散系統(tǒng)：一處或多處的信號是離散的脈沖序列、數(shù)字序列，采樣間隔內(nèi)保持常數(shù)。古典控制理論中：離散系統(tǒng)用差分方程（脈沖傳遞函數(shù)）表示。單輸入\出線性定常離散系統(tǒng)：當(dāng)前第95頁\共有130頁\編于星期二\13點

采樣周期常數(shù)當(dāng)前第96頁\共有130頁\編于星期二\13點初始條件為零時的變換關(guān)系為：脈沖響應(yīng)函數(shù)當(dāng)前第97頁\共有130頁\編于星期二\13點在的串聯(lián)分解中，引入中間變量，則有選取一組狀態(tài)變量當(dāng)前第98頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第99頁\共有130頁\編于星期二\13點則有利用變換關(guān)系當(dāng)前第100頁\共有130頁\編于星期二\13點則：當(dāng)前第101頁\共有130頁\編于星期二\13點可控標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前第102頁\共有130頁\編于星期二\13點

2.5狀態(tài)空間的線性變換前面已指出一個給定的動態(tài)系統(tǒng)、狀態(tài)變量的選取有許多方法。因此一個系統(tǒng)有許不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。狀態(tài)變量的不同選取，其實是狀態(tài)向量的一種線性變換。

一個給定的動態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取有許多不同的方法（如前面的電路），因此狀態(tài)空間表達(dá)式也不同，即一個系統(tǒng)有許多不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。當(dāng)前第103頁\共有130頁\編于星期二\13點狀態(tài)變量的不同選取狀態(tài)向量的線性變換（或坐標(biāo)變換）

1.系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換目的：便于揭示系統(tǒng)特性及分析計算且不會改變系統(tǒng)的性質(zhì)如果是一組由個狀態(tài)變量構(gòu)成的維狀態(tài)向量，則的線性組合也完全可以作為一組新的狀態(tài)變量，構(gòu)成新的狀態(tài)向量，當(dāng)前第104頁\共有130頁\編于星期二\13點在與之間存在如下的非奇異線性變換關(guān)系：或其中是非奇異變換矩陣當(dāng)前第105頁\共有130頁\編于星期二\13點于是有：雖然狀態(tài)變量和狀態(tài)表達(dá)式不同，但和都是描述同一系統(tǒng)動態(tài)行為的描述。當(dāng)前第106頁\共有130頁\編于星期二\13點設(shè)線性常定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)為令則其中當(dāng)前第107頁\共有130頁\編于星期二\13點例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：取變換矩陣則當(dāng)前第108頁\共有130頁\編于星期二\13點

當(dāng)前第109頁\共有130頁\編于星期二\13點

取變換矩陣則當(dāng)前第110頁\共有130頁\編于星期二\13點

對角化！狀態(tài)變量之間解耦當(dāng)前第111頁\共有130頁\編于星期二\13點化為為對角標(biāo)準(zhǔn)形（對角規(guī)范化）已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程

當(dāng)系統(tǒng)矩陣的特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣，通過線性變換，則有當(dāng)前第112頁\共有130頁\編于星期二\13點當(dāng)前第113頁\共有130頁\編于星期二\13點的特征值所對應(yīng)的特征解，且習(xí)題：試將狀態(tài)方程變換