經(jīng)典相似三角形練習題(附參考答案)

PAGEPAGE2相似三角形一．解答題（共30小題）1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G．（1）求證：△CDF∽△BGF；（2）當點F是BC的中點時，過F作EF∥CD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長．3．如圖，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．4．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD．5．已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．6．如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F．在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明．7．如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．8．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形．（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明．10．如圖△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求△BEC與△BEA的面積之比．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論．12．已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，試說明：△ADM∽△MCP．13．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．問：①當點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；③在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．14．已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與△BDC相似？15．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．16．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似．17．已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．18．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動．若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與△CBA相似？一．解答題（共30小題）1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．解答：證明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G．（1）求證：△CDF∽△BGF；（2）當點F是BC的中點時，過F作EF∥CD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長．解答：（1）證明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中點，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F(xiàn)為BC中點，∴E為AD中點，∴EF是△DAG的中位線，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如圖，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．解答：證明：∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD．解答：證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）點評：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準對應(yīng)的角．5．已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．解答：（1）證明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分別是BE，CD的中點，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN為等腰三角形．（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立．（3）證明：在圖②中正確畫出線段PD，由（1）同理可證△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都為頂角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F．在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明．分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在?ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的．（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）經(jīng)檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．（8分）9．如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形．（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明．解答：解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有兩組（①③，②④）是相似的．∴選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P=（4分）證明：（2）選擇①、③證明．在△AOB與△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）選擇②、④證明．∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB與△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的證明．還考查了相似三角形的判定．10．附加題：如圖△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求△BEC與△BEA的面積之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）圖中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延長線于F，設(shè)AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE?sin∠AEF=．∴．點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）當點M中BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，∵點M是BC的中點，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位線．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，∴平行四邊形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，試說明：△ADM∽△MCP．解答：證明：∵正方形ABCD，M為CD中點，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．問：①當點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；③在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．解答：解：（1）過D作DH∥AB交BC于H點，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴當t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分．②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ則∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10＜t≤12△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；∴t=或t=時，△PAD與△CQE相似．③第一種情況：當0≤t≤8時．過Q點作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化簡得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合題意舍去）∴t=第二種情況：8≤t≤10時．DP=DQ=10﹣t．∴當8≤t＜10時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．第三種情況：10＜t≤12時．DP=DQ=t﹣10．∴當10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．綜上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與△BDC相似？解答：解：設(shè)經(jīng)x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）當∠1=∠2時，有：，即；（2）當∠1=∠3時，有：，即，∴經(jīng)過秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．解答：解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，△PBQ與△ABC相似，則有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，當△PBQ∽△ABC時，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）當△QBP∽△ABC時，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，經(jīng)過2.5s或1s時，△PBQ與△ABC相似（10分）．解法二：設(shè)ts后，△PBQ與△ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分兩種情況：（1）當BP與AB對應(yīng)時，有=，即=，解得t=2.5s（2）當BP與BC對應(yīng)時，有=，即=，解得t=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似．16．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：當Rt△ABC∽Rt△ACD時，有=，∴AB==3；當Rt△ACB∽Rt△CDA時，有=，∴AB==3．故當AB的長為3或3時，這兩個直角三角形相似．17．已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．解答：證明：分兩種情況討論：①若△CDM∽△MAN，則=．∵邊長為a，M是AD的中點，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，則．∵邊長為a，M是AD的中點，∴AN=a，即N點與B重合，不合題意．所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似．當AN=a時，N點的位置滿足條件．18．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動．若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與△CBA相似？解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴當或時，兩三角形相似．（3分）（1）當時，，∴x=；（4分）（2）當時，，∴x=．（5分）所以，經(jīng)過秒或秒后，兩三角形相似．（6分）點評：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法．19．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似．解答：解：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．檢驗：當AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、、6處．20．△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；（2）如圖2，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論．解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）則△ECN與△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①當△ABC∽△PAQ時，，所以，解得：t=6；②當△ABC∽△QAP時，，所以，解得：t=；③當△AQP∽△BAC時，=，即=，所以t=；④當△AQP∽△BCA時，=，即=，所以t=30（舍去）．故當t=6或t=時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．22．如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米．23．陽光明媚的一天，數(shù)學興趣小組的同學們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案．（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，標桿；（2）測量示意圖如圖所示；（3）如圖，測得標桿DE=a，樹和標桿的影長分別為AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm．丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由題意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，學校旗桿的高度是12m．（3分）（2）解法一：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）則∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）解法二：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）則∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根據(jù)勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合題意，舍去），∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）25．（2007?白銀）陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底邊離地面的高為4m．點評：此題基本上難度不大，利用相似比即可求出窗口底邊離地面的高．26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽