經(jīng)典習題平面法向量求法及應(yīng)用

PAGE1平面法向量的求法及其應(yīng)用平面的法向量1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。方法二：任何一個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是的一次方程。，稱為平面的一般方程。其法向量;若平面與3個坐標軸的交點為,如圖所示,則平面方程為:,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。圖1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外積法):設(shè),為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等于，（θ為,兩者交角，且），而與,皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由的方向轉(zhuǎn)為的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向,。圖1-1C1CByFADxA1D1zB1E（注：1、二階行列式:；2、適合右手定則。）已知，，試求（1）：（2）：Key:(1);例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體中，圖2-1-1αBAC求平面圖2-1-1αBACABABα圖2-1-2C求空間角(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，，則AB與平面所成的角為：圖2-1-1:圖2-1-2:α圖2-3ββα圖2-2(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：α圖2-3ββα圖2-2（圖2-2）;(圖2-3)兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。求空間距離（1）、異面直線之間距離:方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，圖2-4nabAB求a、b的法向量，即此異面直線圖2-4nabAB②在直線a、b上各取一點A、B，作向量；③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為圖2-5AαM圖2-5AαMBNO又,,設(shè)平面A1BD1的法向量為:,,,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點到平面A1MC的距離為:.用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之