探索勾股定理 名師獲獎(jiǎng)

探索勾股定理（一）教學(xué)目標(biāo)

導(dǎo)入新課如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM—2002)的會(huì)標(biāo).它的設(shè)計(jì)思路可追溯到3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽所使用的弦圖.用弦圖證明勾股定理在數(shù)學(xué)史上有著重要的地位.教學(xué)目標(biāo)

合作學(xué)習(xí)（1）剪四個(gè)全等的直角三角形紙片（如圖1），把它們按圖2放入一個(gè)邊長為c的正方形中。這樣我們就拼成了一個(gè)形如圖2的圖形.（3）比較圖中陰影部分和大、小正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）設(shè)剪出的直角三角形紙片的兩條直角邊的長a，b和斜邊長c，分別計(jì)算圖中的陰影部分的面積與大、小正方形的面積。baBAC圖1bacDACB圖2教學(xué)目標(biāo)

合作學(xué)習(xí)a2+b2=c2

它們之間的關(guān)系是：化簡得：直角三角形三邊有下面的關(guān)系：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方教學(xué)目標(biāo)

講解新知勾股定理：直角形三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.∴a2+b2=c2在Rt△ABC中∵∠C=90°(AC2+BC2=AB2)勾股弦（揭示直角三角形三邊之間的關(guān)系）幾何語言表示：教學(xué)目標(biāo)

例題講解(1)若a=1,b=2,求c;例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c。(2)若a=15,c=17,求b;

（2）根據(jù)勾股定理，得b2=c2-a2=172-52=64∵b>0，∴b=8教學(xué)目標(biāo)

即時(shí)演練1.如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為n2-1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（）

A．2nB．n+1C．n2-1D．n2+1

D2.在直角三角形中，已知其中兩邊分別為3和4，則第三邊等于__________．

教學(xué)目標(biāo)

例題講解例2如圖所示是一個(gè)長方形零件的平面圖,尺寸如圖所示,求兩孔中心A,B之間的距離.(單位:毫米)C160904040BA解：過A作鉛垂線，過B作水平線，兩線交于點(diǎn)C，則∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm）由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2）教學(xué)目標(biāo)

例題講解∵AB>0,∴AB=130（mm）答：兩孔中心A,B之間的距離為130mmC160904040BA教學(xué)目標(biāo)

即時(shí)演練鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25km，C、D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如圖），已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站______km處．10教學(xué)目標(biāo)

即時(shí)演練解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，

在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，

∴AD2+AE2=BE2+BC2．

設(shè)AE為x，則BE=25-x，

將BC=10，DA=15代入關(guān)系式為x2+152=（25-x）2+102，

整理得，50x=500，

解得x=10，∴E站應(yīng)建在距A站10km處．教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評1.下列幾組數(shù)據(jù)：（1）8，15，17；

（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中是勾股數(shù)組的有幾組（）

A．1B．2C．3D．4解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，

∴82+152=172，即8，15，17是一組勾股數(shù)；

（2）∵72+122=49+144=193，152=225，

∴72+122≠152，即7，12，15不是一組勾股數(shù)；

（3）∵122+152=144+225=369，202=400，

∴122+152≠202，即12，15，20不是一組勾股數(shù)；

（4）∵72+242=49+576=625，252=625，

∴72+242=252，即7，24，25是一組勾股數(shù)，

則其中勾股數(shù)有2組．

故選B．B教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評2.如圖，一架10米長的梯子斜靠在墻上，剛好梯頂?shù)诌_(dá)8米高的路燈．當(dāng)電工師傅沿梯上去修路燈時(shí)，梯子下滑到了B′處，下滑后，兩次梯腳間的距離為2米，則梯頂離路燈______米。解：在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理，得：

OB=6m，

根據(jù)題意，得：OB′=6+2=8m．

又∵梯子的長度不變，

在Rt△A′OB′中，根據(jù)勾股定理，得：OA′=6m．

則AA′=8-6=2m．2教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評3.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，將△ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′的位置，若AP=3，則PP′=______．

教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評4.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm?！鰽BC的面積是6cm2。

（1）求AB的長度；

（2）求△ABD的面積。

教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評5.如圖所示，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為8cm，一只螞蟻欲從正四棱柱底面上的頂點(diǎn)A沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)C＇處吃食物.那么它需要爬行的最短路程的長是多少？

教學(xué)目標(biāo)

達(dá)標(biāo)測評

教學(xué)目標(biāo)

拓展提升已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求證：AB=BC；

（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE=AE+CD．證明：（1）連接AC．

∵∠ABC=90°，

∴AB2+BC2=AC2．

∵CD⊥AD，

∴AB=BC．

∴AD2+CD2=AC2．

∵AD2+CD2=2AB2，

∴AB2+BC2=2AB2，

∴BC2=AB2，

教學(xué)目標(biāo)

拓展提升（2）過C作CF⊥BE于F．

∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，

∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，

∴四邊形CDEF是矩形．

∴CD=EF．

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

∴在△BAE與△CBF中，∠AEB=∠BFC∠BAE=