光波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析

光波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日緒論“導(dǎo)光”的古老歷史“光纖之父”----高錕博士光波導(dǎo)技術(shù)的迅猛發(fā)展光波導(dǎo)的基本概念光波導(dǎo)的主要種類光波導(dǎo)的一般理論光波導(dǎo)的進一步分類模式的概念廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日“導(dǎo)光”的古老歷史

1854年：英國的廷達爾(Tyndall)就觀察到光在水與空氣分界面上作全反射以致光隨水流而彎曲的現(xiàn)象；1929-1930年：美國的哈納爾(Hanael)和德國的拉姆(Lamm)先后拉制出石英光纖并用于光線和圖象的短距離傳輸；中國古代烽火臺第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日“光纖之父”----高錕博士

1966年：高錕博士發(fā)表他的著名論文“光頻介質(zhì)纖維表面波導(dǎo)”首次明確提出,通過改進制備工藝,減少原材料雜質(zhì),可使石英光纖的損耗大大下降,并有可能拉制出損耗低于20dB/km的光纖,從而使光纖可用于通信之中。第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)技術(shù)的迅猛發(fā)展

1970年,康寧玻璃公司率先研制成功損耗為20dB/km的石英光纖,取得了重要的技術(shù)突破；經(jīng)過近30年的發(fā)展，光纖的損耗已經(jīng)降至0.2dB/km(單模光纖）；各種光波導(dǎo)器件在光纖系統(tǒng)中獲得廣泛應(yīng)用，相關(guān)的應(yīng)用產(chǎn)業(yè)日新月異地蓬勃發(fā)展。第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)的基本概念導(dǎo)波光：受到約束的光波光波導(dǎo)：約束光波傳輸?shù)拿浇榻橘|(zhì)光波導(dǎo)三要素：(1)“芯/包”結(jié)構(gòu)(2)凸形折射率分布，n1>n2(3)低傳輸損耗第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)的主要種類薄膜波導(dǎo)（平板波導(dǎo)）矩形波導(dǎo)（條形波導(dǎo)）圓柱波導(dǎo)（光纖）第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日平板波導(dǎo)第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日矩形波導(dǎo)脊型波導(dǎo)溝道波導(dǎo)平面掩埋溝道波導(dǎo)第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日圓柱波導(dǎo):光導(dǎo)纖維單模：8~10um多模：50um125um第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)的一般理論

通過麥克斯韋方程組，經(jīng)過一系列合理的簡化，可以得出描述光波導(dǎo)滿足的標(biāo)量Helmholtz方程：在推導(dǎo)的過程中，可以看到：影響光波導(dǎo)傳輸特性的，主要是折射率的空間分布。其中代表和在直角坐標(biāo)系中的各個分量。第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)的進一步分類可根據(jù)折射率的空間分布，將光波導(dǎo)分類為：光波導(dǎo)正規(guī)光波導(dǎo)非正規(guī)光波導(dǎo)（縱向均勻）（縱向非均勻）橫向分層均勻的光波導(dǎo)（均勻光波導(dǎo)）橫向非均勻的光波導(dǎo)（非均勻光波導(dǎo)）緩變光波導(dǎo)迅變光波導(dǎo)突變光波導(dǎo)第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日模式的概念

不同類型的光波導(dǎo)相應(yīng)于求解不同類型的微分方程。對于光纖，還應(yīng)注意結(jié)構(gòu)的特征：縱向（光纖的軸向，即光傳輸?shù)姆较颍┖蜋M向的差別，這是光纖的基本特征。這個基本特征決定了光纖中縱向和橫向場解的不同。對于正規(guī)光波導(dǎo)，它表現(xiàn)出明顯的導(dǎo)光性質(zhì)，而由正規(guī)光波導(dǎo)引出的模式的概念，則是光波導(dǎo)理論中最基本的概念。正規(guī)光波導(dǎo)是指折射率分布沿縱向不變，數(shù)學(xué)描述為：第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日模式的概念從而光場可表示為分離的形式：式中為相移常數(shù)，也稱為傳播常數(shù)；和都是復(fù)矢量，有幅度、相位和方向，表示了和沿光纖橫截面的分布，稱為模式場。第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日特征解—模式

根據(jù)偏微分方程理論，對于給定的邊界條件，簡化的麥克斯韋方程組有無窮多個離散的特征解，并可進行排序。每一個特征解為：

一個特征解為一個模式，光纖中總的光場分布則是這些模式的線性組合：一系列模式可以看成是一個光波導(dǎo)的場分布的空間譜。第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日模式的基本特性穩(wěn)定性：一個模式沿縱向傳輸時，其場分布形式不變，即沿z方向有穩(wěn)定的分布。有序性：模式是波動方程的一系列特征解，是離散的、可以排序的。排序方法有兩種：一種是以傳播常數(shù)的大小排序，越大，序號越小；另一種是以兩個自變量排序，所以有兩列序號。疊加性：光波導(dǎo)中總的場分布是這些模式的線性疊加。正交性：一個正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿足正交關(guān)系。第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光波導(dǎo)技術(shù)的廣闊應(yīng)用領(lǐng)域光波導(dǎo)技術(shù)有源無源器件光纖通信干線光交換接入網(wǎng)AONDWDMOADMOTDMFTTC,B,O,H

位移、振動溫度、壓力應(yīng)變、應(yīng)力電流、電壓電場、磁場流量、濃度可以測量70多個物理化學(xué)量

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光子集成光電子集成集成光路光收發(fā)模塊光接入模塊光開關(guān)模塊光放大模塊信息獲取信息傳輸信息處理其它應(yīng)用第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日研究方法第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日幾何光學(xué)方法

將試探解帶入麥克斯韋方程中，可得程函方程，它是幾何光學(xué)的基本方程。定義等程函面，稱幾何波陣面的正交軌線為光線，即：根據(jù)該公式就可以求得光線傳播的路線方程，即射線方程。xzyr+drrdr路徑第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日射線方程物理意義：將光線軌跡(由r描述)和空間折射率分布(n)聯(lián)系起來;

由光線方程可以直接求出光線軌跡表達式;

dr/dS是光線切向斜率,對于均勻波導(dǎo)，n為常數(shù),光線以直線形式傳播;對于漸變波導(dǎo),n是r的函數(shù),則dr/dS為一變量,

這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率高的區(qū)域彎曲。第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播介質(zhì)薄膜波導(dǎo)由三層介質(zhì)構(gòu)成：為了保證光線在芯層傳播，要求n1>n2

和n1>n3。n1n2n3xyz敷層襯底芯層在橫向，y方向尺寸遠大于x方向尺寸，因而可近似認為方向是無限延伸，可以看成平面波導(dǎo)。雖然薄膜波導(dǎo)不用作光纖通信系統(tǒng)的傳輸媒質(zhì)，但是對它的分析具有重要意義：1、是簡單的波導(dǎo)，很方便得到結(jié)果，為分析條形波導(dǎo)和光纖打下基礎(chǔ)；2、是集成光學(xué)的基礎(chǔ)。第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光線的傳播路徑及光線分類束縛光線：光線在兩個界面上都滿足全反射條件。折射光線：光線至少在一個界面上不滿足全反射條件。全反射臨界角：第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日為方便起見，用光線與Z軸的之間的夾角表示射線的方向。若假設(shè)襯底折射率大于敷層折射率，則光線可按下列形式分類：束縛光線：只在襯底輻射：同時在襯底和敷層輻射：第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日傳播時延及時延差LZ

定義沿Z軸方向傳播單位距離的時間為光線的傳播延時，則有：在所有可以存在的束縛光線中，路徑最短的一條如紅線所示，路徑最長的是滿足全反射臨界角入射的光線。它們的時延差最大：

較大的時延差將導(dǎo)致嚴重的多路徑色散，引起光脈沖在傳播過程中展寬。因此，實際的光波導(dǎo)折射率差不宜過大。兩條束縛光線的時延差為：第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日芯層折射率漸變的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播折射率分布：實際使用的光波導(dǎo)芯層折射率僅是x的函數(shù)，從中心向兩邊遞減。為簡單起見，假設(shè)芯層兩側(cè)的折射率相等，邊界面上的連續(xù)，即：第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日傳播路徑及光線分類根據(jù)射線方程，可以得到：

關(guān)系式說明：該常數(shù)在傳播過程中仍然始終保持不變，其值僅由光線的初始狀態(tài)決定。若芯層中某點滿足，則此點以外的區(qū)域光線不能傳播，光線將從此點向中心軸彎曲，該點稱為光線的折返點。折返點滿足的方程：方程有解，則得到束縛光線，若無解，則成為折射光線。第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日在光波導(dǎo)的折射率分布確定以后，光線是束縛光線還是折射光線完全取決于起始傾斜角。第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日束縛光線和折射光線的分界線是剛好達到芯層與敷層的分界面的路徑，即：。束縛光線：折射光線：第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日傳播時延及時延差芯層折射率從中心向兩邊單調(diào)下降的波導(dǎo)，與芯層折射率均勻的波導(dǎo)比較，前者的時延差會在一定程度上減小。原因：折返點大的光線盡管所走的路程較長，但它部分的進入了芯層的邊緣，那里的折射率較小，光的傳播速度就要快些；沿波導(dǎo)中心附近傳播的光線盡管所走的距離短些，但此處折射率較大，傳播速度要慢，從而縮小了各條光線之間的傳播時延差?？s短的程度取決于芯層折射率分布函數(shù)，如果芯層折射率按雙曲正割函數(shù)分布，則所有各條束縛光線的傳播時延相等，時延差為0。第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光纖中光線的傳播第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日光線分類子午光線：限制在子午平面內(nèi)傳播的光線與光軸相交傾斜光線：軌跡曲線不限制在一個平面內(nèi)不過光軸第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日子午平面第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日子午光線：均勻折射率分布折射率分布:光線軌跡:限制在子午平面內(nèi)傳播的鋸齒形折線。光纖端面投影線是過圓心交于纖壁的直線。導(dǎo)光條件:臨界角:數(shù)值孔徑:

定義光纖數(shù)值孔徑NA為入射媒質(zhì)折射率與最大入射角的正弦值之積,即相對折射率差:

約束光折射光:

n1n2第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日漸變折射率分布：光線軌跡:限制在子午平面內(nèi)傳播的周期曲線。軌跡曲線在光纖端面投影線仍是過圓心的直線，但一般不與纖壁相交。廣義折射定律:

局部數(shù)值孔徑:

定義局部數(shù)值孔徑NA(r)為入射點媒質(zhì)折射率與該點最大入射角的正弦值之積,即外散焦面:

光線轉(zhuǎn)折點(rip)的集合導(dǎo)光條件:子午光線：漸變折射率分布第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日傾斜光線：均勻折射率分布光線軌跡：

(螺旋折線)臨界角：三類光線：約束光：折射光：隧道光：第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日傾斜光線：漸變折射率分布射線方程分量方程 軸向分量： 角向分量： 徑向分量：第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日軸向運動

：第一射線不變量

分析軸向分量方程:有：令其為,則有第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日軸向運動特點相速:Vp＝ω/β＝c/恒為常數(shù)這說明漸變折射率分布光纖(GIOF)中的光線沿z軸傳播的速度恒定不變,與光線的軸向夾角θz無關(guān)。第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日角向運動

分析角向分量方程:：第二射線不變量有：第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日角向運動特點光線的角動量：

恒為常數(shù)這表明,光線角向運動速度將取決于光線軌跡到纖軸距離r:在最大的r處光線轉(zhuǎn)動最慢;在最小的r處光線轉(zhuǎn)動最快。第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日內(nèi)外散焦面傾斜光線限制在內(nèi)外散焦面之間傳播在內(nèi)外散焦面，其半徑ric和rip是二次方程的兩個根：第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日徑向運動分析r分量方程:

導(dǎo)出：第四十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日徑向運動特點對于相同r值,dr/dz可正可負,且在z1和z2處分別達到最大和最小(dr/dz＝0),因此,r－z關(guān)系曲線關(guān)