湖南省衡陽市壇下中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

湖南省衡陽市壇下中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由f（x）的圖象可得在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，即有y軸左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，對(duì)照選項(xiàng)，即可判斷．【解答】解：由f（x）的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，即有導(dǎo)數(shù)小于0，可排除C，D；再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，函數(shù)f（x）遞減，再遞增，后遞減，即有導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；則B正確．故選：B．2.下列運(yùn)算正確的是()A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′B.(cosx·sinx)′＝(sinx)′·cosx＋(cosx)′·cosxC．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2)′(x2)′D．[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)參考答案：B3.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A1B和平面A1B1CD所成的角．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），設(shè)平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），則，取x=1，則=（1，0，﹣1），設(shè)直線A1B和平面A1B1CD所成的角為θ，sinθ===，∴θ=，∴直線A1B和平面A1B1CD所成的角為．故選：B．4.某船開始看見燈塔A時(shí)，燈塔A在船南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見燈塔A在船正西方向，則這時(shí)船與燈塔A的距離是（

）A． B．30km C．15km D．參考答案：D根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，可得，，，，，在中，利用正弦定理得：，，則這時(shí)船與燈塔的距離是．故選D．5.拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：D略6.△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的直徑為()A.

B.

C.

D．參考答案：B設(shè)另一條邊為，則

所以，所以設(shè)，則，所以7.函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象中相鄰對(duì)稱中心的距離為，若角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，），則f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣參考答案：A【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】由周期求得ω，根據(jù)角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，），求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，即可求出f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．【解答】解：由題意可得函數(shù)的最小正周期為=2×，∴ω=2．∵角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，），∴tanφ=，∵0＜φ＜π，∴φ=∴f（x）=sin（2x+），∴f（x）圖象的對(duì)稱軸為2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，當(dāng)k=0時(shí)，f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為x=，故選：A．8.曲線y=ax2在點(diǎn)（1，a）處的切線與直線2x﹣y﹣6=0垂直，則a等于（）A．1 B． C． D．﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】利用曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為斜率求曲線的切線斜率；利用直線垂直它們的斜率乘積等于﹣1列方程求解．【解答】解：∵y=ax2，∴y'=2ax，于是切線的斜率k=y'|x=1=2a，∵切線與直線2x﹣y﹣6=0垂直，∴2a×2=﹣1∴a=﹣故選：C．9.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，，則等于()．

A. B.C. D.參考答案：C略10.過拋物線的焦點(diǎn)所作直線中，被拋物線截得弦長(zhǎng)為8的直線有（

）A.1條 B.2條 C.3條 D.不確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________參考答案：.試題分析：由題意得，，令，得.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.12.已知函數(shù)f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：(1,2)13.已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若m∥β，n∥β，m、nα，則α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，則m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；其中所有正確命題的序號(hào)是

．參考答案：②④14.江蘇省高中生進(jìn)入高二年級(jí)時(shí)需從“物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治、藝術(shù)”科目中選修若干進(jìn)行分科，分科規(guī)定如下：從物理和歷史中選擇一門學(xué)科后再從化學(xué)、生物、地理、政治中選擇兩門學(xué)科作為一種組合，或者只選擇藝術(shù)這門學(xué)科，則共有_________種不同的選課組合.（用數(shù)字作答）參考答案：13【分析】先從物理和歷史中選擇一門學(xué)科，再從化學(xué)、生物、地理、政治中選擇兩門學(xué)科作為一種組合，再根據(jù)題意求解.【詳解】先從從物理和歷史中選擇一門學(xué)科有種，再從化學(xué)、生物、地理、政治中選擇兩門學(xué)科作為一種組合有種，所以共有種.故答案為：13【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知為等差數(shù)列，，則，若為等比數(shù)列，，則的類似結(jié)論為：

參考答案：試題分析：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有，等比數(shù)列中有，所以為等比數(shù)列，，的類似結(jié)論為．故答案為：

考點(diǎn)：類比推理16.等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是

參考答案：_<__17.將兩枚質(zhì)地均勻透明且各面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體玩具各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)不相同}，B＝{兩個(gè)玩具底面點(diǎn)數(shù)至少出現(xiàn)一個(gè)2點(diǎn)}，則P（）＝

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）已知，a，b都是正數(shù)，且，求證：.（2）已知已知，且，求證：.參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用比較法證明，欲證，只要證即可，然后利用因式分解判斷每個(gè)式子的正負(fù)即可；（2）由題意得：1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），即可證得結(jié)論.【詳解】（1）.∵都是正數(shù),∴,又∵,∴；（2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式證明，熟悉公式和運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19.參考答案：20.求不等式的解集參考答案：解：,，不等式的解集為，不等式的解集為，不等式的解集為綜上可知：不等式的解集為不等式的解集為不等式的解集為略21.已知函數(shù)，.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2)

.【分析】（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，可證明，當(dāng)時(shí)與當(dāng)且時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時(shí)，由得，（舍去），①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值，，記，，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故單調(diào)遞增，時(shí)，，故，又，由（1）知，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點(diǎn)等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.22.已知圓C：x2+y2﹣8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；（2）若直線l過點(diǎn)（0，2）與圓C相交于點(diǎn)