直線與平面垂直的性質(zhì)

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)一、復(fù)習(xí)回顧直線與平面垂直的定義是什么？如何判定線面垂直？

直線和平面垂直的定義

:一條直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直．

直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直觀感知—猜想定理知識(shí)探究（一）直線與平面垂直的性質(zhì)定理

已知：a⊥α，b⊥α，求證：a∥b。abb‘αo證明：假設(shè)a，b不平行過(guò)b與平面α的交點(diǎn)O作直線b’∥a由b∩b’＝O，可知b與b’可唯一確定一平面β，設(shè)α∩β＝c三、定理證明：垂直于同一平面的兩條直線平行知識(shí)探究（一）直線與平面垂直的性質(zhì)定理

已知：a⊥α，b⊥α，求證：a∥b。abb‘αco證明：假設(shè)a，b不平行過(guò)b與平面α的交點(diǎn)O作直線b’∥a由b∩b’＝O，可知b與b’可唯一確定一平面β，設(shè)α∩β＝c∵b’∥a∴b’⊥cb,b’,c同在平面β內(nèi)∴b∥b’，與b∩b’＝O矛盾?！郺∥b三、定理證明：垂直于同一平面的兩條直線平行三、定理證明：垂直于同一平面的兩條直線平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理：abα符號(hào)語(yǔ)言：作用：可用于證明兩直線平行四、練習(xí)鞏固：判斷下列命題是否正確，并給出理由：(3)一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直則這兩條直線垂直。(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直(1)垂直同一直線的兩直線平行.四、練習(xí)鞏固：判斷下列命題是否正確，并給出理由：A’Aβα證明：γεaa’b’b(4)垂直于同一直線的兩平面平行。AA’⊥α，AA’⊥βAA’⊥a，AA’⊥ba∥a’，b∥b’AA’⊥a’，AA’⊥b’a∥β，b∥βα∥β(5)設(shè)l為直線，α，β為平面，若l⊥α，α//β，則l與β的位置關(guān)系如何？為什么？四、練習(xí)鞏固：判斷下列命題，并給出理由：βlαab(6)設(shè)a，b為直線，α為平面，若a⊥α，b//α，則a與b的位置關(guān)系如何？為什么？四、練習(xí)鞏固：判斷下列命題，并給出理由：abαl有關(guān)線面垂直的結(jié)論：1、定義：若a⊥α，bα，則a⊥b?！?、性質(zhì)：若a⊥α，b⊥α，則a∥b3、結(jié)論：若a⊥α，a⊥β

，則α∥β

4、結(jié)論：若a⊥α，a∥b，則b⊥α5、結(jié)論：若a⊥α,α∥β

，則a⊥β

理論遷移

例1如圖，已知于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，求證：.ABCαβlaABCDA1B1C1D1MNO如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC求證：(1)MN∥AD1(2)M是AB的中點(diǎn).練習(xí)：復(fù)習(xí)回顧找二面角的平面角說(shuō)明該平面角是直角。面面垂直的判定方法：1、定義法：2、判定定理：要證兩個(gè)平面垂直，另一個(gè)平面的一條垂線。只要在其中一個(gè)平面內(nèi)找到（線面垂直面面垂直）知識(shí)探究（一）平面與平面垂直的性質(zhì)定理

思考1:如果平面α與平面β互相垂直，直線l在平面α內(nèi)，那么直線l與平面β的位置關(guān)系有哪幾種可能？αβllαβlαβ知識(shí)探究（一）平面與平面垂直的性質(zhì)定理

思考2:黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫(huà)線？αβ思考2:黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫(huà)線？αβ知識(shí)探究（一）平面與平面垂直的性質(zhì)定理

思考3:據(jù)上分析可得什么定理？試用文字語(yǔ)言表述之.定理若兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直.αβABDC定理剖析面面垂直線面垂直；（線是一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）αβCDAB2）為判定和作出線面垂直提供依據(jù)。概念鞏固

判斷下列命題的真假1.若α⊥β，那么α內(nèi)的所有直線都垂直于β。2.兩平面互相垂直，分別在這兩平面內(nèi)的兩直線互相垂直。3.兩平面互相垂直，分別在兩平面內(nèi)且互相垂直的兩直線一定分別與另一個(gè)平面垂直。4.兩平面互相垂直，過(guò)一平面內(nèi)的任一點(diǎn)在該平面內(nèi)作交線的垂線，則此直線必垂直與另一個(gè)平面?！痢痢痢?/p>

性質(zhì)定理關(guān)鍵點(diǎn)：①線在平面內(nèi)；

②線垂直于交線。知識(shí)探究（二）平面與平面垂直的性質(zhì)探究

思考1:若α⊥β，過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)P作平面β的垂線，垂足為C，那么點(diǎn)C在什么位置？說(shuō)明你的理由.αβPαβPCABD已知：⊥β，P∈，PC⊥β。求證：PC猜想：直線PC在平面內(nèi)同一法思考2:上述分析表明：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另一個(gè)平面的直線，必在這個(gè)平面內(nèi).該性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中有何理論作用？BαβA它的作用是判定直線在平面內(nèi)例1：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，BOPAC(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系。(1)判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明。(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)∴∠ACB=90°∴BC⊥AC又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC,BC平面ABC∴BC⊥平面PAC理論遷移理論遷移

例2：如圖，已知α⊥β，l⊥β，，試判斷直線l與平面α的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.αβlma猜想：垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個(gè)平面。已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。求證:a⊥γ.αβγa理論遷移例3：αβγaPMN.αβγabcb’c’Pb.αβγa2