絕對值不等式絕對值不等式的解法 省賽獲獎

3.5絕對值不等式絕對值不等式的解法[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握絕對值不等式的幾種解法，并解決絕對值不等式求解問題.2.了解絕對值不等式的幾何解法．[知識鏈接]解下列不等式：(1)|x－2|≤3；答案|x－2|≤3?－3≤x－2≤3?－1≤x≤5.(2)|x－2|＞1；答案|x－2|＞1?x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1.(3)1＜|x－2|≤3；解得－1≤x＜1或3＜x≤5，(4)|2x＋5|＞7＋x.答案由不等式|2x＋5|＞7＋x，可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，整理得x＞2或x＜－4.∴原不等式的解集是{x|x＜－4，或x＞2}．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．|x|＞a和|x|＜a(a＞0)型不等式的解法|x|＜a?

；|x|＞a?

.2．|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.－a＜x＜ax＜－a或x＞a3．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的三種解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義；(2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，將數(shù)軸分成三個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式而解之；(3)通過構(gòu)成函數(shù)，利用函數(shù)的圖象.要點(diǎn)一絕對值不等式的解法例1

(1)解不等式|x＋3|＋|x－3|＞8；解方法一由代數(shù)式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把實(shí)數(shù)集分為三個區(qū)間：x＜－3，－3≤x＜3，x≥3.當(dāng)x＜－3時，－x－3－x＋3＞8，即x＜－4，此時不等式的解集為{x|x＜－4}．①當(dāng)－3≤x＜3時，x＋3－x＋3＞8，此時不等式無解②當(dāng)x≥3時，x＋3＋x－3＞8，即x＞4，此時不等式的解集為{x|x＞4}③?、佗冖凼降牟⒓迷坏仁降慕饧癁閧x|x＜－4，或x＞4}．方法二分別畫出函數(shù)y1＝|x＋3|＋|x－3|和y2＝8的圖象，如圖所示．不難看出，要使y1＞y2，只需x＜－4或x＞4.∴原不等式的解集為{x|x＜－4，或x＞4}．(2)解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2.解令y＝|2x＋1|－|x－4|，作出函數(shù)y＝|2x＋1|－|x－4|與函數(shù)y＝2的圖象，規(guī)律方法對含有多個絕對值符號的不等式的解法通常用分段討論法，去掉絕對值符號，將不等式化為整式不等式求解，去掉絕對值符號的依據(jù)是絕對值的定義，找到分界點(diǎn)(即零值點(diǎn))．令絕對值內(nèi)的數(shù)為零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集．跟蹤演練1

已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；

即不等式的解集為{x|－1≤x≤2}．(2)若不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴|a－1|＞4，解此不等式得a＜－3或a＞5.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．例2

已知函數(shù)f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值；解函數(shù)的定義域滿足：|x－1|＋|x－5|－a＞0，即|x－1|＋|x－5|＞a，設(shè)g(x)＝|x－1|＋|x－5|，則g(x)＝|x－1|＋|x－5|＝|x－1|＋|5－x|≥|x－1＋5－x|＝4，g(x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.要點(diǎn)二與函數(shù)有關(guān)的絕對值不等式(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值為4.|x－1|＋|x－5|－a＞0，∴a＜4，∴a的取值范圍是(－∞，4).規(guī)律方法解絕對值不等式的思路是轉(zhuǎn)化為等價的不含絕對值的不等式(組)，為此往往需要分區(qū)間進(jìn)行討論去絕對值符號；有些絕對值不等式利用絕對值的幾何意義解起來更快速．跟蹤演練2

已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

解當(dāng)a＝2時，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|當(dāng)x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；當(dāng)2＜x＜4時f(x)≥4－|x－4|無解；當(dāng)x≥4時，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集為(－∞，1]∪[5，＋∞)．(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值．解記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，由已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，例3

已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為?.分別求出m的范圍．解方法一因|x＋2|－|x＋3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點(diǎn)P(x)與兩定點(diǎn)A(－2)，B(－3)距離的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.要點(diǎn)三含絕對值不等式的恒成立問題由圖象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值還小，即m＜－1；(3)若不等式的解集為?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.方法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集為R，即m＜－1.(3)若不等式解集為?，即m≥1.規(guī)律方法問題(1)是存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式解集為R或?yàn)榭占瘯r，不等式為絕對不等式或矛盾不等式，都屬于恒成立問題，問題(2)、(3)則屬于恒成立問題．要對任意實(shí)數(shù)x，結(jié)論都成立或都不成立，都不成立也就是結(jié)論的矛盾方面都成立，都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.(1)當(dāng)時a＝－5，求函數(shù)f(x)的定義域；解由題設(shè)知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的圖象(如圖所示),知定義域?yàn)?－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍．解由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a由(1)|x＋1|＋|x－2|≥3，∴－a≤3，∴a≥－3.課堂小結(jié)1.解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(1)當(dāng)c≥0時，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．(2)當(dāng)c＜0時，由絕對值的定義知|ax＋b|≤c的解集為?，|ax＋b|≥c的解集為R.2．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步驟①令每個絕對值符號里的一次式為零，求出相應(yīng)的根；②把這些根由小到大排序并把實(shí)數(shù)集分為若干個區(qū)間；③由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；④這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．解析∵A＝{x|－2＜2x＜4}＝{x|－1＜x＜2}．答案D2．不等式3≤|5－2x|＜9的解集是(

)A．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B．[1,4]C．[－2,1]∪[4,7] D．(－2,1]∪[4,7)解析由3≤|5－2x|＜9得3≤2x－5＜9，或－9＜2x－5≤－3，即4≤x＜7或－2＜x≤1，所以不等式的解集為(－2,1]∪[4,7)，選D.D3．不等式2|x|＋|x－1|＜4的解集為________．解析當(dāng)x＜0時，不等式2|x|＋|x－1|＜4轉(zhuǎn)化為：－2x＋1－x＜4，解得－1＜x＜0，當(dāng)0≤x≤1時，不等式2|x|＋|x－1|＜4轉(zhuǎn)化為：2x＋1－x＜